湖南省“长沙市联考”2024-2025学年高三上学期1月数学变式卷 含解析

这是一份湖南省“长沙市联考”2024-2025学年高三上学期1月数学变式卷 含解析，共17页。试卷主要包含了如图，四边形中，，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．0B．C．D．8
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的乘方
【分析】根据复数的乘法化简，再计算其模.
【详解】因为，
所以.
故选：C
2．为异面直线，且.若，则直线l必定（ ）
A．与a，b都相交B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交
【答案】C
【知识点】异面直线的概念及辨析
【分析】根据异面直线的定义，逐项分析直线与直线的关系，即可确定.
【详解】由题意直线与、可都相交，也可只与一条相交，故A、B错误；
但直线不会与两条都不相交，若与、都不相交，因为与都在内，所以，同理，所以，这与、异面直线矛盾，
故直线至少与、中之一相交．
故选：C.
3．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六
【分析】由条件，根据三角函数定义求，结合诱导公式求结论.
【详解】角的终边过点，
则点到原点的距离，
所以，
所以．
故选：A．
4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
5．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】根据题意可得，进而可得，利用整体法求解函数的单调区间，根据，即可求解.
【详解】因为相邻两个对称轴之间的距离为，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由，得.
故选：B
6．如图，四边形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用基底表示向量
【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.
【详解】，
．
故选：A.
7．已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的中点弦
【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值.
【详解】设的中点，抛物线的准线为，
如图，作，垂足分别为.
由直角梯形的性质可得，
取抛物线焦点为，由抛物线定义可得，
当且仅当直线经过点时取等号，
所以线段中点的横坐标的最小值为．
故选：B.
8．设函数，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、分段函数的值域或最值
【分析】时，无最大值，因此时，有最大值，利用导数求解．
【详解】显然时，无最大值，
时，存在最大值，，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值．，
因此要有最大值，必须满足，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在时求得最大值，除这个最大值取得到，即以外还有必须满足，否则函数无最大值．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】ABD
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可.
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲：，乙：，
故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为，乙的中位数为，故A正确；
甲的极差为，乙的极差为，故B正确；
，所以甲的第75百分位数为，乙的第75百分位数为，故C错误；
由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.
故选：ABD
10．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
【答案】BCD
【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】根据条件，解得，进而得到，，选项A和B，利用等比、等差数列的定义，即可判断；选项C和D，利用等比、等差数列的前项和公式，即可求解.
【详解】因为数列是递增的等比数列，又，解得，
所以公比，，，
对于选项A，因为不为常数，所以选项A错误，
对于选项B，因为，
所以为常数，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确，
对于选项C，因为，
所以选项C正确，
对于选项D，因为，
所以，故选项D正确，
故选：BCD.
11．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为（其中a，且），以下对说法正确的是（ ）
A．当时，的值域为；当时，的值域为
B．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】BCD
【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、函数新定义
【分析】根据值域的定义可判断A；设任意，，利用周期的定义可判断B；利
用偶函数的定义可判断C；实数的稠密性，函数值在和之间无间隙转换可判断D.
【详解】的函数值只有两个，的值域为，故A错误；
设任意，，则，，故B选项正确；
若，则，；若，则，；
所以为偶函数，故C正确；
由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D正确．
故选:BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，函数的基本性质的定义和应用，关键在于理解函数的定义以及函数的性质，属于中档题.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，，，，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程
【分析】设点，分别表示与，化简即可.
【详解】设点，
则，，
则，
化简可得，
故答案为：.
13．徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并
拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上､下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上､下底面直径分别为和，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm，则该花盆上､下两部分母线长的总和为 .
【答案】
【知识点】圆台表面积的有关计算
【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式结合条件即得.
【详解】设上面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为高为，
根据圆台的母线长公式，带入数值计算得到；
设下面圆台的母线长为，上面半径为下半圆半径为
由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到，带入数值计算得到；
所以该花盆上､下两部分母线长的总和为.
故答案为：
14．在锐角中，角的对边为，为的面积，且，
则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果.
【详解】由，则，
所以，即，
即，解得或（舍去），可得，
，
因为是锐角三角形，则有，所以，
，，则，有，
由于,
所以，可得的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据题意，得到，进而求得甲答对第4题的概率；
（2）根据题意，得到可取，取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即，
所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为．
（2）解：由题意得，，，．
随机变量可取，
则，，，
，．
所以随机变量分布列如下：
所以．
16．如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；
X
0
1
2
3
4
P
(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2).
【知识点】线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】（1）根据依题意建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得结果；
（2）由线面角的向量求法计算即可得出结果.
【详解】（1）由题意可知，底面为菱形，可得，
依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知
；
设平面的法向量为，
则即，
据此可得平面的一个法向量为：，
又易知
点到平面的距离.
（2）设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
又
则即，
据此可得平面的一个法向量为，
又
因此，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）对参数分类讨论，根据不同情况下导函数函数值的正负，即可判断单调性；
（2）利用导数判断的单调性，求得的范围，满足的条件，以及，根据的范围夹逼的范围即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，
所以存在，使得，
且当；
又当；
故当，；当，；当，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，故，
且，所以，
，
又在单调递减，所以.
【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论，以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析的单调性，以及求得隐零点的范围以及满足的条件，属综合中档题.
18．设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的方程．
(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心．
①当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
②求点到直线的距离的最大值．
【答案】(1)(2)① ；②
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程得，由此可得椭圆方程；
（2）①设，．结合重心性质可得，结合点在椭圆上可求，由此可求结论.
②结合①求斜率不存在时，点到直线的距离，当斜率存在时，设方程为，联立方程组结合设而不求法求点到直线的距离的范围，由此得结论.
【详解】（1）由题意得解得
所以椭圆的方程为．
（2）①设，根据题意得．
因为原点是的重心，所以，
即．
将代入，解得．
当时，；当时，，
所以点到直线的距离为．
②由①知当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去，整理得，
且，即．
所以．
因为原点是的重心，所以，
所以，所以．
将点的坐标代入椭圆方程，整理得．
点到直线的距离，
．
综上所述，当与轴垂直时，点到直线的距离最大，为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线问题中的最值问题的常规方法为结合条件，引入自变量，表示所求变量的函数解析式，再结合函数知识求其最值.
19．设数列的前n项和为，对一切，，点都在函数图象上.
(1)求，，，归纳数列的通项公式（不必证明）：
(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；
(3)设为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、数列综合
【分析】（1）根据题意求出前几项，，利用归纳推理猜想通项公式；
（2）观察发现规律可得，是第25组中第四个括号内各数之和，从而得解；
（3）将恒成立问题转化为求函数的最值进行求解，从而得解.
【详解】（1）因为点在函数的图象上，故，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，由此猜想：，
当时，，且已知，，当时，，
故，化简整理得，
当时，，两式相减可得，结合，
故数列是以4为首项，4为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，4为公差的等差数列，即，故，
经检验符合题意，且当时，，
，故成立.
（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
，，，；
，，，；，…
每一次循环记为一组，由于每一个循环含有4个括号，
故是第25组中第4个括号内各数之和，由分组规律知，
由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80，注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以，又，所以.
（3）因为，故，
所以，
，
故对一切都成立，
就是对一切都成立，
设，
则只需即可，
由于，
所以，故是单调递减，于是，
令，即，解得或，
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查用数学归纳法求数列的通项公式，考察数列新定义问题，考查数列中的不等式恒成立问题，关键是读懂新定义，通过寻找规律把问题转化为等差数列的
相关问题，可将不等式恒成立问题转化为求数列的最值，确定数列的单调性是求最值常用方法.