（人教版）数学七年级下册期末考点练习专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题（2份，原卷版+解析版）

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【例题讲解】
（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？
（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析
【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；
（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．
【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则，解得．
答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；
（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝，
∴裁出长方形的的长为3cm，宽为2cm，∵3＞6，
∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【综合解答】
1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积．
【答案】72cm2
【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据所给出的图形列出方程组，求出x，y的值，再根据长方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，
依题意得：，
解得：，
则小长方形的长、宽分别为10cm，2cm，
图中阴影部分的面积是：S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=16×（8+2+2）-6×2×10=72(cm2)．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组．
2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．
【答案】8
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴xy=4×2=8．
答：图中一个小长方形的面积为8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.
【答案】长是10mm，宽是6mm
【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个加2长的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【详解】设长方形的长为x，宽为y，则

解得：
所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm．
【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2， 并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．
【答案】大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm
【分析】根据题意结合图形列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
答：大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解答本题的关键．
5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．
【答案】（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析
【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积．
【详解】解：（1）设长为3x，宽为2x，
则：3x•2x=30，
∴x=（负值舍去），
∴3x=，2x=，
答：这个长方形纸片的长为，宽为；
（2）正确．理由如下：
根据题意得：，
解得：，
∴大正方形的面积为102=100．
【点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
【答案】(1) 长是1.5m，宽是0.5m；（2）不能
【分析】（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可．
【详解】解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym，由题意得：
解得:
∴长是1.5m，宽是0.5m．
（2）∵正方形的面积为7平方米，
∴正方形的边长是米，
∵