高考数学—数列考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

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已知数列{an}的前n项和Sn,求通项an与Sn的关系中,an＝Sn－Sn－1,成立的条件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1应由a1＝S1求出,然后再检验a1是否在an中,这是一个典型的易错点．
易错题【02】利用等比数列求和忽略的情况
注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，,若公比未知,则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错题【03】裂项求和剩余项出错
用裂项相消法求和时,裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项．
易错题【04】混淆数列与函数的区别
数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
01
(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，
已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
【警示】本题易错之处是在由求时忽略对的讨论
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【问诊】(1)由已知得,且，,
取,由得,由于为数列的前n项积，
所以,
所以，所以,
由于所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,,
当n=1时，(易错之处),
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴．
【叮嘱】。
1.(2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则( ).
A．190B．192C．180D．182
【答案】B
【解析】当时，；当时，，
经检验不满足上式，所以，
，则，.故选B.
2. 已知各项均为正数的数列的前项和为，其中为常数.
(1)证明：；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明：因为，所以，
因为，所以，即，
可得.
又因为，可得，所以，故.
(2)由(1)知，当时，，
两式相减得，即
所以数列从第二项起成等比数列，且公比.
又由，即，所以，可得，
所以，
若数列是等比数列，则，可得，
经验证得时，数列满足，
所以当时，数列是等比数列.
02
【例4】求数列的前n项和．
【警示】本题易错之处是忽略考虑的情况
【答案】
【问诊】当时,；
当时,由于,[
两式相减得
=
.
所以
【叮嘱】利用等比数列前n项和公式求解数列问题，要注意判断公比是否可以为1
2．(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)等比数列的前项和为，若，则( )
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选A
2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期测试)已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，，符合题意；当时，恒成立，当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；
当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，
若该不等式恒成立，则，即，所以设，
，，
所以当时，，此时，
此时该不等式不可能恒成立；
当时，，若该不等式恒成立，只需，
解得(舍去)或，综上，；
若为奇数，不等式变形得，，满足题意；
综上所述，实数的取值范围是．
03
【例5】求和： ________．
【警示】本题错误解法是：
=
=.
【问诊】错误原因是裂项相消后,忽略前面与后面各剩余2项．
正确解法是：=
=.
【叮嘱】裂项求和要注意相消后剩余哪些项，不熟练时可以多写几项，发现规律。
1．(2022届广东省仲元七校高三上学期11月月考)设数列的前n项和，，，成等比数列.
(1)求数列的通项；
(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和为.
【解析】(1)，当时，，当时，
，∴，，
，由题知，
舍)或
，当n＝1时，也满足上式，；
(2)由(1)知，
∴
2. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列的前项和为，是与的等比中项，______．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)选条件①．
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为；
选条件②．
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为．
选条件③．
因为是与的等比中项，所以，
由，可得，
设等差数列的公差为，
则依题意得，，所以，得，
所以数列的通项公式为．
(2)
由(1)可得．
因为，所以，
.
04
已知,若数列是递增数列,则的取值范围是 .
【警示】本题易错之处是忽略正整数的不连续性，误用由二次函数的单调性，得出,即的错误结论。
【问诊】因为数列是递增数列,所以,
所以.
【叮嘱】求解数列问题可以利用函数性质，但要注意n是不连续的.
1．(2022届山东省枣庄市滕州市高三上学期期中)已知数列，，则下列说法正确的是( )
A．此数列没有最大项B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项D．此数列的最小项是
【答案】B
【解析】令，则，当时，，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为，故选B．
2. (2022届黑龙江省实验中学高三上学期月考)已知数列的前项和为，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)∵∴当时，，
当时，由，得，即，数列是公差为2的等差数列，
由条件得，即数列是公比为2的等比数列，
；
(2)∵，则，
，
，
，恒成立，
则恒成立，
令，则，
，
，
，
故实数的取值范围是﹒
错
1．(2022届江苏省徐州市高三上学期期中)已知等比数列的前项和，数列的前项和为，若数列是等差数列，则非零实数的值是( )
A．B．C．3D．4
【答案】C
【解析】因为等比数列的前项和，则当时，，则，解得，
则，即是以为首项，为公比的等比数列，
则，因为是等差数列，则通项公式不能出现次方项，所以，解得.故选C.
2．(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中)数列的前项和为，若，，则( )
A．数列是公比为2的等比数列B．
C．既无最大值也无最小值D．
【答案】D
【解析】由题意，时，，又，解得：，
时，，则，又，
所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；
易得，，则，B错误；
时，，时，，而是递减数列，所以时，.综上：有最大值1.C错误；
时，，满足题意；时，，于是，.D正确.故选D.
3．(多选题)()若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是( )
A．若，则为递减数列
B．若，则为递增数列
C．若，则
D．若，则是等比数列
【答案】ABD
【解析】在等比数列中，，
当时，显然有，故数列为递减数列，故A正确；
当，显然有，故为递增数列，故B正确；
若等比数列满足，则则，故C不正确；
设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公比为，故D正确；故选ABD．
4．(多选题)(2022届江苏省新高考基地学校高三上学期联考)设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t()，则( )
A．数列是等比数列B．
C．数列是递增数列D．当且仅当t