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新高考数学三轮冲刺专题03 不等式（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（含解析）
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这是一份新高考数学三轮冲刺专题03 不等式（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（含解析），共27页。试卷主要包含了比较大小基本方法，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
2．．等式的性质
（1）基本性质
类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立，充分性成立；
由 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 不成立，必要性不成立；
所以 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：A
变式2．对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：对于A： SKIPIF 1 < 0 时，不成立，A错误；
对于B：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C：令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，代入不成立，C错误；
对于D：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：D．
变式3．已知 SKIPIF 1 < 0 均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 没意义，B错误；
C，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立，D错误.
故选：C
1．已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】选项A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
与已知条件矛盾，故B不正确；
选项C：因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
选项D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确；
故选：C.
2．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确，
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确，
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误，
故选：D
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于A，令 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：C
4．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，AB错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D
5．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由不等式的基本性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错； SKIPIF 1 < 0 ，B对；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错； SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：B.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
B选项，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：D.
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件.
故选：B
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
9．下列四个选项能推出 SKIPIF 1 < 0 的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误，
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确，
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选：ACD.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD．
11．已知实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】选项A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项B，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
选项C， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
选项D，设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
具体模型解题方案：
1、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
2、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推．
4、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ；
5、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ；
6、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ；
7、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ．
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，且 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ． = 3 \* GB3 ③若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) 当 SKIPIF 1 < 0 时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 = 2 \* GB3 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 。
例 ．若对于任意实数x，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】ABD
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，要满足 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
所以对比选项得，实数a可能是 SKIPIF 1 < 0 ，0，1.故选：ABD.
变式1．已知关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
不等式 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
不等式 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
变式2．已知命题 SKIPIF 1 < 0 ：关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为R，那么命题 SKIPIF 1 < 0 的一个必要不充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】命题p：关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为R，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：CD．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0
B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
C．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】选项A： SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
选项B：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件，故B正确；
选项C：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，故C正确；
选项D：由均值不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 无实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确；故选：AD
1．已知 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 有解，则m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的二根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，不等式 SKIPIF 1 < 0 化为： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，C不正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-3，
从而得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD
2．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
3．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则满足要求的有序数对 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】B
【详解】由题意若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则必须满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
再由 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合（4），（5）两式可知 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式组得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，共一个.
故选：B.
5．设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
6．若两个正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，且不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
若不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
7．“不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项中“不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的一个充分不必要条件是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．已知当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
因当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
9．已知集合 SKIPIF 1 < 0 中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由集合 SKIPIF 1 < 0 中恰有两个元素，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
10．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】易知方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，方程的两根为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
11．若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：∵不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问题）
1.几个重要的不等式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2）基本不等式：如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“”).
特例： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 同号）.
（3）其他变形：
① SKIPIF 1 < 0 (沟通两和 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
② SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
③ SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
④重要不等式串： SKIPIF 1 < 0 即
调和平均值 SKIPIF 1 < 0 几何平均值 SKIPIF 1 < 0 算数平均值 SKIPIF 1 < 0 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型二： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型三： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型四： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.
例 ．函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．9B．8C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立
故选：B.
变式1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
变式2．已知命题p：在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；q：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】命题p：在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，为真命题，
当 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以命题q：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，为真命题，
所以 SKIPIF 1 < 0 为真命题， SKIPIF 1 < 0 假命题， SKIPIF 1 < 0 假命题， SKIPIF 1 < 0 假命题，
故选：A.
变式3．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最小值3B．最大值3
C．最小值 SKIPIF 1 < 0 D．最大值 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时成立，
AD错误，B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
故选：B．
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（不包括端点），向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（不包括端点），
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：C．
2．已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为3B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为3D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】对于A：由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故A正确；
对于B：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故C错误；
对于D：由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为8D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】对于A和B中，因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以A、B正确；
对于C中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号，所以C正确；
对于D中，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号，所以D错误．
故选：ABC.
4．任取多组正数 SKIPIF 1 < 0 ，通过大量计算得出结论： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．若 SKIPIF 1 < 0 ，根据上述结论判断 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．3
【答案】BD
【详解】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为16B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为9
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为1D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为16，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
6．已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】对A，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故A错误，
对B， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故B正确；
对C， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故C正确；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
7．设正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为6B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
故选：BD.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
由A得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ACD．
9．若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，以下选项中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为5D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故D错误.
故选：AB.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 .
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由柯西不等式可知： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即D正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
故选：ABD
11．设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
性质
性质内容
对称性
SKIPIF 1 < 0
传递性
SKIPIF 1 < 0
可加性
SKIPIF 1 < 0
可乘性
SKIPIF 1 < 0
同向
可加性
SKIPIF 1 < 0
同向同正
可乘性
SKIPIF 1 < 0
可乘方性
SKIPIF 1 < 0
易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
2．．等式的性质
（1）基本性质
类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立，充分性成立；
由 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 不成立，必要性不成立；
所以 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
B选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：A
变式2．对于实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：对于A： SKIPIF 1 < 0 时，不成立，A错误；
对于B：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C：令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，代入不成立，C错误；
对于D：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：D．
变式3．已知 SKIPIF 1 < 0 均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 没意义，B错误；
C，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立，D错误.
故选：C
1．已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】选项A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
与已知条件矛盾，故B不正确；
选项C：因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
选项D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确；
故选：C.
2．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确，
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确，
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误，
故选：D
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于A，令 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，显然有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：C
4．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，AB错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D
5．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由不等式的基本性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，A错； SKIPIF 1 < 0 ，B对；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错； SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：B.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
B选项，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D选项，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：D.
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件.
故选：B
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
9．下列四个选项能推出 SKIPIF 1 < 0 的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确，
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误，
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确，
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选：ACD.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD．
11．已知实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】选项A，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
选项B，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
选项C， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
选项D，设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
具体模型解题方案：
1、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
2、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，得: SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 即关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推．
4、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ；
5、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ；
6、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ；
7、已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则一定满足 SKIPIF 1 < 0 ．
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，且 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ． = 3 \* GB3 ③若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) 当 SKIPIF 1 < 0 时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 = 2 \* GB3 ②若 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 。
例 ．若对于任意实数x，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】ABD
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，要满足 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
所以对比选项得，实数a可能是 SKIPIF 1 < 0 ，0，1.故选：ABD.
变式1．已知关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
不等式 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
不等式 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
变式2．已知命题 SKIPIF 1 < 0 ：关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为R，那么命题 SKIPIF 1 < 0 的一个必要不充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】命题p：关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为R，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：CD．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0
B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
C．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】选项A： SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
选项B：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件，故B正确；
选项C：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，故C正确；
选项D：由均值不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 无实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确；故选：AD
1．已知 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 有解，则m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的二根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，不等式 SKIPIF 1 < 0 化为： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，C不正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-3，
从而得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD
2．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
3．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则满足要求的有序数对 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】B
【详解】由题意若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则必须满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
再由 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
结合（4），（5）两式可知 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式组得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ，共一个.
故选：B.
5．设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
6．若两个正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，且不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
若不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
7．“不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项中“不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的一个充分不必要条件是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．已知当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
因当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
9．已知集合 SKIPIF 1 < 0 中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由集合 SKIPIF 1 < 0 中恰有两个元素，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
10．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】易知方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，方程的两根为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
11．若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：∵不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问题）
1.几个重要的不等式
（1） SKIPIF 1 < 0
（2）基本不等式：如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“”).
特例： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 同号）.
（3）其他变形：
① SKIPIF 1 < 0 (沟通两和 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
② SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
③ SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
④重要不等式串： SKIPIF 1 < 0 即
调和平均值 SKIPIF 1 < 0 几何平均值 SKIPIF 1 < 0 算数平均值 SKIPIF 1 < 0 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型二： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型三： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型四： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.
例 ．函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．9B．8C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立
故选：B.
变式1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
变式2．已知命题p：在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；q：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】命题p：在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，为真命题，
当 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以命题q：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，为真命题，
所以 SKIPIF 1 < 0 为真命题， SKIPIF 1 < 0 假命题， SKIPIF 1 < 0 假命题， SKIPIF 1 < 0 假命题，
故选：A.
变式3．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最小值3B．最大值3
C．最小值 SKIPIF 1 < 0 D．最大值 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时成立，
AD错误，B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误.
故选：B．
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（不包括端点），向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（不包括端点），
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为向量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：C．
2．已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为3B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为3D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】对于A：由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故A正确；
对于B：由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故C错误；
对于D：由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为8D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】对于A和B中，因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以A、B正确；
对于C中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号，所以C正确；
对于D中，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，取“ SKIPIF 1 < 0 ”号，所以D错误．
故选：ABC.
4．任取多组正数 SKIPIF 1 < 0 ，通过大量计算得出结论： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．若 SKIPIF 1 < 0 ，根据上述结论判断 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．3
【答案】BD
【详解】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为16B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为9
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为1D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为16，故A正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
6．已知正数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】对A，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故A错误，
对B， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故B正确；
对C， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故C正确；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
7．设正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为6B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为2D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
故选：BD.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
由A得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：ACD．
9．若实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，以下选项中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为5D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故D错误.
故选：AB.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 .
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由柯西不等式可知： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取得等号，即D正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
故选：ABD
11．设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
性质
性质内容
对称性
SKIPIF 1 < 0
传递性
SKIPIF 1 < 0
可加性
SKIPIF 1 < 0
可乘性
SKIPIF 1 < 0
同向
可加性
SKIPIF 1 < 0
同向同正
可乘性
SKIPIF 1 < 0
可乘方性
SKIPIF 1 < 0
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