江苏省南京市致远初级中学2024-2025学年九下数学第一次月考前模拟练习题【含答案】

这是一份江苏省南京市致远初级中学2024-2025学年九下数学第一次月考前模拟练习题【含答案】，共29页。

A．108°B．129°C．130°D．144°
2．如图，△ABC中，BC＝6，∠A＝30°，点O为△ABC的重心，连接AO、BO、CO，若固定边BC，使顶点A在△ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC的大小不变，则线段AO的长度的取值范围为（ ）
A．＜AO≤+4B．≤AO≤+4C．2≤AO≤+4D．3＜OA≤4+2
3．已知反比例函数y＝和正比例函数y＝的图象交于点M，N，动点P（m，0）在x轴上．若△PMN为锐角三角形，则m的取值为（ ）
A．﹣2＜m＜且m≠0B．﹣＜m＜且m≠0
C．﹣＜m＜﹣或＜m＜D．﹣2＜m＜﹣或＜m＜2
4．如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AB上，BD＝2，线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE交AC于点F，连接AE．下列结论：①四边形ADCE面积为9；②△ADE外接圆的半径为；③AF：FC＝2：7；其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
5．如图，直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC＝1：2，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点均落在坐标轴上，且AC＝BC，将线段AC沿x轴正方向平移至DE，点D恰好为OB中点，DE与BC交于点F，连接AE、AF．若△AEF的面积为6，点E在函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．9B．12C．16D．18
二．填空题（共7小题）
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是 ；△BEC面积的最大值为 ．
8．如图，在△ABC中放置5个大小相等的正方形，若BC＝12，则每个小正方形的边长为 ．
9．一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC＝CE＝2，取AB中点O，连接OF．∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动（包括边界），则CE在运动过程中扫过的面积为 ；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为 ．
10．如图，线段AB＝10，点D是线段AB上的一个动点（不与点A重合），在AB上方作以AD为腰的等腰△ACD，且∠CAD＝120°，过点D作射线DP⊥CD，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，其对角线交点为O，连接OB，则线段OB的最小值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的顶点为A，与y轴交于点B，则点B的坐标为 （用含m的代数式表示）；若作AC⊥AB，且∠ABC＝∠ABO（C、O在AB的两侧），设点C的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 ．
12．若函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣4）+b≤0的解集是 ．
13．如图，点P为线段AB上一点，AB＝3，AP＝2，过点B作任意一直线l，点P关于直线l的对称点为Q，将点P绕点Q顺时针旋转90°到点R，连接PQ、RQ、AR、BR，则线段AR长度的最大值为 ．
三．解答题（共6小题）
14．如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半径长．
15．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．
（1）如图①，连接CB'，当CB'长度最小时，求点P的坐标；
（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a，c为常数）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
（3）M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．
17．矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝6，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
18．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
19．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为P，对称轴交BC于点M，连接PC、PB，△PCM与△PBM的面积比为1：2；
（1）①抛物线的对称轴是 ；②求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q为抛物线第一象限图象上的一点，作QN⊥x轴交BC于点N，当QN+NB取得最大值时，求以Q、N、B、G为顶点的平行四边形顶点G的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠D＝∠E＝＝108°，
又∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
在五边形CDEAO中，
∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°×2﹣108°×2＝144°，
故选：D．
2．【解答】解：如图1，作△ABC的外接圆E，连接BE，EC，过点E作ED⊥BC于D，
∵BE＝EC，
∴BD＝CD＝3，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BEC＝60°，
∵BE＝EC，
∴△BEC是等边三角形，
∴BE＝6，ED＝3，
当点A接近点B或点C时，OA的值最小，OA＞3，
当AO与ED在同一直线上时，如图2，AO最大，
∵AD＝AE+DE＝6+3，
∵O是重心，
∴AO＝AD＝4+2，即AO的最大值是4+2；
综上所述，3＜OA≤4+2
故选：D．
3．【解答】解：由解得或，
∴M（﹣2，﹣1），N（2，1），
在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠NP1M＝∠MP2N＝90°，
则OP1＝OP2＝AB＝，
∴P1（﹣，0），P2（，0），
在x轴上原点的两旁取两点P3，P4，使得∠P3MN＝∠P4NM＝90°，
则OP3＝OP4＝，
∵点P（m，0）在x轴上，△PMN为锐角三角形，
∴﹣＜m＜﹣或＜m＜，
故选C．
4．【解答】解：∵线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴CB＝CA，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴四边形ADCE面积为S△ABC＝＝9，故①正确；
作CH⊥AB于H，
则BH＝3，CH＝3，
∴CD＝＝，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE＝∠B＝60°，
∴∠DAE＝120°，
以DE为底边，作等腰△DOE，使∠DOE＝120°，作OQ⊥DE于Q，
则EQ＝，∠EOQ＝60°，
∴EO＝＝，故②正确；
∵∠CDF＝∠CAD，∠DCF＝∠ACD，
∴△CDF∽△CAD，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝6﹣，
∴AF：CF＝2：7，故③正确，
故选：A．
5．【解答】解：∵直线y＝x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C（0，﹣2），B（2，0），
∴S△BOC＝OB•OC＝×2×2＝2，
∵S△AOB：S△BOC＝1：2，
∴S△AOB＝S△BOC＝1，
∴×2×yA＝1，
∴yA＝1，
把y＝1代入y＝x﹣2，
得1＝x﹣2，解得x＝3，
∴A（3，1）．
∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴k＝3×1＝3．
故选：B．
6．【解答】解：∵AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴OA＝0B．
设B点的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，c），
∴A（﹣a，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣a，0），C（0，c）代入，
得，
∴直线AC的解析式为y＝x+c．
∵线段DE是由线段AC沿x轴正方向平移得到，且D为OB中点，
∴可得E（a，c），D（a，0），
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
将点D（a，0），E（a，c）代入，
得，
∴直线DE的解析式为y＝．
同理可得直线BC的解析式为y＝﹣，
由，得，
∴F（）．
∵S△AEF＝S△ADE﹣S△AFD＝＝6，
∴ac＝16．
∵点E在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝ac＝16．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
7．【解答】解：∵B、E关于AD对称，
∴AE＝AB＝4，
则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，如图，
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，
当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；
又∵B、E不重合，
∴CE＜5，
当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF＝AF﹣AC＝4﹣3＝l，
即CE最短为l，
即CE的取值范围为：1≤CE＜5；
当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，
设AE交BC于点G点，
利用面积可知AB×AC＝BC×AG，
∴AG＝2.4，
∵AE＝AB＝4，
∴EG＝4﹣2.4＝1.6，
∴△BCE的面积最大值为：1.6×5×＝4，
∴△BCE的面积的最大值为4；
故答案为：1≤CE＜5；4．
8．【解答】解：如图所示：
根据题意得MN∥GH∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC＝∠AGH，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，△AGH∽△ABC，
设△ABC中BC边上的高为h，小正方形的边长为a，
∵BC＝12，
∴，，
解得a＝3，
∴小正方形的边长为3，
故答案为：3．
9．【解答】解：CE在运动过程中扫过的部分是半径为2，圆心角为90°﹣45°＝45°的扇形，
因此面积为＝，
当点C、O、F在一条直线上时，OF最小，如图，过点O作ON⊥CE于N，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，
∴BC＝tan30°•AC＝2，AB＝2BC＝4，
∵点O是AB的中点，
∴OC＝AB＝2，
在Rt△OCN中，OC＝2，∠OCN＝45°，
∴CN＝ON＝sin45°•OC＝，
在Rt△MON中，∠MON＝60°﹣45°＝15°，
设MN＝x，则ON＝（2+）x＝，
解得x＝2﹣，
即MN＝2﹣，
由勾股定理得，
OM＝＝2﹣2，
∴△MOC的周长为ON+CM+OM＝2++2﹣+2﹣2
＝3+2﹣，
故答案为：，3+2﹣．
10．【解答】解：连接OA，如图所示：
∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD，
在矩形CDGH中，OC＝OD，
又∵OA＝OA，
∴△OAC≌△OAD（SSS），
∴∠OAD＝∠OAC，
∵∠CAD＝120°，
∴∠OAD＝60°，
当BO⊥AO时，BO的值最小，
∵AB＝10，
BO最小值＝AB•sin60°＝，
故答案为：．
11．【解答】解：延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作CM⊥NA于M，如图，
在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AC＝AD，
同理可得：△AMC≌△AND，
∴AM＝AN，CM＝DN．
∵抛物线y＝﹣（x+m）2+m2﹣m的顶点为A，与y轴交于点B，
∴点A（﹣m，m2﹣m），点B（0，﹣m），
∴AM＝AN＝m，ON＝m2﹣m，OB＝m，
∴BN＝m+（m2﹣m）＝m2．
∵∠ABN＝90°﹣∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠CMA＝90°，
∴△ABN∽△CAM，
∴，
即：，
∴CM＝4，
∴点C的坐标为（﹣2m，m2﹣m﹣4），
∴x＝﹣2m，y＝m2﹣m﹣4，
∴m＝﹣x，
∴y＝•（﹣x）2﹣（﹣x）﹣4，
∴所求函数的解析式为：y＝+x﹣4．
故答案为y＝+x﹣4．
12．【解答】解：把（1，0）代入y＝kx+b得k+b＝0，则b＝﹣k，
所以k（x﹣4）+b≤0化为k（x﹣4）﹣k≤0，
即kx﹣5k≤0，
因为k＜0，
所以x≥5．
故答案为：x≥5．
13．【解答】解：连接BQ，PR，过B作BC⊥AB，且BC＝BP＝BQ＝BP＝AB﹣AP＝3﹣2＝1，连接CP、CR，
∵∠PQR＝90°，PQ＝OQ，BC＝BP，∠CBP＝90°，
∴∠QPR＝45°＝∠BPC，，
∴∠RPC＝∠QPB，
∴△PCR∽△PBQ，
∴，
∵BP＝BQ＝1，
∴PC＝RC＝，
∴点R在以⊙C上，
当A、C、R依次在同一直线上时，AR的值最大为AR＝AC+CR＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
14．【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠B+∠C＝90°
∴∠BAC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）过D作DH⊥AE于H，
∵DE＝DA，
∴AH＝EH＝AE＝12，
∵tanE＝tan∠EAD＝＝，
∴DH＝9
∴AD＝＝＝15，
∵∠B＝∠E，
∴tanB＝＝，
∴BD＝20，
∴AB＝＝25，
∴⊙O的半径长为．
15．【解答】（1）解：设BP＝x，由题意，当CB'长度最小时，O，B'，C三点共线，
∵∠OBP＝90°，由翻折得，∠OB'P＝90°，
∴∠CB'P＝90°＝∠OBP，
∵∠B'CP＝∠OCB，OB＝6，BC＝8，
∴△B'CP∽△BCO，OC＝，
∴，
∴，
解得：x＝3，
∴点P的坐标为（3，6）；
（2）①解：∵△OB'P，△QC'P分别是由△OBP，△QCP折叠得到的，
∴∠OPB'＝∠OPB，∠QPC'＝∠QPC，
∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC＝180°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，
∵∠BOP+∠OPB＝90°，
∴∠BOP＝∠CPQ，
∵∠OBP＝∠C＝90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由题意设BP＝x，BC＝8，AC＝6，则PC＝8﹣x，CQ＝6﹣AQ，
∴，
∴AQ＝（0＜x＜8），
∴当x＝4时，AQ最小为，点P的坐标为（4，6）；
②解：由①知，CQ＝6﹣AQ＝，其中，0＜x＜8，
当x＝4时，CQ取最大值，
在P从BC中点运动到C点的过程中，
CQ的长度从最大值减小为0，
故Q点运动路径长度为：．
16．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）两点分别代入抛物线y＝ax2﹣x+c中得：，
解得：，
所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图1，连接PC，过点P作PE∥y轴，交BC于E，
∵＝，
∴＝，
设BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴BC的解析式为：y＝x﹣4，
设E（t，t﹣4），P（t，t2﹣t﹣4），
∴EP＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∴S△CPB＝•PE•OB＝×4（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t2﹣4t+4﹣4）＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，△BCP的面积最大，且最大值是4，此时△BDP的面积最大值是；
（3）∵B（4，0），C（0，﹣4），＝，
∴D（，﹣），
抛物线的对称轴是：x＝1，
分三种情况：
①如图2，四边形ADNM是平行四边形，
∵A（﹣2，0），D（，﹣），点M的横坐标为1，
∴点N的横坐标为，
当x＝时，y＝×（）2﹣﹣4＝，
∴N（，）；
②如图3，四边形ADMN是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标是﹣，
当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝，
∴N（﹣，）；
③如图4，四边形ANDM是平行四边形，
由平移得：点N的横坐标为：﹣
当x＝﹣时，y＝×（﹣）2+﹣4＝﹣，
∴N（﹣，﹣）；
综上，点N的坐标为N（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）．
17．【解答】解：（1）①如图1，当点E与点B重合时，AP⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝m＝6，AD＝n＝6，
∴∠BAD＝90°，BD＝＝＝12，
∴∠DAP+∠BAP＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠ABD+∠BAP＝90°，∠DPA＝∠DAB＝90°，
∴∠DAP＝∠DBA，
∴△DAP∽△DBA，
∴，即，
∴DP＝9；
②如图2，设AE交BD于点O，
∵EB＝EP，
∴∠EBP＝∠EPB，
∵∠ABP＝∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴AE垂直平分BP，
∴BP＝2BO，
由①得：DB＝12，DO＝9，
∴OB＝DB﹣DO＝12﹣9＝3，
∴BP＝2×3＝6；
（2）如图3，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，
∴∠PGB＝∠GBE＝∠BFP＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
同理：四边形AGHD，四边形GBCH，四边形PFCH都是矩形，
∴BG＝PF＝CH，AB＝CD＝6，AD＝GH＝BC＝8，PG＝BF，PH＝CF，
设PF＝x，PH＝y，则BG＝x，AG＝6﹣x，PG＝8﹣y，
∵S△BCD＝S△BCP+S△PCD，
∴×6×8＝×8x+×6y，
∴y＝8﹣x，
∴PG＝x，CF＝8﹣x，
∵∠APE＝∠GPF＝90°，
∴∠APG＝∠EPF，
∵∠PGA＝∠PFE＝90°，
∴△PGA∽△PFE，
∴，即，
∴EF＝，
∴CE＝EF+CF＝，
∴S△PEC＝•CE•PF
＝（）x
＝﹣（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，△PEC的面积最大，最大值为，
故答案为：．
18．【解答】解：（1）连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ADC＝∠DCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝4，AD＝CE＝2，
设AB＝BC＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+EB2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
∴x＝5，
∴⊙O的半径为.
（2）连接AC，DE交于点J，作射线BJ交CD于点M．设BM交AE于点R．
∵AE∥CD，
∴∠JDM＝∠JER，
∵JD＝JE，∠DJM＝∠EJR，
∴△JDM≌△JER（ASA），
∴DM＝RE，
∵ER∥CM，
∴△BER∽△BCM，
∴＝＝＝．
19．【解答】解：（1）①∵y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣＝1，
即抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：直线x＝1；
②∵C（0，4），
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+4，
∵△PCM与△PBM的面积比为1：2，
∴PM×（xB﹣1）＝2×PM×（1﹣xC），
∴xB﹣1＝2，
∴xB＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴A（﹣1，0），
将B（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+4中，
得：9a﹣6a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+4．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，4）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+4，
设Q（t，﹣t2+t+4），则N（t，t+4），
∴QN＝﹣t2+t+4﹣（t+4）＝﹣t2+4t，
设QN与x轴交于H，则H（t，0），
∴NH＝t+4，BH＝3﹣t，
∵QN⊥x轴，
∴∠BHN＝∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵sin∠CBO＝＝，
∴＝，
∴NB＝（t+4）＝t+5，
∴QN+NB＝﹣t2+4t+（t+5）＝﹣t2+t+5＝﹣（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，QN+NB取得最大值，
∴﹣t2+t+4＝﹣×（）2+×+4＝，
此时，Q（，），N（，），
①当BQ为▱BNQG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，
∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，
∴BG＝，BG∥y轴，
∴G1（3，）；
②当BN为▱BQNG的对角线时，BG∥QN，BG＝QN，
∵QN＝﹣＝，QN∥y轴，
∴BG＝，BG∥y轴，
∴G2（3，﹣）；
③当QN为▱BQGN的对角线时，BN∥GQ，BN＝GQ，
∵BH＝3﹣＝，HN＝，
∴BN向左平移个单位，向上平移个单位，得到线段GQ，
∴点G的横坐标为：﹣＝﹣，点G的纵坐标为：+＝，
∴G3（﹣，）；
综上所述，顶点G的坐标为G1（3，）或G2（3，﹣）或G3（﹣，）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制