北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，，如果，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
3．关于函数，，，的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．都有最低点
C．y随x增大而增大D．对称轴是y轴
4．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则（ ）
A．B．C．D．3
5．如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（ ）
A．B．0,3C．D．
6．如图，AB是的直径，点在AB的延长线上，切于点，如果，，那么的长是（ ）
A．B．C．D．
7．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是的中点；
②直线，都是的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接，，，，，则．
对上述结论描述正确的是（ ）
A．只有①正确B．只有②正确C．①②③正确D．①②③④都正确
二、填空题（本大题共8小题）
9．如图，D、E是边、上的两点，且，，那么 ．
10．已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为 ．
11．已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在 ．（填内、外或上）
12．如图，在中，，中线与高线相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ．
14．图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ．
15．已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表：
关于x的一元二次方程的解是 ．
16．小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ．
三、解答题（本大题共12小题）
17．计算：．
18．已知二次函数．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴；
(2)请你判断点是否在此二次函数的图象上；
(3)如果点，均在该抛物线上，那么______．（填：“”“”或“”）
19．如图，在中．，AD是的中线，如果．．求的值．

20．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当．时，求的值．
21．如图，在中，．
求作：射线，使得．
小靖同学的作法如下：
①以点为圆心，长为半径画圆，延长交于点；
②作的角平分线交于点；
③作射线．
所以射线即为所求．
请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明
证明：连接，，点在上．
BD是的直径，______（______）（填推理依据）
平分，．，
（______）（填推理依据）．
，．（______）（填推理依据）．．
22．在矩形中，，点G为边上一点，，于点E，
(1)求证；
(2)求证E是的中点．
23．某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角，打开时桌面与同一支架的夹角（桌面），已知支架，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：，，，，，）．
24．如图，的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交于点G，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求CD的长．
25．如图，在中，，O是AB的中点，到点O的距离等于的所有点组成图形G，图形G与边交于点D，过点D作于点E．
(1)依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；
(2)CA延长线交图形G于点F，如果，，求DE的长．
26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围．
27．在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段DE．
(1)如图1，如果点E在线段上，求证：；
(2)如图2，如果D在线段BM上，在射线上存在点F满足，连接求证：．
28．在平面直角坐标系中，的半径是3．对于点P和，给出如下定义：过点C的直线与交于不同的点M，N，如果点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“弦中点”．
(1)如图1，已知点C−2,0；
①点，，中是关于的“弦中点”的是______；
②若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求b的值；
(2)如图2，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出m的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据正切的意义进行解答即可．
【详解】解：在中，，如果，，
∴，
故此题答案为A．
2．【答案】B
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°．
故此题答案为B．
3．【答案】D
【分析】根据值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或最低点，从而判定B；根据函数的增减性判定C；根据函数的对称轴判定D．
【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上，故此选项不符合题意；
B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点，故此选项不符合题意；
C．函数与，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；函数与，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；故此选项不符合题意；
D．函数的对称轴都是轴，故此选项符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】B
【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此求解即可．
【详解】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cs∠AOB=cs60°=．
故此题答案为B．
5．【答案】B
【分析】利用二次函数的对称性解答即可；
【详解】二次函数的图象得对称轴是直线，
∵二次函数的图象经过点
∴二次函数的图象必经过点0,3，
故此题答案为B
6．【答案】C
【分析】连接，由切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，通过外角性质可得，则，最后由勾股定理即可求解
【详解】解：连接，
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为．
7．【答案】A
【分析】根据的正切可得，而，进而即可求解．
【详解】解：在直角三角形中，，
，
根据题意可得：，
，
故此题答案为A．
8．【答案】C
【分析】由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误．
【详解】
由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点，
故①正确；
∵是的直径，
，
，，
∴直线，都是的切线，
故②正确；
直线，都是的切线，根据切线长定理，可知 ，
故③正确；
，，，
，
∴，
∴．
∵点A是的中点，
，
故④错误．
故此题答案为C
9．【答案】
【分析】通过证明∽，可求解．
【详解】解：，
，
10．【答案】
【分析】理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角的比，列式求解即可得到答案
【详解】解：一个扇形的半径长为，圆心角为，
这个扇形的面积为
11．【答案】外
【分析】根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系．
【详解】解：的直径为，
的半径为，
，
故点P在外．
12．【答案】或或或
【分析】根据相似三角形进行判定即可．
【详解】解：，为中线，
为高线，
；
，
；
；
，为中线，
为角平分线，
13．【答案】
【分析】根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可．
【详解】解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3，
∴由函数图象可得的解集为
14．【答案】10
【分析】由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
设的半径为，则，
∴，
∵在中，，
即，
解得：，
∴的半径为．
15．【答案】
【分析】根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可．
【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
由表格信息可得：当时，，
∴点关于对称轴的对称点为点，
∴关于的方程的解是．
16．【答案】或
【分析】分为钝角和锐角，两种情况进行讨论求解．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，
∴，
在中，；
当为钝角时，则：；
当为锐角时，则：
17．【答案】3
【分析】原式分别代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，最后再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18．【答案】(1)开口方向向下，对称轴为直线：
(2)点在此二次函数的图象上
(3)
【分析】（1）将一般式化为顶点式，求解即可；
（2）将代入函数解析式，求出值，进行判断即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】（1）解：，
函数图象开口方向向下，对称轴为直线：；
（2）解：，
当时，，
点在此二次函数的图象上；
（3）解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
19．【答案】
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出，，从而得出，由勾股定理可求出，即得出．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，．
在中，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
20．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线和交于点O，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴
∵四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∴，，
∴．
21．【答案】(1)图见解析
(2)，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆心角相等，三线合一
【分析】（1）按照所给作法以及角平分线的尺规作图法补全图形即可；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得，由相等的圆周角所对的弧相等可得，由等弧所对的圆心角相等可得，由三线合一可得，然后由垂直于同一直线的两直线平行即可得出结论．
【详解】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）如下：
（2）证明：连接，，
，点在上．
是的直径，（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）
平分，．，
（等弧所对的圆心角相等）（填推理依据）．
，．（三线合一）（填推理依据）．．
22．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质得，进而可证明；
（2）根据相似三角形的性质求出的长是解答本题的关键．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴E是的中点．
23．【答案】桌面上升的高度约为
【分析】做辅助线，过点作于点，交于点，由三角函数求出、的值，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，交于点，
∵，
∴，在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴桌面上升的高度约为．
24．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用证明，即可得到；
（2）连结，求出直径的长，即得半径，求出，由（1）知，再求出，利用勾股定理求出，根据垂径定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连结，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵直径，
∴．
25．【答案】(1)补全图形见解析，直线DE与图形G（）只有一个公共点，或直线DE与相切，证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意得图形G是以点O为圆心，为半径的圆；连接，可证直线DE与相切；
（2）过点O作于点G．可得 ，推出四边形是矩形；根据
，即可求解；
【详解】（1）解：补全图形；
结论：直线DE与图形G（）只有一个公共点，或直线DE与相切
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵点D在图形G（）上，
∴直线DE与图形G（）只有一个公共点．
（2）解：过点O作于点G．
∴
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴（舍负），
∴．
26．【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线
(2)
【分析】（1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得；
（2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，
∴这个二次函数的图象经过点，
又∵这个二次函数的图象经过点，
∴此二次函数图象的对称轴是直线．
（2）解：由（1）可设二次函数的解析式为，
∵这个二次函数的图象上存在两点Ax1,y1，Bx2,y2，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
27．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中，
，即可求证；
（2）延长到点N，使，连接可推出，，证
，即可求证；
【详解】（1）证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段DE．
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：如图，延长到点N，使，连接
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴．
28．【答案】(1)①，；②或
(2)
【分析】（1）①作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；
②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，由题意可得直线与圆弧相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围．
【详解】（1）解：①作直线，
∵点是弦的中点，
，
，
∴点在以为直径的圆上，
，
∴点在以为圆心，1为半径的圆上，
∵点在该圆上，
∴点是关于的“弦中点”，
故答案为：；
②由①可知，点在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心，
∵直线上只存在一个关于的“弦中点”，
∴直线与圆相切，
过点作垂直直线交于点，
当直线与轴交于正半轴时，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
，
，
，
，
，
解得：或（舍去），
当直线与轴交于负半轴时，同理可得，
综上所述，的值为或；
（2）解： 由（1）可知，点在以为直径的圆弧上，
∵直线上存在关于的“弦中点”，
∴直线与圆相切或相交，
过点作垂直直线交于点，当直线经过点时，m取得最大值，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
，
，
，
∴圆的半径为3，
，，
，
，
；
当直线经过点时，m取得最小值，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过点作 ，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：．
∴的取值范围．x
…
0
1
2
3

y
…
5
0
0