适用于新教材强基版2024届高考数学一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用3.3导数与函数的极值最值新人教A版

这是一份适用于新教材强基版2024届高考数学一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用3.3导数与函数的极值最值新人教A版，共4页。

知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧______，右侧________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧______，右侧________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为____________，极小值和极大值统称为________．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的______；
②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．( )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值．( )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．( )
教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
3．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
题型一 利用导数求解函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2 求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数，求函数f(x)的极值．
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命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．2或6
(2)(2023·芜湖模拟)函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x>0)有极值，则实数a的取值范围是_________．
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为( )
A．－1或3 B．1或－3
C．3 D．－1
(2)(2023·肇庆质检)已知x＝1是函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
题型二 利用导数求函数最值
命题点1 不含参函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为( )
A．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)B．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)
C．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＋2 D．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)＋2
听课记录： ______________________________________________________________
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命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝x3－3ax.
(1)讨论函数f(x)的极值情况；
(2)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值．
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思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
(2)已知函数f(x)＝aln x＋x－3的最小值为－2，求a的值．
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