湖南省邵阳市2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题

这是一份湖南省邵阳市2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数满足：（，i为虚数单位），则（ ）
A．5B．C．D．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将6件这种产品装一箱，每箱中都放置2件能够中奖的产品.若从一箱中随机抽出2件，能中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
7．定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越好
B．若随机变量服从两点分布，，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．一组数（）的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大
10．已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ）
A．
B．当时，的最小值为
C．点到直线的距离的最小值为2
D．当时，直线ON的斜率的最大值为
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．当时，，
D．若，，则
三、填空题
12．若等比数列满足：，，则数列的公比 .
13．某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答）
14．已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，点D在边BC上，且，求的值.
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求实数的取值范围.
17．如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18．已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与C相交于F，G两点，点E与点F关于轴对称，问直线EG是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)将圆心在轴上，且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点，圆心距为，求.
19．已知正项数列（）的前项和为，且.当时，将进行重新排列，构成新数列，使其满足：或（其中，）.
(1)当时，写出所有满足的数列；
(2)试判断数列是否为等差数列，并加以证明；
(3)当时，数列满足：是公差为且（且）的等差数列，求公差.
《湖南省邵阳市2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题》参考答案
1．B
【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再应用交集的定义计算即可.
【详解】因为集合，集合，
则.
故选：B.
2．C
【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果.
【详解】根据向量数量积公式.
先求，.
再求..
所以.
根据三角函数诱导公式，所以.
故选：C.
3．C
【分析】化简，再利用复数的除法求得复数，从而求出其模长.
【详解】∵，
∴，∴，
∴.
故选：C.
4．A
【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可.
【详解】绘制出的图像，
当时，，当时，.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．B
【分析】利用组合数求出基本事件数和符合条件的事件数，再结合古典概型公式求解即可.
【详解】基本事件共有件，符合条件的有件，
且设中奖为事件，即，故B正确.
故选：B
6．A
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果.
【详解】，，∴，即，
，∴，
联立方程组得，整理得，
设，，∴，，
.
故选：A.
7．B
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.
【详解】若，， ，，
构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.
由于，故函数在上递增.
由于，故当时，，当时，.
所以，，
，，
根据单调性有，所以，
故选：B.
8．D
【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解.
【详解】，
令，得.
，.
令，由的图象得：
，化简得.
故选：D.

9．BC
【分析】利用决定系数的性质判断A，利用两点分布的方差公式判断B，利用正态分布的对称性判断C，举反例判断D即可.
【详解】由决定系数性质得，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A错误，
若随机变量服从两点分布，，
则，故B正确，
若随机变量服从正态分布，，
由正态分布性质得，故C正确，
我们令，，此时平均数，
方差为，插入一个数，
此时平均数为，方差为，
方差显然变小了，即再插入一个数，则这个数的方差不可能变大，故D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】对选项A，可根据抛物线的定义计算出的值判断其正确，对BCD选项，可根据抛物线的方程设抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.
【详解】根据抛物线的定义，的准线为，
由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；
对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，
对于B选项，当时，；
当时，
当且仅当时，等号成立.选项B正确；
对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：
到直线的距离，
当时，.选项C错误；
对于D选项，可根据向量共线作出示意图：

根据定义求出抛物线的焦点F1,0，由得，
当时，；
当时，，
当且仅当时，等号成立.选项D正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】利用奇函数、轴对称的定义判断AB；取值计算判断C；分离参数构造函数，结合不等式性质判断D.
【详解】对于A，当时，，
，函数是奇函数，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，当时，，，C正确；
对于D，由，得，
令，，
而，，且均在时取等号，则，，
因此，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
12．
【分析】由结合已知条件可求得的值.
【详解】因为等比数列满足：，，
则，解得.
故答案为：.
13．96
【分析】可采用间接法或直接法来求解不同的选取方法数.
【详解】方法一：间接法
先求出从名男生和名女生共人中选人担任学科代表的所有情况，再减去所选人都是女生的情况，即可得到至少有名男生的情况.
从个不同元素中取出个元素的排列数记为，其计算公式为.
从人中选人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科，
方法数为种.
从名女生中选人进行全排列，安排到三个学科，
方法数为种.
用总的选法数减去人都是女生的选法数，可得至少有名男生的选法有种.
方法二：直接法
分两种情况讨论：选名男生名女生和选名男生名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将它们相加.
情况一：选名男生名女生
从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种，
然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种.
根据组合数公式，可得，.
则这种情况下的选法有种.
情况二：选名男生名女生
从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种，
然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种.
，.
则这种情况下的选法有种.
将两种情况的选法数相加，可得至少有名男生的选法有种.
故答案为：
14．
【分析】由正切函数定义结合几何位置关系，得到，结合解析几何中的圆的知识，得到三点共线时，取得最小值，得到结果.
【详解】如图（一），，.
又，.
如图（二），建立平面直角坐标系，则，，，设点.
，化简得：（，）.
则圆心为，，点关于BC的对称点.
故答案为：.
15．(1)
(2).
【分析】（1）根据余弦定理可求；
（2）根据角的关系可得，求出后者后可得比值.
【详解】（1），
.
即.
由正弦定理得：，
，
，.
（2）易知，
，，，
，，.
.
的值为.
16．(1)
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程即可；
（2）利用给定条件求出，再转化为交点问题求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
令，则，.
故，，即切点为，
所求切线方程为，即.
（2）由题意得，
当时，，故函数没有零点；
当时，令，得.
令，则，，
因为有2个零点，所以和有2个交点，
令，.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，当时，；当时，；
当时，；当时，且.
实数的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）求出，即可得到，结合，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，即可证明；
（3）设，即可表示出的坐标，设直线与平面所成角为，利用向量法求出，再根据二次函数的性质求出的最大值.
【详解】（1），，所以
又，，
又，，，.
（2）在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，
，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，.
，，，
设n1=x1,y1,z1为平面的一个法向量，
令，得，.
设平面的一个法向量，则，取.
，又平面与平面不重合，
平面平面.
（3）当时，为平面的一个法向量，，
则，
设，
，，
设直线与平面所成角为，
，
当且仅当时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．(1)
(2)直线EG过定点.
(3).
【分析】（1）设出方程带入点，得到方程.
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为，最后得到过定点.
（3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
将点代入得，即，双曲线的方程为
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为，，，.
由消去整理得，
依题意得：，且，即且，
，.
易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为.
令，得
.
直线EG过定点.
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为，过点，
综上，直线EG过定点.
（3）考虑以为圆心的“子圆”，
由的方程与的方程消去，得关于的二次方程.
依题意，该方程的判别式，.
对于外切于点的两个“子圆”，，显然点在轴上，
设，，的半径分别为，，
不妨设，的圆心分别为，.
则，.
两式相减得：，而，.
，整理得：.
，点.
，故.
19．(1)2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.
(2)不可能是等差数列，证明见解析
(3).
【分析】（1）需要根据已知条件求出的表达式，再根据以及和或的条件来确定数列.
（2）根据等差数列的定义判断数列是否为等差数列.
（3）利用已知条件对分类讨论，设，求出范围，再根据是公差为的等差数列，求出，得到满足题意的.
【详解】（1），①
当时，，即，.
当时，，②
由①－②得：，即.
，，，即.
数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
.
由题意可得当且的数列为：2，4，1，3，5和2，5，3，1，4.
（2）数列不可能为等差数列，证明如下：
假设是等差数列，公差为，
当时，由题意知，或3，此时，.
不是等差数列中的项，与题意不符.
不可能是等差数列；
当时，由题意，或.
此时，.
不是等差数列的项，与题意不符.
不可能是等差数列.
综上所述，不可能是等差数列.
（3）由题意，，
当时，，，与题意不符；
当时，记，
当时，，
，
记表示集合中元素的最小值，则.
，与题意不符；
当时，取此时数列满足题意.
综上所述，.
【点睛】知识点点睛：本题考查了由与的关系式求，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
A
B
D
BC
ABD
题号
11









答案
ACD