2024年高考数学一轮复习-椭圆方程与性质（原卷版）

这是一份2024年高考数学一轮复习-椭圆方程与性质（原卷版），共13页。试卷主要包含了椭圆定义，椭圆的简单几何性质，通径等内容，欢迎下载使用。

知识点总结
内容提要
1.椭圆定义：设F1，F2是平面上的两个定点，若平面内的点P满足PF1+PF2=______(2a>F1F2，则点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆.
2.椭圆的简单几何性质：
3.通径：经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦叫做通径(如图中两条蓝色的线段)，其长度为_____.
典型例题分析
考向一 椭圆定义与应用
[例1]椭圆x29+y22=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则PF2=_Ｆ1PF2的大小为___________；△PF1F2的周长为；若延长PO交椭圆于Q，则PF1+F1Q=___________
[变式]已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，A1，2，P为椭圆C上的动点，则PA−PF1的最小值为___________
考向二 椭圆的标准方程
【例2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式】已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为 .
考向三 椭圆的离心率问题
【例3】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.
【详解】设，易知，
则，，
又，
所以.
故选：C
【变式1】若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算律和椭圆的性质求解.
【详解】由题可得，，
设为坐标原点，则,
所以
,即，
因为，所以，
若存在四个不同的点满足，又，
所以，即，所以，
所以，所以，
故答案为: .
【变式2】已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率.
【详解】
如图，设的垂直平分线与交于点，
由题，，，，则，
，，
，
，化简得，，
由，解得，
，即.
故答案为：.
考向四 椭圆的焦点三角形问题
【例4】设F1，F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，ΔPF1F2为直角三角形，且PF1>PF2，则PF1PF2的值为___________
【变式】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点，O为原点，若OF1−OP⋅OF1+OP=0，且PF1=2PF2，则椭圆C的离心率为___________
考向五 椭圆有关的最值与范围问题
【例5】已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 ．
【变式1】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【变式2】如图，点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为的直线交椭圆于点，若点的坐标为，且满足轴，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左顶点为，左焦点为，点为椭圆上任意一点，求的取值范围．
基础题型训练
一、单选题
1．过椭圆的左顶点A作圆(2c是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M，N，若∠MAN=60°，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．过椭圆 的左焦点作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．
5．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则D．若椭圆的焦点在轴上，则
6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为E上一点.若，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．设P是椭圆上的动点，则（ ）
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C．点P到左焦点距离的最大值为
D．点P到左焦点距离的最大值为
三、填空题
9．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是 ．
10．椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于，则椭圆的离心率为 ．
11．椭圆的离心率为，则实数 ．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则 ．
四、解答题
13．已知椭圆 (a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，求椭圆的离心率的取值范围．
14．椭圆焦距为4，经过点，，分别为它的左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求外接圆的标准方程．
15．已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）设直线：与曲线交于，两点，求．
16．已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的一点到其两焦点的距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点，且.若点满足，求.
提升题型训练
一、单选题
1．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．圆与圆相外切，与圆相内切，则圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上D．一个圆上
3．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
4．椭圆为参数)的离心率是( )
A．B．C．D．
5．函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
6．记椭圆的左焦点和右焦点分别为，右顶点为，过且倾斜角为的直线上有一点，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率
C．D．的面积的最大值是4
8．一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ）
A．若，且点在以，为焦点的“黄金椭圆”上，则的周长为
B．若是“黄金椭圆”，则
C．若“黄金椭圆”的左焦点是，右顶点和上顶点分别是，，则
D．设焦点在轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为，“黄金椭圆”上动点（异于，），设直线，的斜率分别为，，则
三、填空题
9．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是 ．
10．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为 .
11．已知A、B、P是椭圆上的三个不同的点.O为坐标点，，且，则椭圆C的离心率为 .
12．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
四、解答题
13．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨20m水面宽的桥，拱的中心距河面6m.试写出椭圆的一个方程.

14．求下列椭圆的标准方程：
（Ⅰ）焦点在x轴上，离心率，且经过点；
（Ⅱ）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线有相同的焦点．
15．已知点在椭圆上，且点到椭圆左顶点的距离是到右顶点距离的倍
(1)求椭圆的方程
(2)点是椭圆上的动点，且到动直线与的距离均为，直线与椭圆相交于两点，直线与椭圆相交于两点，求证：为定值．
16．已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若动点为外一点,且到的两条切线相互垂直,求的轨迹的方程；
（3）设的另一个焦点为,过上一点的切线与（2）所求轨迹交于点,,求证：.标准方程
x2a2+y2b2=1a>b>0
焦点坐标
F1−c，0，F2c，0
焦距
F1F2=2c，且c2=a2−b2
图形
范围
−a≤x≤a，−b≤y≤b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点坐标
左、右顶点：A1−a，0，A2a，0
上、下顶点：B10，b，B20，−b
长轴长
A1A2=2a，其中a叫做长半轴长
短轴长
离心率