数学中考函数建模应用探究规律类专题训练参考地区：辽宁省

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“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出y与x的关系式；
（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角∠AOB=60°，OA=24cm，OD=15cm.OA=24cm，OD=15cm．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与AB的长度相等）
【解析】解：（1）依题意，；
（2）当时，，
解得：（舍去），
答：第一层杯子的个数为个；
（3）∵，，
解得：；
∵第一层摆放杯子的总长度不超过，
设第一层杯子的个数为个，则，
解得：，取最大值为，
即第一层摆放杯子个，杯子的层数也是，
∴杯子的总数为（个），
在图4中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴最大高度为．
【发现问题】某数学兴趣小组的同学发现，l条直线把平面分割成2部分，2条直线最多把平面分割成4部分，3条直线最多把平面分割成7部分，4条直线最多把平面分割成11部分，平面被直线最多分割成的部分随着直线条数的变化而变化．
【提出问题】平面被直线最多分割成的部分y与直线的条数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小组同学结合实际操作和计算得到下表（一）所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出表（一）中各对数值所对应的点，得到图①，兴趣小组的同学根据图①中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．
为了验证猜想，同学们根据以往学习经验，先从另一组数据入手，制定了表（二），在平面直角坐标系中，描出表（二）中各对数值所对应的点，得到图②，根据图②中点的分布情况，猜想其图象也是二次函数图象的一部分；如图③，同学们从“形”的角度出发，再借助“补”的思想，进而得出图②中图象确为二次函数图象的一部分；再将图②中图象平移，就可以得到图①中的图象，进而求出y与x的关系式．

【解决问题】（1）直接写出y与x的关系式；
（2）当平面被直线最多分割成106部分时，求直线的条数；
（3）点A是（1）中所求抛物线上的一点，且位于第一象限，点B(0，2)，C(0，1)．△ABC中有一个角等于45°时，请求出点A的坐标．
【解析】（1）由题意设与的关系式为，
由表一可得：，解得：，
∴与的关系式为；
（2）当时，，整理得：，
解得：，（舍去），
∴当平面被直线最多分割成部分时，直线的条数为；
（3）由（）得：与的关系式为，
∵位于第一象限，∴如图，当，过作于点，
∴，
∴，
∴
则设，
∵点，∴点，
∴，整理得：，解得：或（舍去）；
∴点；
如图，当，过作于点，
∴，
∴，
∴，
则设，
∵点，∴点，
∴，整理得：，解得，或（舍去）；
∴点；∵，此时点与点重合，，
综上可知：点的坐标或．
【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．

【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．

为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出y与x的关系式；
（2）若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
（3）如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为cm，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（≈1.732）
【解析】解：设y与x之间的函数关系式为，
将点代入关系式，得：
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由（2）知，，
将代入，得，
解得，，（不合题意，舍去）
所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；
【小问3详解】
解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，

由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离，
∵的长为，
∵的周长为，
∴的直径，即，
∴，
设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算，
所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取12；
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，
解得，，
∵x为整数，∴x最大取13；
将代入，得，；
将代入得，，
∵，
∴最多可以放下469个正六边形模具
“杨辉三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．法国数学家帕斯卡在1654年发现了此三角形，他的发现比杨辉要迟393年，“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就．下图1是杨辉三角形的一部分：
【发现问题】
某学习小组对杨辉三角形观察、研究之后，发现它蕴含着很多重要的规律：
比如第一斜列（即每行的第一个数）：1，1，1，1，1…，第x个数y与x之间的关系，我们可以用y=1来描述，每相邻两个数的差（后数减前数）均为0；
第二斜列（即每行的第二个数）：1，2，3，4，5…，第x个数y与x之间的关系，我们可以用来描述，每相邻两个数的差（后数减前数）均为1；
第三斜列（即每行的第三个数）：1，3，6，10，15…，每相邻两个数的差（后数减前数）依次为2，3，4，5…，差值匀速增加；
……
【提出问题】
第三斜列的第x个数y与x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
该学习小组把观察得到的数据制成表格：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，学习小组根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．
为了验证自己的猜想，学习小组从“形”的角度出发，将第x个数y用黑色正方形总数表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色正方形，使每层正方形的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)在杨辉三角形中，如图1，若从上至下依次设为第一行，第二行，第三行，…，求第24行的第三个数；
(3)若杨辉三角形中每个数所在的位置是一个点，如图4所示，将这些点连接起来，得到一组等腰三角形△PA1B1，△PA2B2，△PA3B3，……，若两腰上任意相邻两个点之间的距离为1.3（PA1=A1A2=……=1.3），底边上任意相邻两个点之间的距离为1（A1B1=1，A2B2=2……），当同一行上第三斜列的数是第二斜列的数的10倍时，求此时以这行为底边的等腰三角形的面积．
【解析】（1）解：依题意，设y与x的关系式为，
将代入得，
，解得：，
∴解析式为：，
（2）解：依题意，时，表示第三行第三个数，则第24行第三个数，则，
当时，，
∴求第24行的第三个数为；
（3）解：∵第二斜列（即每行的第二个数）：1，2，3，4，5…，第x个数y与x之间的关系，我们可以用来描述，每相邻两个数的差（后数减前数）均为1；
第三斜列的第x个数y与x之间为，
∴设为第行上第三斜列的数是第二斜列的数的10倍， ，
解得：或 （舍去），
即第行有22个数据，则这行的底边长为，
∵中，，
∴等腰底边上的高为，则以第行为底边的等腰三角形高为，
∴以第行为底边的等腰三角形的面积为
【问题背景】
综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片．王老师取出三张纸片演示操作，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形．
【分析问题】
（1）请补全上面表格，并在图1所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点(n，m)，再用平滑曲线连接．根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在__________函数关系（填类型）．
【猜想验证】
为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到．
（2）请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为__________．
【解决问题】
某农科研究所有一块矩形的耕地ABCD（如图2），AB=40m，BC=35m，现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验．按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题．
（3）若将此耕地分成56个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量；
（4）为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的36%，求小长方形耕地的总数量．
【解析】解：（1）∵当时：，
当时：，
当时：，
∴当时：，
当时：，
补全表格如下：
描点，连线如图：
由图象可知，可能是二次函数；
（2）∵当时：，
当时：，
当时：，
∴小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为：；
（3）设竖直方向分割用的实线数量x条，由题意，得 ，
解得：（舍掉）；
故竖直方向分割用的实线数量为7条；
设竖直方向小路有y条，由题意，得
，
解得：（不合题意，舍去）；
∴竖直方向小路有8条，
∴小长方形耕地的总数量为．
综合与实践
【解析】解：任务1：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是；
任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
；
任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【发现问题】
辽篮深受辽宁球迷的喜爱，为了发扬辽篮精神，体育局特举行了辽篮教练和队员亲签篮球的展示活动，如图(1)所示，每一个亲签篮球都装在一个棱长为40cm的正方体透明盒子中，正方体透明盒子(盒子厚度忽略不计)相邻摆放在展示柜(等腰三角形ABC，其中AB=AC)中，自下而上逐排递减，如图(2)所示，展示柜的腰长为400cm，底边长为640cm，展示柜用平行于底边的隔板分隔，隔板与上下正方体透明盒子表面均无空隙，隔板长度及上下位置可调节，厚度忽略不计.
【提出问题】
展示柜中第n排篮球上方隔板的长度y(cm)与排数n之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
小明通过观察和计算发现y与n的关系接近学过的函数.
【解决问题】
（1）请写出y与n之间的函数关系式；
（2）若展示柜中摆放了5 排篮球，求展示柜最多可以摆放的篮球数；
（3）若为了增加展示的篮球个数，将正方体透明盒子的棱长调整为30cm，并相应调整隔板的长度及位置，则该展示柜最多可以展示多少排篮球?
如图是用两种深浅不同颜色的小瓷砖铺成的墙面的一部分， 最中心深色小瓷砖称为第1层， 向外依次称为第2层， 第3层， ⋯， 可以猜想， 每层小瓷砖的块数y和相应层数x(x>1)之间存在函数关系.
【问题探究】
（1）小明结合实际图案，很快得到了前4层小瓷砖的块数，并依据规律得到了第5、6层小瓷砖的个数， 他将相关数据列表如下：
小明在平面直角坐标系中描出了上面表格中各对数值所对应的点， 画出了图象并进行了验证， 发现了y与x之间的函数关系式，请你写出a，b的值分别是 ， y与x之间的函数关系式是 .
【问题延伸】
（2）实际上，在前m层(m为奇数) 中， 深色小瓷砖的总块数y₁与m之间也存在某种函数关系. 重复上面分析问题的方法，可以得到y₁与m之间的函数关系式为 .
【问题解决】
（3）若每块小瓷砖的边长为1，该墙面的一部分为边长为17的正方形，且其最外层为深色小瓷砖，则深色小瓷砖比浅色小瓷砖多了多少块?
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
杯子的总数y
1
3
6
10
15
表（一）
x条直线
1
2
3
4
5
最多把平面分成y部分
2
4
7
11
16
表（二）
n
1
2
3
4
5
m
1
3
6
10
15
第一层正六边形模具的个数x
1
2
3
4
…
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y
1
7
19
37
…
第x个
1
2
3
4
5
…
第x个数y
1
3
6
10
15
…
纸片序号n
1
2
3
4
5
裁剪得到的小长方形个数m
2
6
12
纸片序号
1
2
3
4
5
裁剪得到的小长方形个数
2
6
12
20
30
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2
对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到如下数据：
双层部分长度x(cm)
2
6
10
14
a
单层部分长度y(cm)
116
108
100
92
70
素材3
单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3．
素材4
小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1
在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围．
任务2
设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式
任务3
当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
层数x
2
3
4
5
6
……
每层小瓷砖的块数y
8
16
24
a
b
……