2024年高考数学一轮复习-双曲线的定义与性质（原卷版）

这是一份2024年高考数学一轮复习-双曲线的定义与性质（原卷版），共10页。试卷主要包含了双曲线定义，双曲线的标准方程及简单几何性质，双曲线通径公式等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线定义：设F1，F2是平面内的两个定点，若平面内的点P满足||PF∣−PF2∥=2a00的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，且AB=AF1，cs∠AF1B=14，则双曲线的离心率为( )
A.52
B.3
C.2
D.5
考向五 焦点三角形面积问题
【例5】[变式]设Fc，0是双曲线x2a2−y2b2=1a>0，b>0的右焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点，且AF⊥BF，且△ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为( )
A.32
B.52
C.103
D.102
【变式】已知双曲线C：x2a2−y24=1a>0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为___________
考向六 直线与双曲线综合问题
【例6】]已知A，B是双曲线C：x22−y23=1上的两点，线段AB的中点是M2，1，则直线AB的方程为___________
[变式]已知双曲线C：x2−y2=1，过点Pm，1m>0的直线l与双曲线C交于A、B两点，若P为线段AB的中点，则m的取值范围是___________
基础题型训练
___
一、单选题
1．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程是
A．B．
C．D．
2．若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
3．双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线经过点，则（ ）
A．的实轴长为B．的焦距为
C．的离心率为D．的渐近线方程是
三、填空题
9．焦点在轴上，虚轴长为，且离心率的双曲线的标准方程为 ．
10．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为 ；
11．过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是 .
12．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
13．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线过点和，求双曲线的标准方程.
14．已知双曲线C：．
（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；
（2）求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．
15．在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
16．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求面积的最小值
提升题型训练
一、单选题
1．双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．D．
2．已知是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3．已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（ ）
A．B．4C．2D．
二、多选题
7．设分别是双曲线的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，的离心率是
C．的取值范围是
D．到渐近线的距离随着的增大而增大
8．已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（ ）
A．的离心率为
B．的右焦点到的一条渐近线的距离为
C．点到的两顶点的距离之和等于
D．四边形的面积为
三、填空题
9．以为渐近线且经过点的双曲线方程为 ．
10．已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
11．P是非等轴双曲线上的一点，分别是双曲线C左､右焦点，若，则双曲线C的渐近线方程是 .
12．已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是 .
四、解答题
13．求满足下列条件的曲线标准方程：
(1)两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；
(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.
14．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
15．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
16．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，
(1)求双曲线方程
(2)求面积的最小值
标准方程
x2a2−y2b2=1a>0，b>0
焦点坐标
左焦点F1−c，0，右焦点F2c，0
焦距
F1F2=2c，其中c叫做半焦距，且c2=a2+b2
图形
x≤−a或x≥a，y∈R
y≤−a或y≥a，x∈R
范围
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
实轴端点(顶点)
(0，±a)
虚轴端点
(±b，0)
实轴长
2a，其中a叫做实半轴长
虚轴长
2b，其中b叫做虚半轴长
渐近线
y=±bax
离心率