北京市东城区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份北京市东城区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．在平面上画一个三角形，其内角和是
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．购买1张彩票，中奖
2．将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
3．第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（ ）
A．击剑B．田径C．马术D．赛艇
4．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ）
A．B．2C．3D．
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的中心.若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数（）图象上部分点的坐标满足下表：
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是关于x的一元二次方程（）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题）
9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式 ．
11．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到）
12．据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均可支配收入分别为万元和万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为 ．
13．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么 ．
14．如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则 ．
15．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则 ．
16．古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式表示数字，如图所示.
据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，算筹表示的四位数是6613.
（1）用3根算筹表示的两位数可以是 （写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为 （算筹不剩余且个位不为0）.
三、解答题（本大题共12小题）
17．解方程：.
18．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径．
19．已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接．
求作：，使得点E在线段上，且．
作法：
①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P；
②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段AD于点E；
③连接，CE．
就是所求作的角．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵点A，B，C在上，
∴（ ）（填推理的依据）．
∵点B，O，E，C在上，
∴ ．
∴．
20．已知二次函数.
(1)求该二次函数图象的顶点坐标；
(2)当时，的取值范围是 .
21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，2,1，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为−3,2．

(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B．0,1 C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
22．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是 ；
(2)从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.
23．已知关于x的一元二次方程（）．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是2，求代数式的值．
24．如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边，，和抛物线的一段（点E为抛物线的顶点）构成．以的中点O为原点，分别以直线和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度为8米，且O为的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽略不计）
25．如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接.
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求的长.
26．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线.
(1)当时，求t的值；
(2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由.
27．如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若，且点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”.

(1)已知点，.
①在点，，中，点 是弦的关联点，其中 °；
②若直线上存在的“关联点”，则b的取值范围是 ；
(2)若点C是的“关联点”，且，直接写出弦的最大值和最小值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可．
【详解】解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意；
C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意；
D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为，
故此题答案为B．
3．【答案】B
【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ；
故此题答案为B．
4．【答案】A
【分析】根据配方法的求解步骤求解即可．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故此题答案为A．
5．【答案】B
【分析】由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：∵与分别相切，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故此题答案为B．
6．【答案】A
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
故此题答案为A．
7．【答案】D
【分析】求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解．
【详解】解：如图所示：过点C作于点E，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴花窗的周长为：；
故此题答案为D．
8．【答案】C
【分析】根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据和时，，判定④，进而可得出答案．
【详解】解：∵当和时，
∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误，
∴抛物线的开口向上，故①正确，
∵，
∴的对称点为，
又∵抛物线的开口向上，
∴当时，，故③正确，
∵和时，，
∴是方程，即方程的一个根，故④正确，
综上所述，正确的是①③④，共3个，
故此题答案为C．
9．【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
10．【答案】
【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可．
【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）
11．【答案】
【分析】用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率．
【详解】解：表中从左往右，频率分别为，
钉尖朝上的概率约为
12．【答案】
【分析】利用2023年全国居民人均可支配收入2021年全国居民人均可支配收入（2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
13．【答案】55
【分析】先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解．
【详解】解：连接，则，
∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，，
∴点D在该量角器所在的圆上，
∴
14．【答案】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在圆内接四边形中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．【答案】
【分析】先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可．
【详解】解：由旋转性质得，，，
∴，
∴
16．【答案】 21（答案不唯一）
【分析】（1）由题意，三根算筹可以是1与2的组合，也可以是6与1的组合，由此即可任写一个即可；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数有4个，则可求得概率．
【详解】解：（1）三根算筹可以是1与2的组合，即12或21；也可以是6与1的组合，即16或61；4个数中任写一个
（2）在用4根算筹表示的所有两位数，可以是13，31，22，62，26，71，17共7个数，其中大于60的数有4个，则抽取一个数大于60的概率为
17．【答案】，
【分析】直接利用配方法解方程即可．
【详解】解：
配方，得，
即，
开平方，得，
解得，．
18．【答案】
【分析】连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径．
【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r；
∵D是中弦的中点，
∴，；
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：；
答：的半径为．
19．【答案】(1)见解析
(2)圆周角定理；
【分析】（1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即可；
（2）根据圆周角定理补全证明过程即可．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
（2）证明：连接．
∵点A，B，C在上，
∴（圆周角定理）．
∵点B，O，E，C在上，
∴．
∴．
20．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用的性质即可得解；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴二次函数的图象的顶点坐标为；
（2）解：且对称轴在的范围内，
当时函数值有最大值，最大值为，
当时函数值有最小值，最小值为，
∴函数值的取值范围是
21．【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【分析】（1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，
故此题答案为A．
（2）解：如图，即为所求作，点坐标为−2,3
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．

22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先画树状图得到所有等可能的结果，从中找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：共有4张书签，从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是，
（2）解：画树状图如下：
总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种，
∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为．
23．【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）计算出一元二次方程的判别式，根据判别式的符号即可证明；
（2）把方程的根2代入一元二次方程中，得到，即有，再整体代入代数式中即可求得值．
【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程为（）
则，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个根，
∴，
即，
∴
．
24．【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先将代入（1）中解析式求得y值，结合与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点，，
设抛物线的解析式为，
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：根据题意，，
当时，，
∵与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米，
∴通过隧道的车辆的限制高度为米
25．【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，进而可得，则可得，即可得证．
（2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
．
在中, 点P为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴是的切线．
（2）解：，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
26．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可；
（2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，
∴，解得，
由得抛物线的对称轴为直线，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则或，
∴，
∵，
∴，
∵，，又抛物线的开口向上，
∴．
27．【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H；
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵M为的中点，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
28．【答案】(1)①，60；
(2)最大值和最小值分别为和1
【分析】（1）①反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，先根据中点坐标公式求出M，再求出，根据点与圆的位置关系即可求解；
②同上作出关于点M的对称圆，连接，可求，，则，故的“关联点”在优弧上（不包括端点），若直线上存在的“关联点”，则直线与优弧上（不包括端点）有交点，当直线经过点A时，把代入，求出，当直线与相切时，记切点为H，连接，记直线与轴交于点，可求，则，过作轴交直线于点，求出点，代入，求得：，那么时，直线上存在的“关联点”；
（2）先确定点C在以O为圆心为半径的圆上，对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，同上作出关于点M对称的，则根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），以为底边，作顶角为的等腰，由圆周角定理可得，故点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，由圆的对称性可知共线，，设，则同上可得，由，得到，解得：，则，当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，则，求得，那么，综上，弦的最大值为，最小值为1．
【详解】（1）解：①∵点C关于弦的中点M的对称点在上或其内部，则称点C为弦的“关联点”，
∴反向思考，作出关于点M的对称圆，只要满足，，在上或内部，均符合题意，

∵，，
∴，
∵O0,0，
∴，
∵，
∴点到的距离为，
∴点在上，
同理经过计算，到的距离为均大于半径，故不符合题意，
∴点是弦的关联点，
连接，
∴，同理可求，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，60；
②同上作出关于点M的对称圆，连接，

∵，，，，
同理可求，，，
∴同理可求，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的“关联点”在优弧上（不包括端点），
∴若直线上存在的“关联点”，
则直线与优弧上（不包括端点）有交点，
当直线经过点A时，如图：

∴把代入得：，
解得：，
∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，
当直线与相切时，如图：

记切点为H，连接，记直线与轴交于点，
当时，，
解得：，
∴，
当，，
∴，
则，
∴，
过作轴交直线于点，
则，
∵由切线得性质得到：
∴，
∴点，
代入，
求得：，
∴，直线与优弧上（不包括端点）有交点，
综上所述：时，直线上存在的“关联点”，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴点C在以O为圆心为半径的圆上，
对于弦，我们固定点，调整点A位置即可，
同上作出关于点M对称的，
∵点C是的“关联点”，
∴根据关联点的定义可知：点C首先需要在关于点M对称的上或者内部（不包括A、B），
∵点C是的“关联点”，
∴以为底边，作顶角为的等腰，
∴由圆周角定理可得：，
∴点C又得在以为圆心，为半径的优弧上，
那么优弧必须与以O为圆心为半径的圆有交点，才符合题意，
∴当优弧必须与以O为圆心为半径的圆相切时，最小，设切点为点，如图：

由圆的对称性可知共线，，
设，则同上可得，
∴在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍）
∴，
当恰好经过优弧时，此时最大，那么此时点与重合，如图：

∴，
∴，
∴，
综上，弦的最大值为，最小值为1．
x
…
0
1
3
5
…
y
…
7
0
7
…
重复试验次数
10
50
100
500
1000
2000
5000
钉尖朝上次数
5
15
36
200
403
801
2001