初中数学人教版（2024）七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组练习题

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知识点一
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
知识点二
实际问题中的基本数量关系：
◆◆球赛积分问题：
①胜场数+平场数+负场数=总场数；
②胜场积分+平场积分+负场积分=总积分.
◆◆银行利率问题：
①利息=本金×利率×时间 ；②本息和=本金＋利息
题型一 球赛积分问题
【例题1】（2022春•大荔县期末）2022年2月6日女足亚洲杯决赛，在逆境中铿锵玫瑰没有放弃，逆转夺冠!某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，某班开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该班获胜的场数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-1】（2022秋•市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（ ）
A．16道B．17道C．18道D．19道
【变式1-2】足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分某队前16场比赛中负6场得26分，则该队胜 场．
【变式1-3】（2022•新城区校级二模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
【变式1-4】（2022秋•安乡县期末）在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？
【变式1-5】（2021春•德宏州期末）在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分．
题型二 增长率（下降率）或百分比问题
【例题2】（2022秋•城阳区期末）某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（ ）吨，
A．5，10B．23，11C．11.5，5.5D．11，23
【变式2-1】（2022春•广平县校级月考）某商场2020年的总利润为100万元，2021年的总收入比2020年增加10%，总支出比2020年减少5%，2021年的总利润为140万元，则2020年的总收入和总支出分别是（ ）
A．300万元，210万元B．300万元，200万元
C．400万元，300万元D．410万元，310万元
【变式2-2】某商场新购进一种服装，每套售价1000元，若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，则调价前上衣的单价是（ ）
A．200元B．480元C．600元D．800元
【变式2-3】（2021秋•丰顺县校级期末）青岛市某实验中学在对口援助边远山区活动中，原计划赠书3000册，由于学生积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了20%，高中部比原计划多赠了30%，则该校初中部原计划赠书 册，高中部原计划赠书 册．
【变式2-4】（2022秋•渠县校级期末）随着国家“亿万青少年学生阳光体育运动”活动的启动，某区各所中小学也开创了体育运动的一个新局面．你看某校七年级（1）、（2）两个班共有100人，在两个多月的长跑活动之后，学校对这两个班的体能进行了测试，大家惊喜的发现（1）班的合格率为96%，（2）班的合格率为90%，而两个班的总合格率为93%，求七年级（1）、（2）两班的人数各是多少？
【变式2-5】（2022•澄迈县模拟）有两块试验田，原来可产花生470千克，改用良种后共产花生532千克，已知第一块田的产量比原来增加16%，第二块田的产量比原来增加10%，问这两块试验田改用良种后，各增产花生多少千克？
题型三 几何图形问题
【例题3】（2022秋•章丘区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
【变式3-1】（2022秋•北碚区校级期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，
首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
【变式3-2】（2022秋•台江区校级期末）如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【变式3-3】（2022•苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积．
【变式3-4】（2021春•滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（ ）
A．16B．8C．32D．24
【变式3-5】（2022春•东港区校级期中）用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如
图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，问两种纸盒
各做多少个，恰好将库存纸板用完？
题型四 年龄问题
【例题4】（2022春•滨州期末）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄
是（ ）
A．10岁B．15岁C．20岁D．30岁
【变式4-1】今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2022春•封丘县月考）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【变式4-3】（2021•无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？
【变式4-4】（2022秋•汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？
【变式4-5】（2022•南陵县自主招生）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
题型五 分段计费问题
【例题5】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为多少m3．
【变式5-1】某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了20元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了38元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
【变式5-2】先阅读下列一段文字，然后解答问题．
某运输部分规定：办理托运，当物品的重量不超过16kg时，需付基础费30元和保险费a元；为限制过重物品的托运，当物品的重量超过16kg时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付b元超重费．设某件物品的重量为x（kg）．
当x≤16时，支付费用为 元（用含a的代数式表示）；当x＞16时，支付费用
为 元（用含x和a，b的代数式表示）；
（2）甲、乙两人各托运一次物品，物品的重量和支付费用如表所示：
试根据以上提供的信息确定a，b的值．
【变式5-3】（2022秋•宣州区期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．
【变式5-4】（2021春•肥城市期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过15吨（含15吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过15吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）小明家3月份用水25吨，他家应交水费多少元？
题型六 分配问题
【例题6】（2022春•利津县期末）某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的．问这两个车间原来各有多少人？设第一车间原来有x人，第二车间原来有y人，依题意可得（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为 ．
【变式6-2】某校师生共100人到两个车间参加劳动，到第一车间的人数比到第二车间的人数两倍少8人，到两个车间的人数分别 ．
【变式6-3】（2021秋•香坊区校级期中）某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调8人到乙组，那么甲组人数比乙组人数的一半还多6人，则原来乙组的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式6-4】某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人．如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间就是第一车间的．问这两个车间各有多少人？
【变式6-5】定安县服装厂第二车间的人数比第一车间的人数的2倍少10人．如果从第二车间调5人到第一车间后，两个车间的人数一样多．问这两个车间各有多少人？
题型七 银行利率问题
【例题7】（2021秋•郫都区校级月考）某人善于理财，她以两种方式共储蓄1000元．一种储蓄的年利率为3%，另一种储蓄的年利率为4%，一年后本息和为1035元（不考虑利息税），则两种储蓄的存款分别为（ ）
A．400元，600元B．500元，500元
C．300元，700元D．800元，200元
【变式7-1】小张以两种形式共储蓄了5000元，假设第一种的年利率为3.7%，第二种的年利率为2.25%，一年后得到利息156元，那么小张以第一种形式储蓄的钱数是（ ）
A．2000元B．2500元C．3000元D．3500元
【变式7-2】某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，还贷期间每年需付出8.42万元利息．已知甲种贷款每年的利率为12%，乙种贷款每年的利率为13%，则该公司乙种贷款的数额 万元．
【变式7-3】（2021春•荆州期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为 万元．
【变式7-4】李红去年在中国农业银行以甲、乙两种存款形式总共储蓄了8000元人民币．其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整．问李红的甲、乙两种储蓄各是多少元？
【变式7-5】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？
题型八 图表信息问题
【例题8】（2021秋•平远县期末）梅州金柚，声名远播，今年又是一个丰收年．某经销商为了打开销路，对1000个金柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．当销售总收入为7280元时．
（1）若这批金柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋？
（2）若该经销商留下b（b＞0）箱纸盒装送人，其余纸盒装全部售出，求b的值．
【变式8-1】（2022秋•南关区校级月考）根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价．
【变式8-2】（2022春•潍坊期中）在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某景区游玩，如图是购买门票时，小明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）他们共去了几个成人，几个学生？
（2）小明想要换哪种方式购票？该购票方式是否更合算？请通过计算说明．
【变式8-3】（2022秋•崂山区校级期末）某校准备组织学生到潍坊进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折．若所有人员都买一等座单程火车票，共需花费5395元；若所有人员都买二等座单程火车票，在学生享受购票折扣后，总票款为2730元．
（1）参加社会实践活动的老师与学生各有多少人？
（2）若二等座火车票只能买到30张，则如何购票最省钱？此时总票款是多少元？
【变式8-4】（2022秋•中原区校级期中）请用二元一次方程组解决问题：
某校八年级（1）班和（2）班的学生一块到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，两班学生共104人，其中（1）班学生比（2）班学生少，教育基地门票价格如下：
原计划两班都以班为单位购票，则一共应付1136元，请回答下列问题：
（1）八年级（1）班有多少学生？
（2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？
【变式8-5】（2022春•南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题：
（1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
题型九 解决方案决策问题
【例题9】（2021春•越秀区校级期中）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是羽毛球的16倍少2元，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
（1）一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少？
（2）甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折；乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送4只羽毛球．求当m＝30时，学校购买这批羽毛球拍和羽毛球最少需要多少元？
【变式9-1】（2022秋•咸阳校级期末）元旦当天，学校准备给老师购买一批围巾和袜子作为节日礼物，已知一条围巾比一仅袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，甲商场给出的节日优惠为：每购买5条围巾，送2双袜子；乙商场给出的节日优惠为：购买围巾超过10条，则袜子打五折．
（1）用二元一次方程组的知识求围巾和袜子的单价；
（2）学校计划购买围巾50条，袜子25双，只选择其中一家商场，你认为学校应该到哪个商场购买更合算？
【变式9-2】（2022秋•城阳区期末）为保障师生健康安全，学校计划从商场购进一批免洗手消毒液和医用口罩．两商场的标价相同，如果按照商场标价购买，购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元．
（1）求商场每瓶免洗手消毒液和每包医用口罩的标价分别是多少元？
（2）甲乙商场开展促销活动：甲商场，所有购买商品均打八折；乙商场，商品按照标价销售，每购买20瓶免洗手消毒液送10包医用口罩．某校计划购进免洗手消毒液80瓶，50包医用口罩，到哪家商场购买更合算？请说明理由．
【变式9-3】（2022秋•汝城县校级期末）某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学阳光体育课间使用，共买了3个篮球和5个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜30元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少吗？
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折；②满减活动：999减100，1999减200；两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？
【变式9-4】（2022秋•越秀区校级期中）商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【变式9-5】（2022春•辰溪县期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来表，除了医务人员主动请要走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
解题技巧提炼
球赛积分问题等量关系式：
胜局场数+平局场数+负局场数=总场数．
胜局积分+平局积分+负局积分=总积分．
解题技巧提炼
增长率（下降率）或百分比问题等量关系式：
（1）增长率问题：原有量×（1+增长率）=增长后的量．
（2）下降率问题：原有量×（1－下降率）=下降后的量．
解题技巧提炼
利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解．
解题技巧提炼
二元一次方程组解决年龄问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变．年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用，解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键.
月份
用水量/m3
水费/元
4
16
50
5
20
70
解题技巧提炼
列二元一次方程组解分段计费问题，常见的等量关系有：总收费=标准内收费＋标准外收费，解题的关键是弄清某次收费包含哪几段费用.
物品的重量（kg）
支付费用（元）
18
38
25
53
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格（单位：元/度）
一档
0＜x≤180
a
二档
180＜x≤400
b
三档
x＞400
0.95
解题技巧提炼
分配问题即分配前后总量不变，分配后两量之间有新的倍比关系．解这类题要注意分析分配后两量之间的关系，从而找到等量关系．
解题技巧提炼
银行储蓄问题：
①利息=本金×利率×期数；
②本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利率×期数）；
③实得利息=利息-利息税； ④利息税=利息×利息税率；
⑤年利率=月利率×12．
解题技巧提炼
解决图表信息问题，关键是读懂题意，从图表中获取有用的信息，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关的数学知识找出相等关系，从而实现信息的转换，顺利地解决问题．
青岛北﹣潍坊票价
一等座
二等座
83（元）
52（元）
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
12元
10元
8元
购买服装的套数
1～39套（含39套）
40～79套（含79套）
80套及以上
每套服装的价格
100元
80元
60元
解题技巧提炼
解决方案决首先要列举出所有可能的方案，再按照题中的要求分别求出各种方案的具体结果，从中选择最优方案．
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
甲种货车（辆）
乙种货车（辆）
物资总量（吨）
第一次
2
1
10
第二次
1
2
11