2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团八年级（上）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知aba+b=23，bcb+c=65，aca+c=34，则1a+1b+1c的值等于( )
A. 116B. 113C. 115D. 611
2.计算x−3x2−4÷x−3x+2的结果是( )
A. x−2B. 1x−2C. x−2x+2D. 1x+2
3.如果a=(−99)0，b=(−0.1)−1，c=(13)−2，那么a、b、c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>a>bC. a>c>bD. c>b>a
4.已知a是方程x2−2x−2=0的根，则(1−1a+1)÷a3a2+2a+1的值是( )
A. 16B. 12C. 19D. 2
5.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”(粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有3斗的粟(1斗=10升)，若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为( )
A. 6 升B. 8 升C. 16 升D. 18 升
6.如图，将四边形纸片ABCD沿PR翻折得到三角形PC′R，恰好C′P//AB，C′R//AD.若∠B=120°，∠D=50°，则∠C=( )
A. 85° B. 95°
C. 90° D. 80°
7.给出下列命题：
①等边三角形是等腰三角形；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点；
③三角形的外角等于两个内角的和；
④三角形的角平分线是射线；
⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．
其中正确命题的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A. 50°B. 130°C. 50°或130°D. 65°或130°
9.如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，若AC=8，AB=6，
BC=4，则△ADB的周长为( )
A. 14
B. 13
C. 12
D. 10
10.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：
①AC=BD；②∠AMB=30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．
正确的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.函数y= x+3x−5中自变量x的取值范围是______．
12.已知x为整数，且分式4x+4x2−1的值为正整数，则x可取的值有______．
13.华为Mate60Pr于2023年8月29日开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9000s芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米=0.000000001米，7纳米用科学记数法表示为：______米.
14.当1a−1b=2时，3a+5ab−3ba−3ab−b的值是______．
15.为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.列方程______．
16.如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为______秒.
17.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，若图中两阴影三角形的面积之差为32(即，S△ACP−S△PBD=32 )，则CD= ______．
18.方程x2−6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
先化简再求值：(2a+1+a+2a2−1)÷aa+1，其中a= 5+1．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：(x−1+11−x)÷x3−4x2+4xx−1，其中x为−2≤x≤2的整数．
21.(本小题8分)
小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加200元油”(油箱未加满)，而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满!”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升，
(1)求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．(用含x，y的代数式表示)
(2)爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
22.(本小题8分)
“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，今年该自行车每辆售价比去年降低100元.若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加20%.请解答以下问题：
(1)A型自行车今年每辆售价为多少？
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍.A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？
23.(本小题9分)
▱ABCD中，点E在AD上，DE=CD，请仅用无刻度的直尺，按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中，画出∠C的角平分线；
(2)在图2中，画出∠A的角平分线．
24.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D．
(1)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线分别与AB、AC、AD交于点E、点F、点H.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，连接DE、DF，完成下面证明HE=HF的过程．
证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD=① ______．
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=② ______，AE=DE．
∴③ ______．
∴∠CAD=∠ADE．
∴△AHF≌④ ______(ASA)．
∴HE=HF．
25.(本小题9分)
如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE．
(1)证明：△ADC≌△BCE；
(2)若CF=3，DF=4，求△DCE的面积．
26.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(4,0)，点B(0,−2)，将线段AB沿y轴向上平移4个单位，得到线段CD．
(1)写出点C，D的坐标；
(2)若点E在x轴上，求出点E坐标，使得S△CDE=32S△AOB；
(3)线段AB沿y轴向下平移得线段A′B′，x轴上是否存在点P，使得△A′B′P为等腰直角三角形？若存在请直接写出点B′坐标，并写出求其中一个点B′坐标的过程；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.A
【解析】解：∵aba+b=23，bcb+c=65，aca+c=34，
∴a+bab=32，b+cbc=56，a+cac=43，
∴1b+1a=32，1c+1b=56，1c+1a=43，
∴1b+1a+1c+1b+1c+1a=32+56+43，
∴2(1a+1b+1c)=226，
∴1a+1b+1c=116，
故选：A．
先将已知的三个式子变形得出1b+1a=32，1c+1b=56，1c+1a=43，再将三个式子相加，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，先将所给的三个式子变形是解题的关键．
2.B
【解析】解：x−3x2−4÷x−3x+2
=x−3(x+2)(x−2)⋅x+2x−3
=1x−2，
故选：B．
先把分式的分子、分母分解因式，然后除法运算变乘法运算，约分即可得出结果．
本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3.B
【解析】解：a=(−99)0=1，
b=(−0.1)−1=−10，
c=(13)−2=9，
所以c>a>b，
故选：B．
根据零次幂、负整数指数幂的计算方法进行计算后，再比较大小即可．
本题考查零次幂、负整数指数幂的计算方法，掌握计算法则是正确计算的关键．
4.B
【解析】解：原式=a+1−1a+1⋅(a+1)2a3
=aa+1⋅(a+1)2a3
=a+1a2，
∵a是方程x2−2x−2=0的根，
∴a2−2a−2=0，
即a2=2a+2=2(a+1)，
∴原式=a+12(a+1)=12．
故选：B．
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=a+1a2，接着利用一元二次方程根的定义得到a2=2(a+1)，然后利用整体代入的方法得到原式=a+12(a+1)，最后约分即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.D
【解析】解：根据题意得：
3×10÷(50÷30)
=30÷53
=30×35
=18(升)．
答：可以换得的粝米为18升．
故选：D．
先将单位换成升，根据“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列方程可得结论．
本题考查了数学常识，比例的性质，有理数的乘除法的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键．
6.B
【解析】解：∵将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，
∴∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，
∵C′P/​/AB，C′R/​/AD，∠B=120°，∠D=50°，
∴∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，
∴∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，
∴∠C=180°−∠CRP−∠CPR=95°，
故选：B．
根据折叠得出∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，根据平行线的性质得出∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，求出∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，即可得出答案．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，能正确运用性质和定理进行推理是解此题的关键．
7.C
【解析】解：①等边三角形是等腰三角形，正确，符合题意；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，正确，符合题意；
③三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，不符合题意；
④三角形的角平分线是线段，故原命题错误，不符合题意；
⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，正确，符合题意；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点还可能是直角顶点，故原命题错误，不符合题意．
正确的命题有3个，
故选：C．
利用等腰三角形及等边三角形的定义、三角形的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
8.C
【解析】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=40°，
∴∠A=50°，
即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°．
故选：C．
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
9.A
【解析】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ADB的周长是：BD+AD+AB=CD+AD+AB=AC+AB=6+8=14，
故选：A．
根据线段垂直平分线定理求出CD=BD，代入△ADB的周长公式(BD+AD+AB=AC+AB)，求出即可．
本题考查了线段的垂直平分线定理的应用，关键是根据定理推出△ADB的周长等于AC+AB，题型较好，难度不大．
10.B
【解析】解：∵∠AOB=∠COD=30°，
∴∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD，所以①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
而∠AFM=∠BFO，
∴∠AMF=∠BOF=30°，所以②正确；
∵OC∴∠OCA>∠OAC，
∵∠OEM=∠OCE+30°，∠OFM=∠OBF+30°=∠OAM+30°，
∴∠OEM>∠OFM，
∴△OEM与△OFM不可能全等，所以③错误；
作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如图，
∵△AOC≌△BOD，
∴OH=OG，
∴MO平分∠BMC，所以④正确．
故选：B．
根据“SAS”判断△AOC≌△BOD得到AC=BD，则可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠OAC=∠OBD，则根据三角形内角和得到∠AMF=∠BOF=30°，于是可对②进行判断；利用OC∠OAC，则根据三角形外角性质得到推出∠OEM>∠OFM，所以△OEM与△OFM不可能全等，于是可对③进行判断；作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，如图，根据三角形全等的性质得到OH=OG，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可对④进行判断．
本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识．
11.x≥−3且x≠5
【解析】解：由题意得，x+3≥0且x−5≠0，
解得x≥−3且x≠5．
故答案为：x≥−3且x≠5．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.2，3，5
【解析】解：4x+4x2−1
=4(x+1)(x+1)(x−1)
=4x−1，
∵x为整数，且分式4x+4x2−1即4x−1的值为正整数，
∴x可取的值有2，3，5，
故答案为：2，3，5．
先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解．
本题考查分式的值，熟记分式的性质是解答此题的关键．
13.7×10−9
【解析】解：7纳米=0.000000007米=7×10−9米．
故答案为：7×10−9．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.15
【解析】解：当1a−1b=2时，
3a+5ab−3ba−3ab−b=3(a−b)+5ab)(a−b)−3ab=−6ab+5ab−2ab−3ab=15，
故3a+5ab−3ba−3ab−b的值是15．
故答案为15．
当1a−1b=2时，则得到2ab=b−a=−(a−b)，代入3a+5ab−3ba−3ab−b可以求出它的值．
解题关键是用到了整体代入的思想．
15.300x−2060=3001.2x
【解析】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：
300x−2060=3001.2x，
故答案为：300x−2060=3001.2x．
原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时300x小时，实际用了3001.2x小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程300x−2060=3001.2x．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
16.1或3
【解析】解：如图，连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵△APQ是等腰三角形，
∴△APQ是等边三角形，
又∵Q是AC的中点，
∴AQ=AP=2cm，
分两种情况：
①当点P由A向B运动时，t=AP2=22=1(秒)；
②当点P由B向A运动时，t=AB+BP2=4+22=3(秒)；
综上所述，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为1或3秒．
故答案为：1或3．
依据等边三角形的性质即可得到∠A的度数，再根据△APQ是等边三角形，即可得到AP的长，进而分两种情况得到点P运动的时间．
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的判定，等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
17.8
【解析】解：如图，过点C作CH⊥CD，交AD于H，
∴∠HCD=∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
∵∠ACP=∠ADB=90°，∠APC=∠BPD，
∴∠CAH=∠CBD，
又∵AC=BC，
∴△ACH≌△BCD(ASA)，
∴CH=CD，S△ACH=S△BCD，
∵S△ACP−S△PBD=32，
∴S△ACH+S△CHP−S△PBD=32，
∴S△CHD=32，
∴12×CD2=32，
∴CD=8，
故答案为：8．
由“ASA”可证△ACH≌△BCD，可得CH=CD，S△ACH=S△BCD，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18.10
【解析】解：解方程x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2=10．
故答案为10．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
19.解：原式=[2(a−1)(a+1)(a−1)+a+2(a+1)(a−1)]⋅a+1a
=3a(a+1)(a−1)⋅a+1a
=3a−1，
当a= 5+1时，
原式=3 5=3 55．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.解：(x−1+11−x)÷x3−4x2+4xx−1
=(x−1−1x−1)÷x(x−2)2x−1
=(x−1)2−1x−1⋅x−1x(x−2)2
=x2−2x+1−1x−1⋅x−1x(x−2)2
=x2−2xx−1⋅x−1x(x−2)2
=x(x−2)x−1⋅x−1x(x−2)2
=1x−2，
要使分式(x−1+11−x)÷x3−4x2+4xx−1有意义，1−x≠0，x≠0，x−2≠0，
∴x不能为1，0，2，
∵x为−2≤x≤2的整数是−2，−1，0，1，2，
∴x=−2或−1，
当x=−2时，原式=1−2−2=−14，
当x=−1时，原式=1−1−2=−13，
即分式的值是−14或−13．
【解析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x=−2或−1，再代入化简后的结果，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值和不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21.解：(1)由题意可得，
妈妈两次加油的总量是：200x+200y=200y+200xxy(升)，
妈妈两次加油的平均价格是：400200y+200xxy=2xyx+y(元/升)，
即妈妈两次加油的总量是200y+200xxy升，妈妈两次加油的平均价格是2xyx+y元/升；
(2)设爸爸每次加满油箱的油是a升，
则爸爸两次加油的平均价格是ax+ay2a=x+y2(元/升)，
2xyx+y−x+y2=4xy−(x+y)22(x+y)=−(x−y)22(x+y)≤0，
当x=y时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当x≠y时，妈妈的加油方式更省钱．
【解析】本题考查分式的加减，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
(1)根据题意，可以用含有x、y的代数式表示出妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格；
(2)根据题意，可以用x、y的代数式表示出爸爸两次加油的平均价格，然后和妈妈两次加油的平均价格作差，然后比较大小，即可解答本题．
22.解：(1)设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+100)元，根据题意得，
60000x+100×(1+20%)=60000x，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
答：A型自行车今年每辆售价为500元；
(2)解：设购进A型车a辆，则购进B型车共(80−a)辆，
依题意，80−a≤3a，
解得：a≥20，
根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，A型自行车今年每辆售价为500元；B型车每辆的售价为700元，
设利润为y元，则y=(500−400)a+(700−500)(80−a)，
即y=16000−100a，
∵−100<0，
∴当a=20时取得最大值，最大值为16000−100×20=14000(元)，
∴购进A型车20辆，购进B型车共60辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多14000元．
【解析】(1)设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+100)元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
(2)设购进A型车a辆，则购进B型车共(80−a)辆，求得a≥20，设利润为y元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．
23.解：(1)如图1，CE为所作；

(2)如图2，

【解析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质.熟练掌握平行四边形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
(1)连结CE，由DE=DC得到∠DEC=∠DCE，由AD//BC得∠DEC=∠BCE，则∠DCE=∠BCE，即CE平分∠BCD；
(2)连结AC、BD，它们相交于点O，延长EO交BC于F，根据平行四边形中心对称的性质易证△DOE≌△BOF，则DE=BF=AB，同理由(1)可得AF平分∠BAD，则AF为所作．
24.∠CAD DH ∠BAD=∠ADE △DHE
【解析】解：(1)如图，即为所求作；
(2)解：证明：∵∠BAC的角平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF垂直平分AD，
∴∠AHF=∠DHE=90°，AH=DH，AE=DE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
∴△AHF≌△DHE(ASA)，
∴HE=HF．
故答案为：①∠CAD；②DH；③∠BAD=∠ADE；④△DHE．
(1)分别以A、D为半径画弧，交于两点，这两点所在的直线即为AD的垂直平分线，再标注交点字母即可；
(2)由角平分线的定义，得到∠BAD=∠CAD，再由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得出∠CAD=∠ADE，可证△AHF≌△DHE(ASA)，即可得出结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．
25.(1)证明：∵AD/​/BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
AC=BE∠A=∠BAD=BC，
∴△ACD≌△BEC(SAS)；
(2)解：由(1)知△ADC≌△BCE，
∴DC=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE，DF=EF，
∴CF垂直平分DE，
∵CF=3，DF=4．
∴DE=2DF=8，
∴S△DCE=DE⋅CF2=8×32=12，
即△DCE的面积是12．
【解析】(1)根据AD/​/BE，可以得到∠A=∠B，然后根据SAS即可证明结论成立；
(2)根据(1)中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积．
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
26.解：(1)∵A(4,0)，B(0,−2)，将线段AB沿y轴向上平移4个单位，
∴C(0,2)，D(4,4)；
(2)设E(m,0)，
∵A(4,0)，B(0,−2)，
∴S△AOB=12⋅OA⋅OB=12×4×2=4，
又S△CDE=32S△AOB=32×4=6，
过点D作DF⊥x轴于点F，连接CE，DE，DA，
则S△CDE=S梯形COFD−S△OCE−S△DEA=12×(2+4)×4−12×2m−12×4(4−m)=6，
解得m=2，
∴E(2,0)；
(3)x轴上存在点P，使得△A′B′P为等腰直角三角形，
使△A′B′P为等腰直角三角形，分三种情况，设B(0,n)，
①当∠B′A′P=90°时，连接AA′，过点B作B′C//x轴，交AA′延长线于点C，如图，

∵∠B′A′P=90°，
∴∠PA′A+∠BA′C=90°，
∵∠PA′A=∠A′B′C，
又∵∠PAA′=∠C=90°，A′P=A′B′，
∴△AA′P≌△CB′A′(AAS)，
∴AA′=BB′=−2−n，
AA′=BC=4，
∴−2−n=4，
∴n=−6，
∴B′(0,−6)；
②当∠A′PB′=90°时，B′P=A′P，
∵∠B′PO+∠APA′=90°，∠APA′+∠PA′A=90°，
∴∠B′PO=∠PA′A，
∴△OB′P≌△APA′(AAS)，
∴OB′=AP=−n，OP=AA′=−2−n，
OP+AP=OA=4=−2−n−n，
解得n=−3，
B′(0,−3)；
③当∠A′B′P=90°时，B′P=A′B′，
过点B′作CD⊥y轴，作PD⊥x轴，A′C⊥CD分别交于点D和点C，如图，

由题意知，B′C=4，
∵∠DB′P+∠CB′A′=90°，∠DPB′+∠DB′P=90°，
∴∠CB′A=∠DPB′，
∴△B′DP≌△A′CB′(AAS)，
∴DP=B′C=4=−n，
∴n=−4，
∴B′(0,−4)；
∴点B′坐标为：B′(0,−6)，B′(0,−3)，B′(0,−4)．
【解析】(1)根据平移的性质作答即可；
(2)设E(m,0)，S△AOB=12⋅OA⋅OB，S△CDE=32S△AOB，过点D作DF⊥x轴于点F，连接CE，DE，DA，则S△CDE=S梯形COFD−S△OCE−S△DEA，求得m，进而求出点E坐标；
(3)使△A′B′P为等腰直角三角形，分三种情况，设B(0,n)，①当∠B′A′P=90°时，②当∠A′PB′=90°时，B′P=A′P，③当∠A′B′P=90°时，B′P=A′B′，根据平移和三角形全等的性质进行答题即可．
本题考查平移，三角形的面积和平面直角坐标系的综合，三角形全等和坐标的综合问题，解题的关键是对等腰直角三角形的分类讨论．