2023届湖南省邵阳市高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题（word版）

这是一份2023届湖南省邵阳市高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题（word版），共14页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
2023年邵阳市高三第一次联考试题卷数学本试卷共4页，22个小题。满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则（    ）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（    ）A. B. C. D.3.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的全面积为（    ）A. B. C. D.4.设向量，满足，，则（    ）A.2 B. C.3 D.5.某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍.现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为（    ）A.0.92 B.0.08 C.0.54 D.0.386.已知A，B，C分别是的内角，，，则C的值是（    ）A. B. C. D.7.设若函数有且只有三个零点，则实数m的取值范围为（    ）A. B. C. D.8.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ）A.二面角的余弦值为B.该截角四面体的体积为C.该截角四面体的外接球表面积为D.该截角四面体的表面积为二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学，密码学，计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的有（    ）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数为周期函数，且最小正周期为D.函数的导函数的最大值为410.已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的有（    ）A.  B.函数的图象关于点对称C.  D.若，则11.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日（1746-1818）最先发现.已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（    ）A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的蒙日圆方程为C.椭圆C的蒙日圆方程为 D.长方形R的面积的最大值为1812.已知函数，，则下列说法正确的有（    ）A.在上是增函数B.，不等式恒成立，则正实数的最小值为C.若有两个零点，，则D.若，且，则的最大值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式中不含的各项系数之和______.14.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则______.15.已知圆与圆相交于A，B两点，则公共弦AB所在的直线方程为______（2分）______（3分）.16.在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知数列满足，，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为m，n，，，.（1）求；（2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值.19.（本小题满分12分）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面M为棱BE的中点.（1）若上有一点N满足平面，确定点N的位置并证明；（2）若，，求平面与平面所成二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）新冠肺炎疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检）.某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.（1）求X的数学期望；（2）如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙中的哪一种?21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.（1）求抛物线C的方程；（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.22.（本小题满分12分）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，记，是否存在整数t，使得关于x的不等式有解?若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.
2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准数学一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.A 3.A  4.D  5.A  6.A7.C  8.D  二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.ABD 10.ABD  11.ACD 12.ABD  三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.128  14.  15.，216.  四、解答题17.（10分）【详解】（1）因为，，，，可得，，     ……（1分）又，     ……（2分）则当时，，     ……（4分）上式对也成立，所以，；     ……（5分）（2）由，可得，     ……（7分）则数列的前项和为     ……（9分）.     ……（10分）18.（10分）【详解】（1）已知，由正弦定理可得，由，     ……（1分）∴，     ……（3分），，，     ……（4分），.     ……（5分）（2）在中，由余弦定理得知：即     ……（8分）     ……（9分）     ……（10分）     ……（11分）∴当时，.     ……（12分）19.（12分）【详解】（1）点N为DE中点，证明如下：如图，连接BD，MN，     ……（1分）因为M，N分别为BE，DE的中点，所以MN为的中位线，所以，     ……（2分）又平面，平面，所以平面.所以N为DE的中点时满足条件；     ……（4分）（2）取AB的中点O，连接OE，因为侧面为菱形，且，所以在中，，解得，所以，即.     ……（5分）又因为平面平面.平面平面，平面所以平面，过作的垂线，交BD于H并延长，分别以OH，OA，OE所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，     ……（6分）设，则，故，，，，，则，，，，.设平面的法向量为.则即令，则     ……（8分）设平面的法向量为，则，即令，则，则     ……（10分），     ……（11分）故：平面与平面所成二面角的正弦值为.     ……（12分）20.（12分）【详解】（1）X可取1，2，…，8，9，     ……（1分）则，，2，…，8     ……（3分），     ……（5分）所以.     ……（6分）（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，则Y可取2，3，4，5.，     ……（7分），     ……（8分），     ……（9分），     ……（10分）则.     ……（11分）设每次检测的费用均为，则方案甲的平均费用为，方案乙的平均费用为，因为，所以应选择方案乙.     ……（12分）21.（12分）【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最大值由题意知，，设圆上的点，则.所以.     ……（1分）从而有.因为，所以当时，.     ……（2分）又，解之得，因此.     ……（3分）抛物线C的方程为：.     ……（4分）（4分）[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最大值抛物线C的焦点为，，     ……（1分）所以，F与圆上点的距离的最大值为，解     ……（3分）抛物线C的方程为：     ……（4分）（2）[方法一]：切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即     ……（5分）同理可知，直线PB的方程为，由于点P为这两条直线的公共点，则，所以，点A、B的坐标满足方程，所以，直线的方程为，     ……（7分）联立，可得，由韦达定理可得，所以，     ……（8分）点P到直线AB的距离为，     ……（9分）所以，，     ……（10分）∵，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.     ……（12分）[方法二]【最优解】：切点弦法分割转化求面积三角换元求最值同方法一得到，.     ……（7分）过作轴的平行线交于，则.     ……（8分）     ……（9分）点在圆上，则     ……（10分）.     ……（11分）故当时的面积最大，最大值为32.     ……（12分）[方法三]：直接设直线AB方程法设切点A，B的坐标分别为，.设，联立和抛物线C的方程得整理得.     ……（5分）判别式，即，且，     ……（6分）抛物线C的方程为，即，有.则，整理得，同理可得.     ……（7分）联立方程可得点P的坐标为，即.     ……（8分）将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得.     ……（9分）由弦长公式得.点P到直线AB的距离为.     ……（10分）所以，     ……（11分）其中，即.当时，.     ……（12分）22.（12分）解：（1）由题意得函数的定义域为     ……（1分）①当时，时，，在单调递增，时，，在单调递减；     ……（2分）②当时，恒成立，在上单调递增；     ……（3分）③当时，时，，在单调递增，时，，在单调递减；     ……（4分）综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，恒成立，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.     ……（5分）（2）当时，     ……（6分）∴，∴单调递增，又，所以存在唯一的，使得     ……（7分）且当时，，单调递减；当时，，单调递增；     ……（8分）所以     ……（9分）设，，则在上单调递减，所以，即，     ……（10分）若关于x的不等式有解，则，又t为整数，所以所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.     ……（12分）