福建省厦门市2024-2025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷

这是一份福建省厦门市2024-2025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ）
A．-1B．C．0D．
6．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线于点P，若，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．1
8．若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则（ ）
A．，不可能垂直B．，不可能共线
C．不可能为5D．若，则在方向上的投影向量为
10．药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示：
根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ）
A．B．变量y与x的相关系数
C．当时，残差为-1.5D．代谢约10小时后才需要补充药物
11．已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设x，为从小到大的第n个极小值点，则（ ）
A．B．
C．数列是等差数列D．
三、填空题
12．已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ．
13．已知函数的图象经过，两点，若在区间上单调递减，则 ； ．
14．从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为 ．
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．
16．如图，在三棱柱中，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知动圆M与圆：内切，且与圆：外切，记圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)设点在C上，且以为直径的圆E经过坐标原点O，求圆E面积的最小值．
18．设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是增函数，求a的取值范围；
(3)当时，设为的极小值点，证明：．
19．若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值；
(2)已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得．
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
120
110
103
93
82
68
59
47
38
《福建省厦门市2024-2025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷》参考答案
1．B
【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项.
【详解】，所以对应的点为，位于第二象限，
故选：B．
2．A
【分析】根据集合的交集定义计算判断即可.
【详解】集合集合，，
所以，
故选：A．
3．C
【分析】根据等轴双曲线，结合点到直线距离公式计算得出焦距.
【详解】设等轴双曲线的焦距为2c，设焦点坐标为，渐近线为
因为焦点到其渐近线的距离为，
又因为，所以，双曲线的焦距为，
故选：C．
4．D
【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假.
【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误；
若，则或，B选项错误；
若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误；
若，，则，D选项正确.
故选：D
5．C
【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案.
【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，，
如图所示，结合，得，
可知关于对称，所以，解得，
故选：C．
6．C
【分析】本题运用两角和的正切公式转化，再结合同角三角函数的基本关系化简式子，结合已知条件判断式子特征以简化等式，最后通过对常见三角恒等式的变形运用，建立与的联系从而得出结果即可.
【详解】由两角和的正切公式得，
由同角三角函数的基本关系得，
，故，
因为，所以，
因为，所以，
故，则得到，
解得，故，
而，
则，解得，故C正确.
故选：C
7．B
【分析】求出抛物线的准线，过点作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解.
【详解】抛物线C：的焦点，准线方程为，
过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为M，N，，
由，得，即，
所以与的面积之比为.
故选：B
8．B
【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意，，其图象关于直线对称，
则，
所以，所以，解得，
所以，此时，满足题意；
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故选：B．
9．ACD
【分析】根据向量数量积的坐标运算及模长公式结合正弦函数值域计算判断A，C，再应用平行向量坐标运算判断B，应用投影向量公式计算判断D.
【详解】，A选项正确；
若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误；
，所以，C选项正确；
若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确；
故选：ACD．
10．AC
【分析】根据样本中心点计算求解判断A，根据单调性判断B，应用回归直线计算求解得出残差判断C，计算判断得出D.
【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确；
血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误；
当时，，残差为，C选项正确；
令，解得，D选项错误；
综上所述，应选AC．
故选：AC.
11．BC
【分析】应用已知计算判断A，化简计算判断B，应用极值点定义结合等差数列定义判断C，应用递推公式得出等比数列计算判断D.
【详解】因为，故A选项错误；
当时，，等式两边同时加，得，
故，，故B选项正确；
当时，设，则Fx极小值点为，
所以当时，，此时，的极小值点为，
即，所以，数列是等差数列，故C选项正确；
所以设，则，，，
为首项是，公比为2的等比数列，
所以，当时，，故D选项错误．
综上所述，应选BC．
故选：BC.
12．
【分析】应用圆锥的几何特征结合圆锥的体积公式计算即可.
【详解】设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，则，解得，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，
故答案为：.
13． / /
【分析】由条件可得，结合列方程，结合的范围解不等式可得结论.
【详解】依题意，，
所以，
即，
解得，所以，
因为，所以，
故答案为：，.
14．
【分析】（1）先求集合的非空子集的个数，确定样本空间中样本点的个数，
方法一：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论；
方法二：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论；
方法三：由条件对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，且集合，都不为空集，由此确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论；
【详解】设，，且，
易知集合的非空子集个数为，任取两个集合，共有种选法．
（方法一）①若，则共有种选法；
②若，从个元素里选个，再分成两组（不平均），有种选法；
③若，个元素平均分为两组共有种；不平均分组共有种，小计共有种选法；
所以选中的两个子集的交集为空集的概率为．
（方法二）①当时，个元素里任选一个放入集合中，集合共有种情况，
故有种情况；
②当时，个元素里任选两个放入集合中，集合共有种情况，
故有种情况；
③当时，个元素里任选三个放入集合中，集合共有种情况，
故有种情况；
总共有种情况，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为．
（方法三）对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，再减去集合，其中一个为空集的情况，故共有种，
所以选中的两个子集的交集为空集的概率为．
故答案为：．
15．(1)
(2)或
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得.
（2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
即，即，
而，即，则，又，
所以.
（2）依题意，，则，或，
当时，由，
得，
在中，由正弦定理得，，则，
在中，由余弦定理得，
因此，
当时，，
，，
所以或.
16．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）法1：取中点，先证平面，再根据面面垂直的判定定理判定平面平面；
法2：设为在底面的射影，证明点恰为斜边的中点，得平面，再证面面垂直.
（2）法1：根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦；
法2：根据二面角的平面角的概念构造平面与平面夹角的平面角，利用直角三角形的边角关系求角的余弦值.
【详解】（1）方法1：取的中点，连接，，

因为，所以，且，
因为，，为的中点，所以，
所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
方法2：设为在底面的射影，则平面，
因为，所以
射影为底面的外心，又为直角三角形，所以恰为斜边的中点，
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，所以与平面所成角即为，所以，
因为，所以，所以，，
因为，为的中点，所以，
方法1：如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，

则有，即令，则，，
所以，
易知平面ABC的一个法向量为，
设平面ABC与平面ABC的夹角为，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
方法2：如图，过作的平行线，因为，所以，
过作，垂足为，
因为平面平面，所以，
又，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以平面与平面的夹角即为，
易知，所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）设圆M半径，表示出，，由椭圆的定义推出点M轨迹为椭圆，求出a，b，c，即得C的方程．
（2）方法1：考虑直线的斜率不存在的情况，并计算圆E的面积；联立直线与椭圆，设点写出韦达关系，由，垂直关系，得到k，m的关系式，写出的表达式，求其最小值即得；方法2：考虑直线OP或者OQ斜率不存在的情况，并计算圆E的面积，联立直线与椭圆方程，得到，与k的关系，写出的表达式，求得其最小值即得；方法3：由参数方程分别写出的坐标，由与的垂直关系，得到两参数关系，写出的表达式，求出最小值即得；方法4：设，，，利用两点在椭圆上推得，写出的表达式， 利用常值代换法和基本不等式求出的最小值即得．
【详解】（1）设圆M的半径为，由题意可知，，
且，且，
因，故圆心M的轨迹为椭圆，
易知椭圆C的长轴长为，焦距为，则，，，
故C的方程为：．
（2）
方法1：设Px1,y1，Qx2,y2，由题意可得，则，即得 ，
当直线的斜率不存在时，设直线，则，，
由可得，，
所以，解得，则，
此时，圆E的面积为．
当直线的斜率存在时，设直线，
由可得，，
所以，，
所以
，
所以，即，
代入，
所以
，
当且仅当时，取得最小值，所以圆E面积的最小值为．
方法2：因为以为直径的圆E经过坐标原点O，所以，
①当直线中有一条斜率不存在时，则另一条斜率为0，
易知，所以圆E的半径为，所以圆E的面积为．
②若直线的斜率均存在，设直线，直线，Px1,y1，Qx2,y2，
所以由可得，同理可得
所以
，
所以，
当且仅当时，取得最小值，所以此时，圆E面积的最小值为，
因为，所以圆E面积的最小值为．
方法3：设，，
因为，所以，
所以
，
由可得：，
整理得，，
由基本不等式，有，
所以，
设，则，即，解得，
所以，
所以圆E面积的最小值为．
方法4：设，，
因为，所以可设，且，
因为点在C上，所以，
所以，
同理可得，，所以，
所以，
所以
，
当且仅当，，或，，时等号成立，
所以圆E面积的最小值为．
18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间；
（2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围；
（3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出hx在上的单调性，即可求出其范围，即得证.
【详解】（1）当时，，，
因当时，f′x0，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因，
设，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故时，取得极小值，
（ⅰ）所以当时，，，所以f′x>0，单调递增，符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以存在两个零点，
即存在区间使得gx