适用于新教材强基版2024届高考数学一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用3.5导数的综合应用新人教A版

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题型一 导数与恒(能)成立问题
例1 (2023·福州模拟)已知函数f(x)＝ex＋(m＋1)x，(m∈R)．
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若存在x∈[1,2]，使得不等式ex＋eq \f(x2,2)＋mln x＋m≥f(x)成立，求m的取值范围．
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思维升华 恒(能)成立问题的解法
(1)若f(x)在区间D上有最值，则
①恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；∀x∈D，f(x)0；∃x∈D，f(x)f(x)max；af(x)min；a0时，ex>x2－2ax＋1.
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思维升华 利用导数证明不等式的解题策略
(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究最值即可得证．
(2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．
(3)对于函数中含有ex和ln x与其他代数式结合的问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：①ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．②ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
跟踪训练2 (2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
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(2)当a＝e时，证明f(x)－eq \f(ex,x)＋2e≤0.
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题型三 导数与函数的零点问题
例3 (12分)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；[切入点：求f′(x)，f′(0)]
(2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
[关键点：根据导数f′(x)对a分类讨论，对x分(－1,0)与(0，＋∞)两部分]
思维升华 函数的零点问题有两种常见方法，一是分离参数法，作出函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数；二是利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定参数的范围或零点的个数．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ln x－(2k＋1)x(k∈R)．
(1)当k＝－eq \f(1,4)时，求证：f(x)