大题仿真卷06（最新模拟速递）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·天津·一模）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)若，求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可.
（2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可.
（3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得：， ，
显然则，
又，故；
（2），
由余弦定理可得，整理可得，
又，解得，
（3）由正弦定理得：，则，
，即，则，故为锐角，
，
，
，
2．（2024·湖北·一模）已知.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，求导可得，又，可求切线方程；
（2）求导得，分，，三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，可得
所以，又，
所以切线方程：，即.
（2）由已知得
1.若，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以在取得最小值，符合题意.
2.若，
i）若即，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调递增，
所以在取得最小值，
ii）当，，所以无极值，不符合题意，
iii）当即，
当，所以在上单调递减，
当，所以在上单调递增，
所以在取得极小值符合.
3.若，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
在取得极小值，符合题意；
综上所述：的取值范围为.
3．（2024·山东·模拟预测）如图，在四棱锥中，且，底面是边长为的菱形，
(1)平面平面
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线垂直可得平面，即可根据面面垂直的判定求证，
（2）根据面面垂直的性质可得为直线与平面所成角的平面角且为的重心，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据法向量的夹角以及换元法得，结合二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）连接交于点,连接,
由于，是的中点，故,
又,平面，
故平面，平面，
故平面平面
（2）过作于点，
由于平面平面，且两平面的交线为,
平面，故平面，
因此为直线与平面所成角的平面角，故,
平面，平面，故，
又平面，
故平面，平面，故，
结合可知为的垂心，
由于底面是边长为的菱形，，故为等边三角形，
因此为的重心，
,
以建立轴，过平面的垂线作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，则,故，
则
设,故，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设二面角的平面角为，
则
，
令则,，
由于，
故，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为，因此的最小值为，
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
(1)求抛物线和双曲线标准方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．
【答案】(1)，
(2)证明见解析，．
【分析】（1）由焦点在轴上，可设出抛物线和双曲线的标准方程，将代入科的抛物线方程，求出焦点坐标，进而可得到双曲线的方程；
（2）与圆知识相结合，注意特殊三角形的应用.
【详解】（1）由已知，可设抛物线的方程为，
双曲线的标准方程为
把点代入抛物线方程，求得，
抛物线的方程为，焦点坐标为．
则对于双曲线，右焦点坐标为，则另一个焦点坐标为，故，
又在双曲线上，根据双曲线的定义知，
，
，，．
故双曲线的标准方程为．
（2）由题意可得，的中点为，的方程为，以线段为直径的圆交l于、两个点，的中点为，则.
设，则，，，，
则，，
因为，为直角三角形，且，
所以，，
显然，当时，为定值.
所以，弦长为为定值．
故存在垂直于轴的直线（即直线），被圆截得的弦长为定值，
直线的方程为．
【点睛】本题中在求圆的弦长时，利用圆中的特殊直角三角形，通过勾股定理得到半弦长，进而得到弦长.
5．（2024·山东威海·一模）定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件.
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)若.比较与0的大小关系，并说明理由.
附：参考公式.
【答案】(1)7；17
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）结合已知条件迭代求函数值；
（2）根据函数列出等式，然后根据等式累加解得
；
（3），然后求解，根据三角函数的有界性进行伸缩变换，最后判断与0的大小关系；
【详解】（1）因为，由①得，
由②得，
由①得，
由②得.
（2）由①得：，
将上述等式相加，可得，
所以，也满足此式，故.
由②得，，
将上述等式相加，可得，
所以.
而也满足此式，故.
（3）由（2）知，
，
所以
当且仅当时，， 上式取得等号，
即当时，均有，
所以当时，；当时，；当时，.
【点睛】根据已知条件迭代，结合数列的累加法找到解题的突破点，本题章节跨度大，题目较难，是高考新题型的典型例题.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
1．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明；
（2）由已知可知，为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以为的中点，又因为点为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
（2）连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点为线段的中点，
所以，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以底面，
过点在底面内作，如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
2．（2024·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列前n项和公式求出，求出，得证；
（3）利用错位相减法和裂项相消法，分奇偶项两组求和即可.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，化简，得，
整理，得， 解得(舍去)，或，则，
，.
（2）由 (1) 可知，，
则，
，
.
（3）由 (1) 可得，
，
，
令，
两式相减，可得
，
，
令
,
.
3．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表：
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值.
(3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数）
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）利用条件概率公式可求概率；
（2）设，，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，结合已知计算可求得结论；
（3）由已知得，计算可得，再结合图表可求.
【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学，
由条件根概率公式可得；
（2）分析r的向量意义，设，则，
分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，
则，
，，
，
夹角余弦值最大值为；
（3）都是的一个排列，
同理
.
结合图表
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，证明：；
(3)若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）先求直线再联立抛物线得出韦达定理应用中点坐标得出,进而得出抛物线；
（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论.
（3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出BM的直线得出定点.
【详解】（1）当时，，
联立消去，
可得，
设，
拋物线C方程为：.
（2）由题知，设，
，代入抛物线可得，
，
又，
同理.
（3）因为，
所以，代入点得①，
设，同理，
过点②
，
结合①②可得
又因为
所以，整理得
所以直线过定点.
【点睛】关键点点睛：解题定点的关键是先点斜式设出AB直线方程结合抛物线方程得出直线,同理得出BM的直线方程进而得出定点.
2．（23-24高三下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
(1)设函数，试求的互生向量；
(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；
(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解.
（2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解.
（3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成
则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解.
【详解】（1）因为，所以的互生向量.
（2）由题意可得，所以，
令，解得，
因为，所以，
所以函数在上的严格增区间为.
（3）由题，则，
若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根，
则函数与在上的图象有四个交点，
因为，
所以，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知k的取值范围为.
【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解.
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
116
131
124
126
121
110
106
99
118
117
数学名次
7
1
3
2
4
8
9
10
5
6
物理成绩
80
78
79
81
74
65
63
70
73
84
物理名次
3
5
4
2
6
9
10
8
7
1