2025安庆高一上学期1月期末考试数学含解析

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满分：150 分 考试时间：120 分钟
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解绝对值不等式可得集合 ，借助于数轴即得结果.
【详解】由 可得 ，即得 ，
借助于数轴表示易得： .
故选：A.
2. “ ”是“ 为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质、奇函数的性质以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当 时， 为奇函数，故充分性成立；
若 为奇函数，又 的定义域为 ，则 ，
验证适合题意，故必要性成立；
所以“ ”是“ 为奇函数”的充要条件.
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（北京）股份有限公司
故选：C.
3. 幂函数 为增函数，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数 定义和单调性确定 的值，再代入求值即可.
【详解】由题意知 ，解得： 或 ，即 或 ，
因 为增函数，则 ，于是 .
故选：C.
4. 从甲地到乙地的距离约为 ，经多次实验得到一辆汽车每小时鞂油 （单位： ）与速度 （单位：
的下列数据：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型．
【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为 ；第二，在定义域单调递增且单位增长
率变快；第三，函数图象过原点.
函数 和 在定义域内单调递减，不符合条件，故 AC 错误；
函数 中 0 不在函数的定义域中，故 D 错误；
B 选项： 满足上述三点，故 B 正确.
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（北京）股份有限公司
故选：B.
5. 已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性定义判断函数为奇函数即得.
【详解】函数 的定义域为
因 ，
故函数 为奇函数，图象关于原点对称.
故选：A.
6. 函数 称为高斯函数， 表示不超过 的最大整数，则方程 的解的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用高斯函数的定义，由方程 可得 ，解之即得.
【详解】由 可得 ，解得 .
故选：D.
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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（北京）股份有限公司
【答案】B
【解析】
【分析】先用诱导公式化简，后结合和角差角公式和二倍角公式计算即可.
详解】因
，解得 ，
故选：B.
8. 设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分别分析 ， 的取值范围，再分析 的取值范围，最后比较三者大小.
【详解】因为对数函数 在 上单调递增，且 ， ，所以
.
对数函数 在 上单调递增，且 ， ，所以
.
进一步比较 和 的大小，利用换底公式 ， .
.
因为 （基本不等式 ）， ，所以
，即 .
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（北京）股份有限公司
指数函数 单调递增， ， ， ，
且 ， ，所以 .
综上可得 ，即 .
故选：A.
二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分，每小题给出的四个选项中，都
有多个选项是正确的，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，选错或不答的得 0 分.
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用赋值法取 可排除 ；利用不等式的性质可判断 .
【详解】对于 ：取 ，则 ， ，故 错误；
对于 ：因为 ，所以 ，故 正确；
对于 ：因为 ，所以 ，
所以 故 正确.
故选：BD.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 是周期函数，最小正周期为
B. 函数 是奇函数
C. 函数 有最大值，无最小值
D. 函数 在 上单调递增
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（北京）股份有限公司
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于函数 ，需要根据对数函数的定义域、三角函数的周期性、奇偶性、单调性以及
最值等性质来逐一分析每个选项.
【详解】对于 A,根据对数函数的性质，对数中的真数须大于 ，即 .
解不等式 ，得 .
因为 的最小正周期是 ，且 的定义域是 ，
在每一个这样的区间内， 的周期是 ，所以 是周期函数，最小正周期为 ，A 选项正确.
对于 B,函数 的定义域为 ，定义域不关于原点对称.
根据奇函数的定义，对于函数 ，如果对于定义域内的任意 ，都有 ，
且定义域关于原点对称，而 定义域不关于原点对称，所以 不是奇函数，B 选项错误.
对于 C,因为 ，当 时.
而 在 上单调递增，当 时， 取得最大值 ，无最小值，C 选项正确.
对于 D,令 ， . 在 上单调递增.
在 上单调递增，且 在此区间成立.
根据复合函数“同增异减” 原则，函数 在 上单调递增，D 选项正确
.
故选：ACD.
11. 已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，且 ，则以
下结论正确的是（ ）
A.
B. 为单调递增函数
C. 的图象关于 成中心对称
D. 的解集为
【答案】BCD
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（北京）股份有限公司
【解析】
【分析】根据题意可得 在 上单调递增， ，可判断 ；利用单调性比较大小可
得判断 ；由 ，可得 ，可判断
；利用单调性解不等式可判断 .
【详解】对于 ：由 ，即 ，
所以 在 上单调递增，
由 ，有 ，
故 在 上单调递增，故 B 正确；
对于 ： 在 上单调递增，且 ，
所以 ，故 错误；
对于 ：由 ，
即 ，
故 的图象关于 成中心对称，故 C 正确；
对于 ：由于 ，故 ，从而 ，
又因 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，故 D 正确.
故选:BCD.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. __________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】利用分数指数幂的运算法则和指对数的运算性质计算即得.
【详解】 .
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（北京）股份有限公司
故答案为： .
13. 已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数
__________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性及取最小值条件列式求解即得.
【详解】由 ，得 ，由函数 在 上单调递增，得 ，
解得 ，
由 ，则当 时， 取最小值，
于是 ，解得 ，所以 .
故答案为：
14. 已知函数 ，满足 ，若函数
恰有 5 个零点，则实数 的范围为__________.
【答案】 .
【解析】
【分析】利用 求出 的值，令 ，由 可得 ，分析函数 的
性质作出其图象，将函数 恰有 5 个零点问题转化成 与 和 的图象有 5 个交点
问题，即可求得参数 的范围.
【详解】由 ，得 ，解得 ，则
令 ，由 可得： ，
解得： ，依题意，直线 与直线 与 的图象恰有 5 个交点.
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（北京）股份有限公司
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 时， ；
当 时， 可看成 关于 轴对称得到，故其在 上单调递减.
作出函数的图象如图所示.
由图象可知，需使 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的零点个数问题，属于难题.
求解函数的零点个数问题，一般有以下方法：
（1）直接法：求解方程 可得零点个数；
（2）零点存在定理法：结合函数的单调性和零点存在定理可判断；
（3）两函数交点法：将原函数方程分解成两相等函数，利用两函数图象的交点个数确定.
四､解答题：本大题共 3 小题，共计 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合
（1）若 ，求
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集、补集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件得到 是 的真子集，结合对 进行分类讨论，得到集合端点之间的不等式，求
解即得 的取值范围.
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（北京）股份有限公司
【小问 1 详解】
由 解得 ，
∴ ， ，
当 ， ，解不等式 得， ，
∴ .
.
【小问 2 详解】
∵“ ”是“ ”的充分不必要条件
∴ 是 的真子集，
又
当 时， ， 不符合题意；
当 时， ， ；
所以 ，且两等号不能同时成立，解得
当 时， ，
所以 ，且两等号不能同时成立，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
16. 在平面直角坐标系 中，角 的顶点是坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求 的值；
（2）若 为锐角，且 ，求
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角的三角函数定义求得 的值，再利二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正
弦公式即可求解；
（2）先由 ， 终边的位置结合 的范围确定 是第二象限角，求得 ，
再由 利用两角差的余弦公式求值即可.
【小问 1 详解】
∵角 的终边经过点 ，∴
∴ ，
所以 ，
∴
【小问 2 详解】
由题意知 ，又 ，∴ ，
若 ，则 ，与 不符；
∴ ，即 是第二象限角.
于是
所以
.
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17. 已知函数
（1）若 ，且函数 恰有一个零点，求 的最小值；
（2）设 ，若 ，且对任意的 ，总存在 ，使得
成立，求 的取值范围.
【答案】（1）4 （2） .
【解析】
【分析】（1）由条件推出 利用常值代换法和基本不等式，即可求得；
（2）由 可得 ，求出 在 上的最小值，由题意可得“对任意的 ，存在
”，即“存在 ，使得 成立”，就参数 分类讨论，结
合函数图象性质即得参数 的范围.
【小问 1 详解】
由 时，函数 恰有一个零点，
可得 ，即 ，
，
当且仅当 时取等号，故此时 取得最小值为 4.
【小问 2 详解】
因为 在区间 上递减， ，
由 可得 ，
因为对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
所以对任意的 ，存在 ，
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即存在 ，使得 成立，
即存在 ，使得 成立，
由二次函数性质可知，
当 时，显然存在 ，使得 成立；
当 时，需满足方程 有两个不相等的实数根，
即 ，即 ，
解得 ，又 ，则 ，
综上可得， 的取值范围是 .
18. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 图象的对称中心坐标；
（3）当 时，方程 有两个不相等的实数根 且 ，求 的值.
【答案】（1）
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（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得 A，B 的值，由 以及 可得 的值，再由
最高点可求得 的值，即可得 的解析式；
（2）由正弦函数的对称中心，利用整体代入法可得 对称中心；
（3）根据方程 在 上有两个不相等的实数根 ，可得 ，
【小问 1 详解】
由图象知 ，又 ，
故 ，
由图象可知 ，得 ，
由于 ，故 ，所以 .
【小问 2 详解】
令 ，解得 ，
所以函数 图象的对称中心坐标为 .
【小问 3 详解】
由 ，所以 ，
又方程 在有 两个不相等的实数根 且 ，
所以 ，所以 ，
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且 ，
又 ，即 ，
所以 ，
又 ，
因为 ，
所以 ，
即 的值为 .
19. 设 是函数 的零点， 是函数 的零点，若 ，则称函数 与函
数 是“零点相近函数”
（1）已知 与函数 ，判断函数 与函数
是否为“零点相近函数”，并给出理由；
（2）若函数 与函数 是“零点相近函数”，求实数 的取值范围；
（3）若函数 与函数 是
“零点相近函数”，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 与函数 是“零点相近函数”，理由见解析
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）分别求出函数 和 的零点 和 ，利用 检测即得；
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（2）先对分段函数 分析其零点得 ，由“零点相近函数”的定义，需使 的零点
，结合其单调性，利用零点存在定理即可求得实数 范围；
（3）由 整理后利用同构思想，设 ，结合其单调性可由 推得其零
点为 ，再由 ，借助于函数 和 值域即可求得其零点为
，最后由 即可求得实数 的范围.
【小问 1 详解】
令 得 ，解得 ，即以函数 的零点为 ，
令 得 ，解得 ，于是 ，
因 ，所以令 ，故函数 的零点为 ，
则 ，
故函数 与函数 是“零点相近函数”.
【小问 2 详解】
当 时， ，函数无零点；
当 时，由 ，解得 或 （舍去），
故函数 的零点为 ，
因函数 与函数 是“零点相近函数”，故函数 的零点 ，
又函数 在 上单调递增，故须使 ，即 ，
解得 ，故实数 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
令 ，得 ，
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因 ，所以 ，
构造函数 ，显然函数 在 上单调递增，
因 ，所以 ，
因此函数 的零点是 .
令 ，得 ，即 ，
因 ，而 ，两函数都可在 时取到等号，
故函数 的零点是 ，
因为函数 与函数 是“零点相近函数”，所以 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义函数的性质应用，属于难题.
解题思路在于充分理解“零点相近函数”的规定，按照其要求，分别求两函数在给定区间上的零点，其间，
除直接求零点外，还需考虑零点存在定理与函数单调性的应用，有时还需同构思想和函数的值域的比较，
才能顺利解题.
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