第一章直角三角形的边角关系单元复习题2024-2025学年北师大版九年级数学下册一轮复习试题

这是一份第一章直角三角形的边角关系单元复习题2024-2025学年北师大版九年级数学下册一轮复习试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共10题；共40分)
1．（4分）如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（ ）
A．100米B．200米C．米D．米
2．（4分）如图，某班数学课外活动小组的同学想要测量公园内一小山的高度，通过测量知道坡角，斜坡的长度为，则小山的高度为（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．2
4．（4分）的值等于（ ）
A．1B．C．D．
5．（4分）如图所示，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度为 1.5 m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）
A．55.5 mB．54 mC．19.5 mD．18 m
6．（4分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，AB是杠杆，米，．当点A位于最高点时，．此时，点A到地面的距离为（ ）
A．米B．5米C．6米D．7米
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）已知是边长为4的等边三角形，点D为高上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接和，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为
B．的最小值为1
C．周长的最小值为
D．为直角三角形时，的面积为
9．（4分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160mB．120mC．300mD．160m
10．（4分）如图，在中，斜边．若，则( )
A．点到的距离为sin54°B．点到的距离为tan36°
C．点到的距离为sin36°sin54°D．点到的距离为cs36°sin54°
二、填空题(共4题；共20分)
11．（5分）如图，测角仪竖直放在距建筑物底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：）
12．（5分）如图，矩形的边，点E、H分别是上的点，．将四边形沿直线折叠到四边形的位置，使恰好经过点B，且于点P，则 ， ．
13．（5分）如图，AB是垂直于水平面的建筑物、为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为 米．（精确到0.1米）（参考数据sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
14．（5分）如图，已知等边边长为6，D为延长线上一点，，E为直线上一动点，连接，F，G分别为的中点，连接，则线段长度的最小值为 ．
三、解答题(共4题；共32分)
15．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
16．（8分）为推进山区经济发展，往往首先要架桥修路．某工程队计划将两座山的山腰M、N两点处连接起来修建一座大桥MN，现需要测量大桥MN的长度．如图，测量小组在山谷底部A处测得观察M处时的仰角∠α＝38.7°，转身观察N处时的仰角∠NAD＝45°，然后测量小组向前走了50米来到点B处，在B处测得观察N处时的仰角∠β＝76.1°．已知大桥MN与水平面CD平行，MC⊥CD，ND⊥CD，试求大桥MN的长度．（参考数据：sin38.7°≈0.63，cs38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80，sin76.1°≈0.97，cs76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0）
17．（8分）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长．
18．（8分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为求花洒顶端到地面的距离结果精确到参考数据：，，
四、综合题(共5题；共58分)
19．（10分）为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米）
（1）（5分）求该小区高层的高度；
（2）（5分）求该小区小高层有多少层？
20．（10分）简约大气是人们的新追求图1所示是一款简约的落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的收纳架，、为等长的支架，为水平地面，已知，，，．（结果精确到．参考数据：，，，，）
（1）（5分）求支架顶点A到地面的距离；
（2）（5分）如图3，将镜面顺时针旋转，求此时收纳镜顶部端点O到地面的距离．
21．（12分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面平行于地面，斜坡的坡比为， 且米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（参考数据：，，，）．
（1）（6分）求改造前坡顶与地面的距离的长．
（2）（6分）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡改造成（如图所示），那么至少是多少米？（结果精确到米）
22．（12分）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）（6分）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）（6分）求河的宽度.（结果保留整数）
23．（14分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°， AC=8， sinB＝， 点D是斜边AB的中点，点E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，作点C关于直线EP对称点F，连结EF、PF，设DP长为x（x＞0）．
（1）（3分）AB的长为 ．
（2）（3分）求PF长度（用含x的代数式表示）．
（3）（3分）当点F落在直线CD上时，求x的值．
（4）（5分）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，找到格点D，连接格点BD、CD，
在中，.
故答案为：C.
【分析】找到格点D，连接格点BD、CD，在中，根据正切函数的定义求出的正切值.
4．【答案】C
5．【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
∵在Rt△ADE中，∠ADE＝ 30° ，tan∠ADE=，DE＝CD＝ 18 m ，
∴AE＝DEtan∠ADE=18×=18（m），
又∵AB＝AE+BE，BE＝DC，DC＝1.5（m）
∴AB＝18+1.5＝19.5（m）．
故答案为：C.
【分析】 过点D作DE⊥AB于点E，再由正切的定义求出AC，再计算AB＝AC+DC的长即可．
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】9.3
12．【答案】4；
13．【答案】71.8
14．【答案】
【解析】【解答】解：取CD的中点M，连接GM，GM||AC，当点G运动时，GM||AC保持不变，故点G在MN上运动，当FG⊥MN时，FG取最小值，易知△BMN为等边三角形，AN=CM=2，得FN=5，故FGmin=
故答案为：
【分析】取CD的中点得GM||AC，即可得点G的轨迹，即可得FG的最小值.
15．【答案】BC＝．
16．【答案】解：∵MC⊥CD，ND⊥CD，
∴CM∥DN，
∵MN∥CD，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD，CM＝DN，
在Rt△ADN中，∵∠DAN＝45°，
∴AD＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝76.1°，
∴BD＝＝，
∴AD﹣BD＝AB＝DN﹣＝50，
∴DN＝，
∴CM＝DN＝，BD＝，
在Rt△ACM中，∵∠CAM＝38.7°，
∴AC＝CM•tan38.7°＝×0.8＝，
∴MN＝CD＝+50+＝120（米）．
【解析】【分析】先证四边形 CDNM是矩形 ，根据矩形的性质得到MN=CD，CM=DN，解三个直角三角形即可得到结论．
17．【答案】解：，，
，
，
，，
，
，
（米），
（平方米）．
∵，
，
=（米），
大坝的横截面积为1350平方米，周长为（米）．
【解析】【分析】先根据坡比求出AE、BF的长，利用勾股定理求出AD、BC的长，进而根据梯形的面积计算公式及周长计算公式计算可得答案.
18．【答案】解：过作于，
则，
在中，，，
，
，
，
答：花洒顶端到地面的距离为．
【解析】【分析】过C作CF⊥AB于F，得到∠AFC=90°，在Rt△ACF中解直角三角形即可得到结论.
19．【答案】（1）64米
（2）8层
20．【答案】（1）
（2）
21．【答案】（1）改造前坡顶与地面的距离的长为米；
（2）至少是米；
22．【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
【解析】【分析】（1） 过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得 ，设BF=4t米，DF=3t米，由勾股定理表示出BD，结合BD=450米建立方程可求出t，从而即可解决此题；
（2） 过A作AE⊥CD于E，过A作AH⊥BF于H，则四边形AEFH为矩形，得HF=AE=120米，AH=EF，则BH=BF-HF=240米，在Rt△ABH中，由正切函数的定义可求出AH，在Rt△ACE中，由勾股定理可算出CE，进而根据CD=EF-CE-DF即可算出答案.
23．【答案】（1）10
（2）解：∵点D是斜边AB的中点，AB＝10，
∴CD＝AB＝5，
∵DP长为x，
∴CP＝5﹣x，
∵作点C关于直线EP对称点F，
∴PF＝PC＝5﹣x；
（3）解：如图，当点F落在直线上时，
∵点E是边的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得；
（4）解： x＝1或3
【解析】【解答】解：(1)∵在中，，， ，
∴，
故答案为：；
(4)当时，延长交于点G，
在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵在中， ，
∴，
解得；
当时，延长交于点M，则 ，
∴，
∴，
∴中，
∴
∵在中，
∴，
∴，
∴ ，
在中， ，
∴，
解得．
综上所述，x的值为1或3．
【分析】（1）在中，利用正弦的定义式求解即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，进而得到，再由轴对称的性质可得；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等边对等角得，于是有；由轴对称的性质可得，在可得方程，解得；
（4）分两种情况：当时，延长交于点G，利用勾股定理求得，则，利用轴对称的性质可得，，则，表示出则，在可得方程，解得；当时，延长交于点M，利用 得出，在 得到，在中，得到，，进而得到 ，在中建立方程，解得，据此可得答案．