湖南省益阳市玉潭教育集团2024-2025学年七年级上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省益阳市玉潭教育集团2024-2025学年七年级上学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．（本题3分）在，，0，-1，0.4，π，2，-3，-6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则的值为（ ）
A．3B．2C．1D．4
2．（本题3分）下列各式的值等于5的是（ ）
A．B．C．D．
3．（本题3分）在，，0，3四个数中，最大的数是（ ）
A．B．C．0D．3
4．（本题3分）一个数是10，另一个数比10的相反数少2，则这两个数的和是（ ）
A．18B．-2C．-18D．2
5．（本题3分）如果ab＜0，a+b＜0，那么下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0，且|a|＞|b|
C．a+b=0，且a≠0D．a＜0，b＞0，且|a|＞|b|
6．（本题3分）一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（本题3分）学校食堂买来40千克白糖．付出元找回4元，每千克白糖（ ）元．
A．B．C．D．
9．（本题3分）若，，且，那么的值是（ ）．
A．5或13B．5或C．或13D．或
10．（本题3分）单项式﹣πx2y3的系数和次数分别是( )
A．﹣，6B．﹣π，3C．﹣，5D．﹣π，5
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．（本题3分）比较大小： （填“”，“”或“”）．
12．（本题3分）若与的和是单项式，则 。
13．（本题3分）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 ．
14．（本题3分）已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ．
15．（本题3分）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段BD的长度为 ．
16．（本题3分）2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为 ．
17．（本题3分）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为4时，求最后输出的结果y是 ．

18．（本题3分）如图，幻方是古老的数学问题，我国古代的〈洛书〉中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（本题7分）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足．
(1)______，_______；
(2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动．
①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离；
②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？
20．（本题7分）定义运算“”为：，求，．
21．（本题8分）如图所示，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬3个单位长度到达点B，点A表示数，设点B所表示的数为m．
(1)求m的值；
(2)求的值．
22．（本题8分）若a，b互为倒数，c，d互为相反数，m为最大的负整数，求的值．
23．（本题9分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是4，求值．
24．（本题9分）观察下列等式并回答问题．
第1个等式，
第2个等式，
第3个等式，
第4个等式，
…
(1)按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式；
(2)求的值．
25．（本题9分）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，+8，，13，，+12，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
26．（本题9分）某超市在元旦期间对购物实行优惠，规定如下：
(1)若顾客一次性购物的货款为300元，他实际付款 元；
(2)若顾客一次性购物货款为元，当超过500元时，实际付款 元（用含的代数式表示）；
(3)若顾客两次购物的货款合计840元，第一次购物的货款为元，则该顾客两次购物实际付款一共多少元？（用含的代数式表示）
(4)小张两次购物，第一次购物的货款为元，第二次购物的货款为元．如果他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元，则他两次购物的货款一共是多少元？
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据有理数、自然数和分数的定义，将题干中的数进行分类得出具体个数，就可以确定的值，然后将数值代入到原式中计算即可.
【详解】因为是无限不循环小数，所以不是有理数，所以有理数的个数是，即；因为是自然数，自然数的个数是，所以；因为，，是分数，分数的个数是，即，所以原式；
故此题答案为A.
2．【答案】B
【分析】根据绝对值的意义逐项计算并判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故此题答案为B．
3．【答案】D
【分析】根据正有理数都大于0，负有理数都小于0，正有理数大于一切负有理数，负有理数绝对值大的反而小即可得出答案．
【详解】解：，
最大，
故此题答案为D
4．【答案】B
【分析】先根据相反数的概念求出10的相反数，再根据有理数的减法求出比10的相反数小2，再把两数相加即可．
【详解】解：∵10的相反数是−10，
∴比10的相反数小2是−12，
∴这两个数的和为10＋（−12）＝−2．
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的加法法则进行计算即可求解.
【详解】解：A、∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故选项错误；
B、∵a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，
∴ab＜0，a+b＞0，故选项错误；
C、∵a+b=0，且a≠0，
∴与a+b＜0矛盾，故选项错误；
D、∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴ab＜0，a+b＜0，故选项正确．
故此题答案为D.
6．【答案】C
【分析】根据题意得每次减绳子后的长度都是上次剩下长度的，根据乘方的定义我们可以得出关于x的关系式，代入求解即可．
【详解】∵第一次剪去绳子的 ，还剩 原长
第二次剪去剩下绳子的 ，还剩 上次剩下的长度
因此每次减绳子后的长度都是上次剩下长度的
根据乘方的定义，我们得出第n次剪去绳子的 ，还剩
第100次剪去绳子的 ，还剩
故此题答案为C．
7．【答案】D
【详解】解：A、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，错误；
D、
正确；
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】根据题意列出算式即可．
【详解】解：学校食堂买来40千克白糖．付出元找回4元，每千克白糖为．
故此题答案为B．
9．【答案】D
【分析】根据，，且，得到，，代入计算即可．
【详解】∵，，且，
∴，，
∴或
故此题答案为D．
10．【答案】D
【分析】根据单项式的系数和次数的概念直接得出答案.
【详解】解：单项式﹣πx2y3的系数是﹣π，次数是2+3=5，
故此题答案为D
11．【答案】
【分析】先把和化简，再进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，，
∵，，且
∴
12．【答案】5
【分析】根据题意可得单项式与是同类项，可列出关于m，n的方程，求出m，n的值代入即可．
【详解】由题意得：与是同类项，
则2m=6，n+4=2，
即m=3，n=-2．
所以m-n=3-(-2)=5．
13．【答案】-1011
【分析】根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值a2n=-n，序数为奇数时，其最后的数值a2n+1，从而得到答案．
【详解】解：a1=0，
a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，
a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，
a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2，
a6=-|a5+5|=-|-2+5|=-3，
a7=-|a6+6|=-|-3+6|=-3，
…
以此类推，
经过前几个数字比较后发现：
从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n，
序数为奇数时，其最后的数值a2n+1，
则a2022=-1011
14．【答案】
【详解】解：
，
∴
15．【答案】4.5或0.5
【分析】先由，推得点在点和点之间，且与，与之间的距离均为1，与之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知其点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解．
【详解】解：
点在点和点之间
不妨设点在点左侧，如图
线段的长为4.5
如图
线段的长为0.5
16．【答案】6.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×106
17．【答案】//
【分析】根据题中的程序流程图，将代入计算，得到结果为小于1，将代入计算得到结果为1，将代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果．
【详解】解：输入，代入得：，
将代入得：，
将代入得：，
则输出的结果为．
18．【答案】
【分析】根据每一横行每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，用含的式子表示，，，再由第一行与第三行的和相等列方程可求出的值，从而可得到答案．
【详解】解：每一横行和相等，
，
，
每一横行，每一竖列和相等，
，
，
对角线上的3个数之和与每一横行和相等，
，
，
第一行与第三行的和相等，
，即，
解得，
，，，
19．【答案】(1)，
(2)①1，②2秒或7秒
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，即可得出a，b的值；
（2）①利用时间等于路程除以速度，可求出点A运动的时间，结合点B的运动速度及出发点，可求出此时点B对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离；②当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，根据两点相距5个单位长度，可得出关于t的一元一次方程，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵a，b表示的数满足，
∴，，
∴，．
（2）点A运动到6对应的点所需时间为(秒)，
此时点B运动到的位置为，
∵，
∴A，B两点间的距离为1．
当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点对应的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或，
故经过2秒或7秒，两点相距5个单位长度．
20．【答案】3，35．
【分析】原式利用题中的新定义法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
，
．
21．【答案】(1)m=；
(2)
【分析】（1）在解答本题时，依据数轴的特点，向右爬三个单位，即A点所对应的实数加3为B点对应的实数；
（2）将求出m的值代入待求式解答即可，注意在去绝对值符号时，需要先判断绝对值符号内部式子的正负．
【详解】（1）由于蚂蚁向右爬行了3个单位到达B点，
所以点B表示的数为-+3=，
故m=．
（2）把m的值代入式子，得
22．【答案】
【分析】互为倒数的两个数积为1，互为相反数的两个数和为，最大的负整数为，代入代数式运算求解．
【详解】解：由题意，，，，
∴．
23．【答案】或3
【分析】根据相反数和倒数的概念可得，，根据绝对值的意义可得，然后分情况讨论代入求值．
【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是4，
∴，，，
∴，，或，
（1）时，
．
（2）时，
．
综上，可得：值是或3．
24．【答案】(1)第5个等式，第6个等式．
(2)
【答案】（1）5；|x+5|；1或−3；（2）①6；6或−4；②8.
【分析】（1）根据前面4个等式提供的信息，归纳发现等式左边分母是与序号相关的两个连续奇数之积，等式的右边是这两个奇数的倒数之差的一半，从而可得答案；
（2）把要求和的代数式根据（1）的发现的规律进行变形，再利用乘法的分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式，
第2个等式，
第3个等式，
第4个等式，
∴第5个等式，
第6个等式．
（2）




．23．阅读材料，回答下列问题：
数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3−1|=2；
在数轴上,有理数5与−2对应的两点之间的距离为|5−(−2)|=7；
在数轴上，有理数−2与3对应的两点之间的距离为|−2−3|=5；
在数轴上,有理数−8与−5对应的两点之间的距离为|−8−(−5)|=3；……
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a−b|或|b−a|，记为|AB|=|a−b|=|b−a|.
(1)数轴上有理数−10与−5对应的两点之间的距离等于___；数轴上有理数x与−5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为___；若数轴上有理数x与−1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于___；
(2)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为−2，动点P表示的数为x.
①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x−4|=___；若|x+2|+|x−4|═10，则x=___；
②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x−2|+|x−4|的最小值等于___.
【分析】（1）根据绝对值的定义：数轴上有理数-10与-5对应的两点之间的距离等于5；数轴上有理数x与-5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；若数轴上有理数x与-1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或-3；
（2）①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x-4|=6；若|x+2|+|x-4|═10，则x=6或-4；
②|x+2|+|x|+|x-2|+|x-4|的最小值，这个最小值=4-（-2）=6．
【详解】(1)根据绝对值的定义：
数轴上有理数−10与−5对应的两点之间的距离等于5；
数轴上有理数x与−5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；
A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或−3，
(2)①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x−4|=6；
若|x+2|+|x−4|═10，则x=6或−4；
②|x+2|+|x|+|x−2|+|x−4|的最小值，
即x与4,2,0,−4之间距离和最小,这个最小值=4−(−4)=8.
25．【答案】(1)B地在A地的东边20千米
(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油
(3)最远处离出发点25千米
【分析】（1）根据有理数的加法，可得记录的数据的和，再根据向东为正，以及和的符号，可判定方向；
（2）先计算路程和，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得答案．
【详解】（1）解：∵

，
答：B地在A地的东边20千米；
（2）由（1）得：这一天走的总路程为：
（千米），
应耗油（升），
故还需补充的油量为：（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米），
，
∴最远处离出发点25千米；
26．【答案】(1)270
(2)
(3)元
(4)他两次购物的货款一共是760元．
【分析】（1）由题意依据超过200元但不超过500元给予九折优惠进行计算即可得出答案；
（2）由题意依据超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠进行列式化简即可得出答案；
（3）根据题意可得两次购物顾客实际共付款化简即可；
（4）根据题意可知，，进而依据他把两次购买的商品合并为一次购买，可节省26元进行列式计算即可.
【详解】（1）解:（1）∵300元超过200元但不超过500元，
∴实际付款为300×0.9=270（元）．
（2）解：∵超过500元，
∴实际付款为（元）．
（3）解：根据题意可得：两次购物顾客实际共付款：
．
答：两次购物顾客实际付款一共元．
（4）解：由题可知，，
分两次购物，实际付款为（元）．
两次合并一次购买，实际付款为：（元），
所以节省的费用
所以（元），
所以他两次购物的货款一共是760一次性购物货款
优惠办法
不超过200元
不予优惠
超过200元但不超过500元
九折优惠
超过500元
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠