河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举法表示出集合A，B，再应用并集运算求解．
【详解】由，，则.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】特称命题的否定为存在改任意，并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则 “，”的否定是：，
故选：C
3. 的值为（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求解．
【详解】.
故选：B
4. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合指数函数及对数函数的单调性即可比较a，b，c的大小．
【详解】因为，所以，
又，所以
故选：
5. 某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为（ ）
A. 1600元B. 1540元C. 1400元D. 1340元
【答案】D
【解析】
【分析】先设李女士在商场购物的总金额为x元，根据题意列式然后求解即可．
【详解】设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，
则，解得，
即她实际所付金额为元．
故选：
6. 折扇在中国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化(如图1)，也是“运筹帷幄”“决胜千里”“大智大勇”的象征，图2为其结构简化图.若在圆形纸张上剪下一把扇形的扇子(扇形的半径和圆形纸张的半径相同)，记该扇形的面积为，剩下的图形面积为，若与的比值满足黄金分割值，则扇子的圆心角大约为（ ）（参考数据）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的圆心角为，半径为r，利用扇形及圆的面积公式化简求解．
【详解】设扇形的圆心角为，半径为r，则，，
所以，解得.
故选：C
7. “”是“函数图象不经过第一象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由题中条件图象不经过第一象限，求出m的范围，根据此范围来确定与两者关系判断充分必要性．
【详解】由图象不经过第一象限，则，解得，
而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件．
故选：B
8. 已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A. B. 2C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案.
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这两个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】作差比较即可判断A的正误，时即可判断B的正误，根据不等式的性质即可判断C的正误，用和表示即可判断D的正误．
【详解】，，
，，A正确；
时，，B错误；
，，C正确；
，
且，，
则，D正确．
故选：.
10. 已知函数图象关于原点对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 函数在上单调递减
C. 函数的值域为RD. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意知函数的奇函数，定义域关于原点对称，求出a的值判断A；利用复合函数的单调性判断B；由对数函数的性质及的值域判断C；解不等式判断D.
【详解】对于A，因为函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，定义域关于原点对称，
由，可得，
令，得或，所以，解得，正确；
对于B，因为，，
因为在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，又为奇函数，
所以函数在上单调递增，错误；
对于C，因为，
当x趋于时，趋于0，趋于；
当x趋于1时，趋于，趋于；
所以函数的值域为R，正确；
对于D，由，可得，所以，解得，
又，所以，错误．
故选：AC
11. 已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的解析式是
B. ，，总有
C. 方程有3个不等的实根
D. 若，则函数在内不存在零点
【答案】AC
【解析】
【分析】用待定系数法求出的解析式判断A；用作差法判断B；用换元法求出方程的根判断C；化简得转化为与的图象在上是否存在交点，作出图象，结合图象求解判断D．
【详解】对于A，设二次函数，
由，可得，
则，
所以，解得，所以，
又，所以，则，正确；
对于B，因为，
，
所以，
所以，错误；
对于C，令，由，得，解得，，
由，可得，此时，有两个不等根；
由，可得，解得，
所以方程有3个不等的实根，正确；
对于D，，
函数在上连续，令，则有，
作出函数与的图象，如图所示：
由此可得两函数在内有2个交点，
所以函数在内有2个零点，错误．
故选：AC
【点睛】关键点点睛：应用待定系数法求函数解析式为关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】
【解析】
【分析】应用对数的运算性质化简求值即可.
【详解】
故答案为：
13. 若函数和满足下列条件：①；②请写出符合条件的一组函数表达式：______，______.
【答案】 ①. ②. (答案不唯一)
【解析】
【分析】由①可得，再结合②，根据三角函数基本关系式和二倍角公式可解.
【详解】由①得，
结合②可得，，
或者，，
或者等符合条件的表达式均可．
故答案为：；(答案不唯一)
14. 已知函数在上有两个零点，，则当______时，取得最小值.
【答案】4
【解析】
【分析】由函数的零点的范围可得a的范围，进而可得两个零点之和及之积，求出的表达式，再求出它的最小值及最小值时的a的值．
【详解】函数在上有两个零点，，
可得，可得，
且，，
所以，则此时
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数t的取值范围.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的补集及交集运算即可求解；
（2）结合集合的交集运算即可求解．
【小问1详解】
当时，，，则或，
故；
【小问2详解】
若，
当时，，即，
当时，，解得，
综上，t的范围为或
16. 已知函数 .
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；单调递增区间为：；（2）最大值；最小值.
【解析】
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，由得到最小正周期；根据正弦函数的对称轴，即可列式，求出对称轴；
（2）先由，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】（1）因为
，
所以最小正周期为：；
由得，
即单调递增区间是：；
（2）因为，所以，
因此，
当即时，取最小值；
当即时，取最大值；
【点睛】本题主要考查正弦型三角函数的周期、对称轴，以及给定区间的最值问题，熟记正弦函数的性质，以及辅助角公式即可，属于常考题型.
17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于
（1）用表示的面积，并求其最小值；
（2）当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.
【答案】（1），，1
（2）有，
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，，则直线MN的方程为，然后求解即可；
（2）由题意可得：的周长为，然后结合三角函数最值的求法求解．
【小问1详解】
由题意可得：，，
则直线MN的方程为，
则，，则，，
又，则时，
的面积取最小值1；
【小问2详解】
由题意可得：的周长为，
令，
则，则的周长为，
即当变化时，的周长有最小值，且最小值为
18. 若函数为奇函数，为偶函数，且满足
（1）求和解析式；
（2）记；
（i）判断的奇偶性，并用定义证明的单调性；
（ii）若成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1），；
（2）（i）在R上单调递减，证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得关于与的方程组，求解即可；
（2）（i）由奇偶性的定义即可判断的奇偶性，由单调性的定义即可证明的单调性；
（ii）由的奇偶性与单调性将不等式脱去“h”，可得关于t的一元二次不等式，求解即可．
【小问1详解】
由①，得，
根据和的奇偶性，得②，
由①和②，得，.
【小问2详解】
（i）由，则为奇函数，
又，
任取，，且，有，
因为函数在R上单调递增，所以，
因此，即，则在R上单调递减．
（ii）因为，所以，
所以，因此，则，解得，
所以实数t的取值范围是.
19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题.
例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____.
其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题.
（1）已知a，b，c为正实数，且，求证：；
（2）已知，，且，则的最小值是多少？
（3）某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：
令则化为
原式当且仅当即，即，时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论；
（2）将化为，再应用基本不等式求最小值；
（3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值.
【小问1详解】
，
当且仅当，即时，等号成立，得证．
【小问2详解】
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值是
【小问3详解】
，
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最大值为享受折扣的购物金额
折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分