2025版高考数学全程一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用第二节导数与函数的单调性

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用第二节导数与函数的单调性，共4页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的________；
第2步，求出导数f′(x)的________；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．( )
(3)若函数在定义域上都有f′(x)>0，则在定义域上一定单调递增．( )
(4)由于1x2>0在(－∞，0)∪0，+∞上恒成立，且函数y＝－1x的导数y′＝1x2，所以函数y＝－1x的单调递增区间是(－∞，0)∪0，+∞.( )
2．(教材改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
3．(教材改编)函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
4．(易错)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________．
5．(易错)若y＝x＋a2x(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
第二节 导数与函数的单调性
必备知识
1．单调递增 单调递减
2．定义域 零点
夯实基础
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：由导函数的图象可知函数在(－∞，0)上是先减后增，在(0，＋∞)上先增后减再增．故选D.
答案：D
3．解析：y′＝6x－2x＝6x2-2x.
∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴由y′>0，得x>33.
∴函数的单调递增区间为(33，＋∞)．
由y′<0，得0∴函数的单调递减区间为(0，33)．
答案：(33，＋∞) (0，33)
4．解析：f′(x)＝x2－3x＋a，
∵f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，
∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，即－1，4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，由韦达定理得－1×4＝a，即a＝－4.
答案：－4
5．解析：方法一 由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a，
∴y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，
∴a≤2.又a>0，∴0方法二 y′＝1－a2x2，依题意知1－a2x2≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.又a>0，∴0答案：(0，2]