（人教版）数学七年级下册期末复习训练专题 平行线的判定与性质的综合运用（2份，原卷版+解析版）

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◆◆1、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
◆◆2、平行线的判定方法：
（1）定义法：在同一平面内不相交 的两条直线互相平行．
（2）判定定理1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定定理2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
◆◆3、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，内错角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
◆◆4、平行线的判定与性质的联系与区别．
区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
题型一 平行线的判定
【例题1】（2022•南京模拟）如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECDB．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE＝180°D．∠HCE＝∠CEG
【变式1-1】（2022春•隆阳区校级月考）如图所示，以下5个条件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】（2021秋•上蔡县校级期末）如图，下列条件能判断直线l1∥l2的有（ ）
①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022春•商城县期末）学习过平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【变式1-4】（2022秋•城关区校级期末）已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：EF∥BC．
【变式1-5】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1 （ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2 ，
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【变式1-6】（2022秋•临汾期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．
求证：CE∥DF．
题型二 平行线的性质
【例题2】（2022秋•宣汉县校级期末）如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝（ ）
A．145°B．150°C．120°D．165°
【变式2-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【变式2-2】（2022春•梁子湖区期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
【变式2-3】（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 度．
【变式2-4】（2022秋•明水县校级期末）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度数．
【变式2-5】（2022秋•伊川县期末）如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．
题型三 平行线的判定与性质的综合运用
【例题3】（2022秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝60°．
其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-1】（2022秋•伊川县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
【变式3-2】（2022春•凤泉区校级期末）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数．
【变式3-3】（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
【变式3-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．
【变式3-5】（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
专 题 难 点 突 破 练
1、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
2．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．
3．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3∠4＝135°．其中，正确的结论有 ．（填序号）
4．（2023•临川区校级一模）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
5．（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．
6．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
7．（2022秋•郸城县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 ．
8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
解题技巧提炼
本题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
解题技巧提炼
1、两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
2、利用平行线的性质可以角的度数，证明两直线垂直等.
解题技巧提炼
1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3、平行线的判定与性质常常综合运用，见到角相等或互补就应该相等能否判定两直线平行，见到两直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.