河南省开封市祥符区2024-2025学年九年级上学期期末调研考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省开封市祥符区2024-2025学年九年级上学期期末调研考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．2B．C．D．
2．开封菊花种植历史悠久，以其“品种多样、造型丰富”而著称．2024年开封第42届菊花文化节于10月18日至11月18日举行，主题为“宋韵开封·菊香中国”．开封计划布展菊花278万盆，其中数据278万用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程时，应将其变形为（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断
6．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．大约在两千五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
8．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）

A．10B．11C．12D．13
9．函数的图象如上图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，①；②；③；④．则下列结论正确的有（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
二、填空题（本大题共5小题）
11．一元二次方程的解为 ．
12．现有四张卡片，正面分别写有汉字“爱”“我”“中”“华”，背面是完全相同的“♣”形图案．现将背面朝上充分洗匀后，从中任意抽取2张，其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为 ．
13．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则堤脚的长是 米．

14．如图，，均是等腰直角三角形，点P，Q均在函数的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为 .
三、解答题（本大题共8小题）
16．（1）计算：
（2）解方程：．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)证明：不论为何值时，方程总有实数根；
(2)若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形的边长．
18．国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间（单位：）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，________，________；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是________；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于、两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出中的取值范围；
(3)求的面积．
20．如图，学校教学楼上悬挂一块长为的标语牌，即，数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为，，依据他们测量的数据求出标语牌底部点D到地面的距离的长？（结果保留1位小数）（参考数据：，，）
21．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且交延长线于点E．
(2)连接，若，，求的长．
22．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
23．【问题情景】
数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作：
将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向．
(1)【思考尝试】
如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系；
(2)【应用迁移】
如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长．
(3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】解：，2的相反数是．
故此题答案为B．
2．【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据278万用科学记数法可表示为，
故此题答案为B．
3．【答案】C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线．
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
【详解】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即：，
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故此题答案为B
6．【答案】C
【分析】①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴,即，
∴添加或或都能判定，
∴选项A，B，D都不符合题意，
选项C中，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角不一定相等，所以不能判定，
故此题答案为C．
7．【答案】A
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，解得：x=6，
即蜡烛火焰的高度为6cm，
故此题答案为A．
8．【答案】C
【详解】解：∵双曲线y=经过点D，
∴正方形的面积=3×4=12．
故此题答案为C
9．【答案】B
【分析】首先由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，，进而得出一次函数图象经过第二、四象限且与轴正半轴相交，于是得解．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
，，
函数的图象应经过第一、二、四象限，
故此题答案为B．
10．【答案】B
【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可．
【详解】解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得，，，
∴，故①正确；
由折叠的性质得，，，
∴
在中，，设，则，
在中，，
解得，
∴，
∴，
同理在中，，，
由得，
∴，
∴，
∴与不相似，故②不正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确．
正确的有①③④．
故此题答案为B．
11．【答案】，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
或，
解得：，
12．【答案】
【分析】分别记“爱”“我”“中”“国”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找到正面文字恰好组成“中华”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“爱”“我”“中”“华”，为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中正面上的文字恰好组成“中华”字样的结果数有2种结果，
所以其正面上的文字恰好组成“中华”字样的概率为
13．【答案】
【分析】在中，已知了坡面的坡比是铅直高度和水平宽度的比值，据此即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：（米）．
14．【答案】/
【分析】若是等腰直角三角形，那么，设，则，由题意得，求得，同理求得，，即可得出B点的坐标．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵点在函数的图象上，
∴，
解得或(舍去) ，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
解得：(负值舍去)，
∴，
∴．
15．【答案】2.
【分析】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，，再证明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判断出△为等腰直角三角形，求得长即可得答案.
【详解】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴AC=AB=，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=，
∵N为OA中点，
∴ON=，
∴，
∴，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴，
∴PM∥AB∥CD，∠90°，
∵∠=45°，
∴△为等腰直角三角形，
∴CM==2
16．【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂，算术平方根的性质进行计算即可；
（2）先移项，利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）整理得，
因式分解得，
∴或，
解得，．
17．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）计算判别式得，即可证明方程有实数根；
（2）由菱形的性质，邻边相等，从而方程有两个相等的实数根，求得m的值，代入原方程，求解方程即可得菱形的边长．
【详解】（1）证明：，
不论为何值时，方程总有实数根；
（2）解：平行四边形是菱形，
邻边相等，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程：，
解得：，
菱形边长为．
18．【答案】（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
【分析】（1）按照频率=进行求解，根据组别的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再按照公式频率=进行求解，即可得到，的值；
（2）根据（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
【详解】（1）根据组别，本次调查的总体数量=，
∴组别的频率=，
∴组别的频数=频率×总体数量，
∴，；
（2）∵（1）中求得的值为0.2，
∴其在扇形中的度数；
（3）组别和的频率和为：，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业．
19．【答案】(1)y=-2x+6；(2) 或；(3)3．
【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）由图直接解答；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON-S△BON的面积即可．
【详解】(1)∵点在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点也在反比例函数上，
∴，解得，
∴点的坐标为，
又∵点、在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为．
(2)根据图象得：时，的取值范围为或；
(3)∵直线与轴的交点为，
∴点的坐标为，
．
20．【答案】点D到地面的距离的长约为．
【分析】延长交于N，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出的长，结合图形计算即可．
【详解】解：延长交于N，
则，
∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，，则，
∴，
解得，，
则，
答：点D到地面的距离的长约为．
21．【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）利用尺规作图作出图形即可；
（2）证明四边形是菱形，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）10%；（2）6件
【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．
【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，
由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，
解得a≥，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
23．【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明；
（2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；
（3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
.证明如下：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，
∵正方形和正方形，，，，
∴，，
由（1）得，
∴，，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
即，
整理得，
解得，
∴；
（3）解：如图，
当点运动到线段上时，有最小值，
最小值，
∴的最小值，
如图，
当点运动到延长线上时，有最大值，
最大值，
∴的最在值，
∴的面积的取值范围为．
组别
睡眠时间分组
频数
频率
4
0.08
8
0.16
10
21
0.42
0.14