（苏科版）数学七年级下册期末专题14 解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5750" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5750 \h 1
\l "_Tc15177" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc15177 \h 1
\l "_Tc19726" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc19726 \h 10
\l "_Tc4530" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc4530 \h 14
\l "_Tc9692" 【考点四 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc9692 \h 18
\l "_Tc4939" 【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc4939 \h 20
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）先整理，然后利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
由②得，③，
①+③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
则方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法－代入消元法，加减消元法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：
①－②可得，，解得，
将代入可得，解得，
则．
（2）解：
由可得，
将代入可得，
解得，
将代入可得，
则．
【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的求解方法．
2．（2023春·七年级课时练习）解方程组．
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据加减消元法求解即可；
（2）根据加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是；
（2）解：，
①，得③，
②，得④，
④③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）加减消元法解方程组即可；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解为：；
（2）解：
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
4．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）用适当的方法解下列方程组：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
把①代入到②得：，解得，
把代入到①得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
整理得：，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
5．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）解二元一次方程组
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1），
①②得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
②得：③，
①③得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
6．（2023秋·山东青岛·八年级校考期末）解方程组；
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可
【详解】（1）解：由
得：，
解得：，
将③代入②得：，
故方程组的解为：
（2）解：由，
得：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
故方程组的解为：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键
7．（2023秋·陕西榆林·八年级校考期末）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
得：
解得：
把代入②
解得：
原方程的解为：
（2）
整理得：
得：
解得：
把代入①
解得：
原方程的解为：
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组；正确掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）解方程组
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)利用代入消元法解方程即可得到答案；
(2)利用加减消元法的步骤解方程即可得到答案；
(3)先化简再利用加减消元法解方程即可；
(4)利用加减消元法解方程消去然后解出的值即可得到方程的解．
【详解】（1）解：，
由方程②得到：代入方程①得到：，
∴，
∴，
∴，
将代入方程②得到：，
∴原方程组的解是．
（2）解：，
得到：，
∴，
∴，
∴将代入方程②得到：，
∴原方程组的解是；
（3）解：
方程②化简得到：，
∴，
利用加减消元得到：，
∴，
将代入方程①得到：，
∴原方程组的解是；
（4）解：
得到：，
∴，
∴，
将代入方程①得到：，
∴原方程组的解是；
【点睛】此题考查一元一次方程组的解法，有两种解法一种是代入消元，另一种是加减消元；掌握消元思想是解题的关键．
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2023春·七年级课时练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为.
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？
【答案】(1)
(2)甲把看成的数是，乙把看成的数是
【分析】（1）根据题意，把代入，求出b的值，把代入，求出a的值，进而，求出原方程组的解；
（2）根据题意，把代入，求出a的值，把代入，求出b的值，即可.．
【详解】（1）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∴原方程组是：
，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的正确解是： ；
（2）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
答：甲把看成的数是，乙把看成的数是．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，掌握解的意义和解二元一次方程组的步骤，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
【答案】．
【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：，
把代入②得：，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
即方程组为，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
（1）
根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）
方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2023春·福建泉州·七年级校联考阶段练习）阅读以下材料：
解方程组：；
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②得：
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组：．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】（1）解：，
由①得，
将③代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故原方程组的解是：；
（2）解：，
整理得：，
把③代入④得：，
解得，
把代入①得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式训练】
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）解方程（组）：
(1)
(2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，
原方程组可化为，
解得，∴ ∴原方程组的解为
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法进行计算即可得；
（2）设，，原方程可化为，进行计算得， 则,用代入消元法进行计算即可得．
【详解】（1）解：
①+②得：，
解得：，
把代入①得：
解得，，
则方程组的解为 ．
（2）解：
设，，
原方程可化为，
即，
②-①得，，
把代入②得，，
∴，
∴,
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，整体换元法．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读探索
解方程组
解：设a-1+x，b2y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用
已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为___________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，可得出关于、的方程组，即可求出、的值，进而可求出、的值；
（2）设，，根据已知方程组的解确定出、的值即可．
【详解】（1）解：设，，
原方程组可变形为，
解得：，即，
解得：．
（2）设，，
原方程组可变形为：，
关于，的方程组的解为，
∴，
解得：．
故答案为
【点睛】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键．
【考点四 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义的含义可得从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴
∴
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴
整理得：，
①+②得： ③
把③代入①得：
把x=5代入②得：
∴
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
【答案】3.5
【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵、，
∴，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【答案】(1)，；
(2)5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）∵，
∴，
得：
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．
【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【答案】2
【分析】根据题意，先解关于的二元一次方程组，再根据x，y互为相反数，列式求解即可得到值．
【详解】解：，
由②①得，
由①②得，
x，y互为相反数，
，解得．
故答案为：2
【点睛】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为___________．
【答案】2
【分析】先求出方程组的解，将解代入二元一次方程中，进行求解即可
【详解】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值．正确求出方程组的解，是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）关于x，y的方程组中x与y的值互为相反数，则m的值为___________．
【答案】
【分析】由x与y的值互为相反数得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：x+y=0，即y=-x，
代入方程组得：，
解得：，，
则m的值是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
3．（2023春·七年级课时练习）在二元一次方程组中，若这个方程组没有解，则k的值是_________.
【答案】-6
【分析】利用加减消元法消去y得到，再由方程组无解即可得到，由此即可得到答案．
【详解】解：
②×3+①得，，即，
∵已知方程组无解，
∴，
∴，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组无解的问题，正确利用加减消元法得到是解题的关键．
4．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）如果关于、的二元一次方程组的解和的绝对值相等，则的值为：______．
【答案】1或－1
【分析】先用a表示出方程组的解，然后根据x和y的绝对值相等，分x＝y和x＝－y两种情况求a的值即可．
【详解】解：由得，
∵x和y的绝对值相等，
∴x＝y或x＝－y，
当x＝y时，，
解得；
当x＝－y时，，
解得，
故答案为：1或－1．
【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
5．（2022秋·八年级课时练习）若是整数，关于、的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为______．
【答案】-12
【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得到m+3是10的因数，也是15的因数，进而求出m值解答．
【详解】解：解方程组，
解得，
∵二元一次方程组的解是整数，
∴m+3是10的因数，也是15的因数，
∴m+3=5或m+3=1，
∴m=2，-2，-4或-8，
∴满足条件的所有的值的和为2-2-4-8=-12，
故答案为：-12．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，整数解的理解，正确掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．