（人教版）数学七年级下册期末考点练习专题09 算术平方根与立方根的综合运用（2份，原卷版+解析版）

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【例题讲解】
已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；(2)求的平方根．
【详解】（1）解：∵4是的算术平方根，∴，∴，
∵的立方根为，∴，∴，
∴．
（2）解：，64的平方根为，
∴的平方根为．
【综合解答】
1．已知，那么的立方根是( )
A．-1B．1C．3D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数的性质，得出a，b的值，再代入计算即可．
【详解】
：∵，
∴，
∴，，
∴a=-4，b=3，
∴=1，
∴的立方根为1，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．
2．的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.
【详解】
原式
；
故答案为：A.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.
3．若，，那么等于（ ）
A．57.68B．115.36C．26.776D．53.552
【答案】C
【解析】
【分析】
根据立方根的运算法则即可．
【详解】
解：，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了立方根的运算，解题的关键是对进行正确的拆分．
4．下列计算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解．
【详解】
A. ，故原选项计算错误，不合题意；
B. ，故原选项计算错误，不合题意；
C. ，故原选项计算错误，不合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键．
5．一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】
A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设
则
且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．
故选．
【点睛】
本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
6．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，x的算术平方根和-b的立方根，然后根据x的算术平方根和a的算术平方根即可求出x与a的关系，根据-b的立方根和y的立方根关系即可求出y与b的关系．
【详解】
解：∵a的算术平方根是，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，
∴x的算术平方根是，-b的立方根是
∵=×，456=10×
∴=，y=103（-b）
即
故选C．
【点睛】
此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．
7．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
则，
所以，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．
8．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求＝_____．
【答案】0．
【解析】
【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴＝﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9．已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是___________
【答案】1
【解析】
【分析】
先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程，求出a、b后再代入进行计算求出的值，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】
解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,
∴a=5,b=6,
∴b-a=1，
∴的算术平方根是1，
故答案是：1.
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根 ___．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．
【详解】
解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，
∴，
解得a＝5，b＝2，
∴a＋b＝7，
则a＋b的算术平方根为．
【点睛】
本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．
11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c是的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
由题意首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a、b的值，然后估计的大小，可得c的值，进而可得a+2b+c，根据算术平方根的求法可得答案．
【详解】
解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；
解得：a=5，b=2；
又有7＜＜8，
可得c=7；
则a+2b+c=16；
则16的算术平方根为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法是解题的关键．
12．若的立方根是A，的算术平方根为B，则A＋B＝________．
【答案】
【解析】
【详解】
因为，所以A=，B=，则A+B=，故答案为.
三、解答题
13．(1)．
(2)已知∶2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值．
(3)已知a为的整数部分，b-3是400的算术平方根，求．
【答案】(1)；(2)m+2n=13；(3)=6
【解析】
【分析】
(1)首先进行开方和乘方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得；
(2)根据平方根的定义得出方程，解方程即可分别求得m、n的值，据此即可解答；
(3) 根据无理数的估算和算术平方根的定义，即可求得a、b的值，据此即可解答．
【详解】
解：(1)

(2)2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，
，3m+n+1=25，
解得m=7，n=3，
；
(3)，
，
的整数部分为13，
，
又b-3是400的算术平方根，400的算术平方根是20，
，解得b=23，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，平方根和算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．
14．已知4是的算术平方根，的立方根是2．C是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根和立方根的定义列出式子，解出a，b，c的值即可．
（2）将（1）中所求数值代入，并计算平方根即可．
(1)
解：由题有，
解得： ；．
∵，
∴ ，
∴，
即：，，；
(2)
（2）解：把，，，代入得
，
，
∴的平方根是．
【点睛】
本题考查算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的整数部分，熟练理解平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
15．（1）计算：
①
②
（2）求方程中的的值
①
②
【答案】（1）①；②（2）①或；②
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可；
（2）根据算术平方根以及立方根解方程即可．
【详解】
（1）①解：原式＝
②解：原式＝
（2）①
解得或
②
解得
【点睛】
本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
16．（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m．
（2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．
（3），求的立方根．
【答案】（1）49；（2）；（3）－1
【解析】
【分析】
（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可；
（2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的式子求值，再计算平方根即可；
（3）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，从而得出a的值，再计算两数的和，从而得出立方根．
【详解】
解：（1）解：依题意：，解得，
，．
（2）解依题意：，，
解得，，
，16的平方根是
（3）解：依题意，得，
代入，得
，的立方根是－1．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键．
17．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1）1.414，14.14，141.4…0.1732，1.732，17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）已知2.236，7.071，则 ， ；
（3）1，10，100…小数点变化的规律是： ．
（4）已知2.154，4.642，则 ， ．
【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642
【解析】
【分析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】
（1）1.414，14，141.4…
0.1732，1.732，17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，
（2）已知2.236，7.071，则0.7071，22.36，
（3）1，10，100…
小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵2.154，4.642，
∴21.54，0.4642．
故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【解析】
【分析】
（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】
解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873；
（3），，，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴y=-0.01．
【点睛】
此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．