高考数学—不等式考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

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利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.
易错题【02】解分数不等式忽略分母不为零
解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如.
易错题【03】连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立
连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.
易错题【04】混淆单变量与双变量
(1) 恒成立的最小值大于零；
(2)恒成立；
(3) 使得成立的最大值大于零；
(4) 使得恒成立；
易错题【05】解含有参数的不等式分类不当致误
(1)解含有参数的不等式要注意判断是否需要对参数进行分类讨论,分类要满足互斥、无漏、最简.
(2)解形如的不等式,首先要对的符号进行讨论,当a的符号确定后再根据判别式的符号或两根的大小进行讨论.
01
设f(x)＝ax2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________．
【警示】本题常见的错误解法是：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤a－b≤2， ①,2≤a＋b≤4，②))
①＋②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,又由①可得－2≤－a＋b≤－1,③
②＋③得0≤2b≤3,∴－3≤－2b≤0,又f(－2)＝4a－2b,∴3≤4a－2b≤12,
∴f(－2)的取值范围是[3,12]．
【答案】
【问诊】正确解法是：由 得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10,故5≤f(－2)≤10.
【叮嘱】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.
1. 已知实数x,y满足,,则( )
A．1≤x≤3B．2≤y≤1C．2≤4x+y≤15D．xy
【答案】C
【解析】∵,,∴两式相加,得,即1≤x≤4,故A错误；
∵,∴,解得,故B错误；∵,又,∴,故C正确；
∵,又且 ,
∴,故D错误.故选C.
2.已知,,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.设,
所以,解得：,,
因为,,所以,
因为单调递增,所以.故选C.
02
解不等式.
【警示】本题易错之处是误以为.
【问诊】,
所以的解集为.
【叮嘱】,且.
1．设集合,,则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】集合,
,故选D.
2. 设,那么“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由不等式,可得,解得,当时,不一定成立,即充分性不成立；当时,成立,即必要性成立,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
03
已知x>0,y>0,且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1,则x＋y的最小值是________．
【警示】本题错误解法是：∵x>0,y>0,∴1＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)≥2eq \r(\f(2,xy)),∴eq \r(xy)≥2eq \r(2),∴x＋y≥2eq \r(xy)＝4eq \r(2),
∴x＋y的最小值为4eq \r(2).
【答案】3＋2eq \r(2)
【问诊】eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)≥2eq \r(\f(2,xy))取等号的条件是,即,x＋y≥2eq \r(xy)取等号的条件是与矛盾.正确解法为：∵x>0,y>0,∴x＋y＝(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(2,y))
＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(2x,y)≥3＋2eq \r(2)(当且仅当y＝eq \r(2)x时取等号),
∴当x＝eq \r(2)＋1,y＝2＋eq \r(2)时,(x＋y)min＝3＋2eq \r(2).
【叮嘱】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1.(2022届辽宁省东北育才学校高三上学期模拟)圆关于直线对称,则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆可得标准方程为,因为圆关于直线对称,该直线经过圆心,即,,,
当且仅当,即时取等号,故选C.
2.(2022届河南省名校大联考高三上学期期中)已知正实数,,满足,则当与同时取得最大值时,( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由,可得,
则 ,
当且仅当时等号成立；又由,
当时,等号成立,所以当与同时取得最大值时,则有,
解得,此时.故选B.
04
已知,,
(1)若对任意,恒有,求实数的取值范围；
(2)若对任意,恒有,求实数的取值范围；
【警示】本题易混淆单变量与双变量
【答案】(1)；(2)
【问诊】(1)设,因为时=>0,所以在上是增函数,由此可求得的值域是[0,],所以实数的取值范围是[0,].对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0.
(2)由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.
【叮嘱】①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；
②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.
= 3 \* GB3 ③设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即.
1．已知 ,在区间上存在三个不同的实数,使得以为边长的三角形是直角三角形,则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因,故当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增,故,又,所以,由题设可得,解之得,又由于,所以,故选D．
2.已知函数是定义域上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式,判断函数在上的单调性并证明；
(2)令,若对任意都有,求实数的取值范围.
【解析】(1)根据题意得到,,从而得到,再解方程组即可；
(2)根据题意得到,设,得到,根据,再利用二次函数的性质得到,,从而得到,解不等式即可.
(1)
,又是奇函数,
,
, 解得,
此时,经检验满足题意,
(2)由题意知,令,,
由可知函数在上单调递减,在上单调递增,,
函数的对称轴方程为,函数在上单调递增,
当时,；当时,；
即,,
又对,都有恒成立,
即
解得,又,的取值范围是.
05
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1