重庆市第十八中学2024-2025学年九年级上学期9月学习能力摸底考试 数学试题（含解析）

这是一份重庆市第十八中学2024-2025学年九年级上学期9月学习能力摸底考试 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．拼图游戏需要将形状各异的组件拼在一起，下列拼图组件是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中，必然事件的是（ ）
A．“巨星”詹姆斯上篮100%得分B．抛掷一枚骰子，朝上的点数为6
C．单项式加上单项式，和为多项式D．画一个三角形，其内角和为
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．一条对角线平分了一个内角的平行四边形是菱形
C．对角互补的平行四边形是矩形
D．四个角相等的四边形是菱形
4．若点与关于原点对称，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
5．在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他整别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ）
A．12B．15C．18D．20
6．小区一家快递店，星期一收快递件100件，星期三收144件，设该快递店收件平均每天增长率为x，可列方程（ ）
A．B．
C．D．
7．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了3根木棍，第②个图案用了6根木棍，第③个图案用了10根木棍，第④个图案用了15根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案用的木棍根数是（ ）
A．28B．32C．36D．45
8．如图，以的边为直径的分别交，于点，．若，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
9．如图，在中，，，点为内部一点，在平面内将线段绕点逆时针旋转得到线段，点三点共线，点为线段的中点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共8小题）
11．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 .
12．已知点是一次函数图象上的两点，如果，那么的大小关系是 （用＞，＜或＝填空）．
13．若，则代数式的值为 ．
14．一个不透明的袋子中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，从中随机摸出一个小球并将其标号作为十位上的数字（不放回），然后再摸出一个小球并将其标号作为个位上的数字，则所组成的两位数恰是3的倍数的概率是 ．
15．如图，为的弦，半径，垂足为点．如果，，那么的半径是 ．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数m的值之积是 ．
17．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．CD＝2，BC＝1，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为 ．
18．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8小题）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在中，连接对角线，且于点E．
(1)尺规作图：过点B作的垂线，垂足为F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，试证明线段与相等．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，．
∴，（ ）
∵，，
∴ ．
∴，
∴．
于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到 相等．
21．最近，学校掀起了志愿服务的热潮，教育处也号召各班学生积极参与，为了解甲､乙两班学生一周服务情况，从这两个班级中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）进行收集､整理､分析，给出了部分信息：
a．甲班40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成6组）：
A.，B．，C．，D．，E．，F．）；
b．甲班40名学生一周志愿服务时长在这一组的是：60；60；62；63；65；68；70；72；73；75；75；76；78；78
c．甲､乙两班各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数，中位数，众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上面图表中的______________，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为___________度；
（2）根据上面的统计结果，你认为___________班学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是___________；
（3）小江和小北两位同学都参加了水井坊街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小江､小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．
22．在中，，，，D为的中点，交于点E，点F从点B出发，沿着折线运动，到达点D时停止运动．设点F运动的路程为x，连接，记的面积为．
(1)请直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质；
(3)若直线与的函数图象只有一个交点，则k的取值范围是__________．
23．台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．
(1)A市是否会受到台风的影响？请说明理由；
(2)如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？
24．重庆位于中国内陆西南部、长江上游地区，地貌以丘陵、山地为主，故有“山城”之称．据统计重庆某4A级景区在2021年共接待游客达10万人次，在2023年接待游客达12.1万人次．
(1)若该4A级景区2021年到2023年接待游客人数的年平均增长率都相同，求这两年的年平均增率．
(2)某旅行社专门定制了一条来重庆的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元，如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了27000元的费用，求这个旅行团的人数．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线：与直线交于点C．
(1)求线段的长度．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接，当时，求的面积．
(3)如图3，在（2）的条件下，将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F，在y轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
26．如图，在中，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，是的中线，连接，点是的中点，连接，试猜想、、的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，点是的中点，点是上一点，将沿翻折，得到，点在运动过程中，当最短时，请直接写出的面积．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．结合图形的特点即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
D、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
故此题答案为A．
2．【答案】D
【分析】根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、“NBA巨星”詹姆斯上篮100%得分，是随机事件，本选项不符合题意；
B、抛掷一枚骰子，朝上的点数为6，是随机事件，本选项不符合题意；
C、单项式加上单项式，和为多项式，是随机事件，本选项不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，本选项符合题意．
故此题答案为D．
3．【答案】D
【分析】根据矩形的判定、正方形和菱形的判定判断即可．
【详解】解：A． 对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
B． 一条对角线平分了一个内角的平行四边形是菱形，是真命题；
C． 对角互补的平行四边形是矩形，是真命题；
D． 四个角相等的四边形是矩形，是假命题；
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】根据关于原点对称的点，横、纵坐标都护卫相反数，求出、的值，再代入计算即可．
【详解】解：点与关于原点对称，
，，
，
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：a的值为；
故此题答案为B．
6．【答案】A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天收快递件＝第一天收快递件×（1＋平均增长率），把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：星期一收快递件100件，星期三收144件，
∴可列方程为：，
故此题答案为A．
7．【答案】C
【分析】根据前几个图形，得出后一个图形比前一个的木棍数多5根，据此规律求解即可．
【详解】解：第一个：3根，
第二个：（根），
第三个：（根），
第四个：（根），
第五个：（根），
第六个：（根），
第七个：（根），
故此题答案为C．
8．【答案】C
【分析】连接，根据圆周角定理可得，所以，，再根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半可得答案．
【详解】解：连接，如图，
为直径，
，，
，，
，
，
，
，
，
故此题答案为C．
9．【答案】C
【分析】由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解
【详解】解：连接，如图所示：
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
又，
，
，
，
点为线段的中点，
，
，
，
，
．
故此题答案为C．
10．【答案】B
【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；
【详解】解：∵，，，
∴，
∴
∴，，，是该四元方程的一组解；
故①正确，
设，，，，其中n是正整数，
∴
，
∴，
∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解；
故②正确，
∵，，且c、d均为正整数，
∴，
∴，
同理，
∴，
又∵，
∴，
∴，
当时，
∴时，或或，
同理时，或，
时，，
∴若，则该四元方程有6组解．
故③错误，
综上可知，错误的是③，共1个，
故此题答案为B
11．【答案】
【详解】解：把代入方程得，
，
解得
12．【答案】
【分析】根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：已知一次函数，
∵，
故y随x的增大而减小，如果，则．
13．【答案】
【分析】根据已知可得，则代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
14．【答案】
【分析】用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号组成的两位数恰是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号组成的两位数恰是3的倍数的情况有4种，
两次摸出的小球的标号组成的两位数恰是3的概率为：．
15．【答案】/
【详解】解：如图，连接，
∵半径，，，
∴，
设的半径为，则，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为．
16．【答案】40
【分析】先解出不等式组，根据不等式组的解集为，可得 ，再解出分式方程可得： ， 然后根据分式方程的解是非负整数解，且，可得 且 ，从而得到当 或时，分式方程的解是非负整数解，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得： ，
∵不等式组的解集为，
∴ ，解得： ，
，
去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程的解是非负整数解，且 ，
∴ ，且，
解得： 且 ，
∴ ，且 ，
∴当 或时，分式方程的解是非负整数解，
∴所有满足条件的整数m的值之积是 ．
17．【答案】或
【分析】分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可．
【详解】解：∵BC＝1，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝1，
∵△CDE是等边三角形，CD＝2，
∴CE＝CD＝2，
①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG⊥AC于G，则∠CBG＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBG中，∠CBG＝30°，BC＝1，
∴CG＝BC＝，
根据勾股定理得，BG＝，
∴EG＝CE−CG＝2−＝，
在Rt△BGE中，
根据勾股定理得，BE＝；
②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠CBH＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝1，
∴CH＝BC＝，
根据勾股定理得，BH＝，
∴EH＝CE＋CH＝2＋＝，
在Rt△BHE中，
根据勾股定理得，BE=．
∴BE=或．
18．【答案】
【详解】解：∵是方程的“等根数”，
∴，
∴，
即，
∵为最小“等根数”，
∴，，
∴，
∴最小“等根数”为，
故答案为：；
∵，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∴当时，或，此时或，
∵，
∴不符，舍去；
当时，或，此时或，
由可得，不符，舍去，
∴，
∴，
∴，，，
∴的最大值是
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化为一般式，然后根据配方法解方程，即可求解；
（2）先移项然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴，
∴
∴
∴
解得：
（2）解：
∴，
∴或，
解得：
20．【答案】(1)见解析
(2)；两直线平行内错角相等；；对角线的距离
【分析】（1）先以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于M、N两点，再分别以M、N为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点F，则即为所求；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质，证明即可得出答案．
【详解】（1）解：即为所求作的垂线；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
．（两直线平行内错角相等）
，
∴，
，
．
于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到对角线的距离相等．
21．【答案】（1）77，126；（2）甲班学生志愿服务工作做得好，理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意求出A组的人数和B组的人数，又可知C组人数，即中位数位于C组，即可求出其中位数．再由C组人数即可求出其所对应的圆心角的度数．
（2）根据平均数、中位数和众数的意义即可判断．
（3）列表，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）由题意得：A组的人数为：；B组的人数为：；C组的人数为14人．
∴甲班的中位数为．
扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为．
（2）甲班学生志愿服务工作做得好，甲、乙两班的平均数相等，但甲班比乙班的中位数和众数大，说明甲班服务时长长的人数多，即甲班学生志愿服务工作做得好．
（3）设该街道志愿者服务工作设置三个岗位分别为A、B、C．
所以列表如下：
根据表格可知分配情况共有9种可能，其中分配到同一岗位有3种，
∴小江小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为．
22．【答案】(1)
(2)图象见解析；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小
(3)或
【分析】（1）由勾股定理得，，则，由，可得，，即，可求，由勾股定理得，，设到的距离为，则，即，可求，当在上运动，即时，；当在上运动，即时，；然后作答即可；
（2）作函数图象即可；根据图象可得性质；
（3）如图2，由题意知，当直线经过点时，可求，此时直线与的函数图象只有一个交点；当直线经过点时，可求，由题意知，当时，直线与的函数图象只有一个交点，然后作答即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，，即，
解得，，
由勾股定理得，，
设到的距离为，
∴，即，
解得，，
当在上运动，即时，；
当在上运动，即时，；
综上所述，；
（2）解：作函数图象如图1；
由图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；
（3）解：如图2，
由题意知，当直线经过点时，，
解得，，
∴此时直线与的函数图象只有一个交点；
当直线经过点时，，
解得，，
由题意知，当时，直线与的函数图象只有一个交点，
综上所述，k的取值范围是或
23．【答案】(1)A市是否会受到台风的影响，理由见详解
(2)A市受这次台风影响的时间为10小时
【分析】（1）过点A作于点C，根据题意得出的长，进而得出答案；
（2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，首先求出的长，进而得出的长，因此可求得A市受这次台风影响的时间．
【详解】（1）解：A市会受到台风的影响，理由如下：
过点A作于点C，
在中，，千米，
千米500千米，
A市会受到台风的影响；
（2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，
在中，（千米），
（千米），
A市受这次台风影响的时间为：（小时）
24．【答案】(1)这两年的年平均增率为；
(2)这个旅行团共人．
【分析】（1）设这两年的年平均增率为，利用该级景区在年接待游客人数该级景区在年接待游客人数(这两年的年平均增率)，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设这个旅行团共人，根据该旅行团共收取了元的费用，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论
【详解】（1）解：设这两年的年平均增率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：这两年的年平均增率为；
（2）解：设这个旅行团共人，
∵，，
∴，
根据题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：这个旅行团共人．
25．【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）求出点、的坐标，再利用勾股定理即可求解；
（2）先求出点，，设点，则点由得到点，进而求解；
（3）设点，由点、、的坐标得，，，，当时，列出方程即可求解；当、时，同理可解．
【详解】（1）解：对于，当时，，
令，则，
即点、的坐标分别为：、，
则；
（2）解：联立、的表达式得：，
解得：，则点，，
设点，则点，
则，
则，
即点，
则；
（3）解：由平移的性质知，点的坐标为：，设点，
由点、、的坐标得，，
同理可得，，，
当时，即，方程无解；
当时，即，
解得：或4，
即点或；
当时，则，
解得：，即点；
综上，点的坐标为：或或．
26．【答案】(1)见解析
(2)；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和得出，根据旋转的性质得出，即可得出答案；
（2）在线段上截取，连接，取的中点K，连接，证明，得出，，证明是等边三角形，得出，根据，得出；
（3）设，则，以为直径作，连接并延长交于点H，连接交于点，得出，，，求出，根据勾股定理得出，根据二次函数的最值得出当时，有最小值，即的最小值为，此时取最小值，过点E作于点K，求出，，最后求出三角形的面积即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
即，
∴；
（2）解：猜想：；理由如下：
在线段上截取，连接，取的中点K，连接，如图所示：
由（1）得：，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点H、K分别是、的中点，
∴，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
则，，，
∵，
∴，
设，则，
以为直径作，连接并延长交于点H，连接交于点，如图所示：
∵，
∴为等边三角形，
∴，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
，
在中，
，
∵，
∴当时，有最小值，即的最小值为，此时取最小值，
过点E作于点K，
∵，
∴，
∵，
∴．学校
平均数
中位数
众数
甲
75
m
90
乙
75
76
85
小江 小北
岗位A
岗位B
岗位C
岗位A
A、A
B、A
C、A
岗位B
A、B
B、B
C、B
岗位C
A、C
B、C
C、C