大题仿真卷03（最新模拟速递）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直可求的坐标，利用对称可得抛物线的方程；
（2）先求出的坐标，利用数量积得的表达式，结合二次函数可得最值.
【详解】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴．
∵点F关于点M的对称点为P，
∴，（中点坐标公式）．
∴，得，
∴抛物线E的标准方程为．
（2）由（1）知F0,1，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，，
，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则．
∵，
∴，
当时，取得最大值，为．
2．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
(1)求证：平面平面；
(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在正方形中得到，再由三棱柱侧棱平行得到，等腰三角形三线合一得到，从而证明线面垂直；
（2）由几何法得到二面角的平面角，取中点，证明，然后得到平面，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，由空间向量计算得出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）因是正方形，则，
因，故，
由，则．
因平面，则平面，
又平面ABC，故平面平面ABC．
（2）如图，取的中点M，连接DM，易得，因，
故即二面角的平面角，即，
易得，取中点，连接，过点作交于 ，
因，∴，故得正三角形，则，
由（1）得平面平面，且平面平面，平面，
故得平面，
∴，∵，∴，
∴，，
因此可分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，，
∵，∴，
∴，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
则.
4．（2024·新疆·模拟预测）已知函数
(1)判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围；
(3)若函数有两个零点，证明：．
【答案】(1)具有中心对称，对称中心为点
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）先求函数定义域，结合对称性的定义分析证明；
（2）分析可知f′x≥0在0,2内恒成立，根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解；
（3）根据题意可得，，分析可得等价于，构建，利用导数分析分析证明即可.
【详解】（1）令，等价于，解得，
可知的定义域为0,2，
因为，
可知具有中心对称，对称中心为点1,0，
显然不为常函数，可知不具有轴对称，
所以y=fx具有中心对称，对称中心为点1,0.
（2）因为，
则，
若在定义域内单调递增，则f′x≥0在0,2内恒成立，
又因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，
所以的取值范围为.
（3）由题意可得：，
令，解得，
可知，，
令，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知Fx在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于0时，Fx趋近于，当趋近于时，Fx趋近于0，
若函数有两个零点，可知与有两个交点，
则，即；
又因为，两式相减可得，
两式相加可得，
不妨设，令，可得，
又因为，等价于，等价于，
构建，则，
构建，则，
可知在1,+∞上单调递增，则，即，
可知在1,+∞上单调递增，则，
即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数ℎx；
（3）利用导数研究ℎx的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
5．（24-25高三上·贵州·阶段练习）为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
(1)经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
(2)在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为，
（Ⅱ），，，，，
【答案】(1)一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786
(2)①；证明见解析；
②改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%
【分析】（1）求得每个大肠杆菌的存活率为，设一升水中大肠杆菌个数为，则，利用二项分布的概率公式计算；
（2）①因为，，利用泊松分布的定义计算可得结论；②利用条件计算可得，令，取对数后求导求得最大值即可.
【详解】（1）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则，，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786；
（2）①因为，，
所以，，
，，
，
，
；
②因为…
则出现上述情况的概率为
，
令，取对数得，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
因为，所以，
则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.
【点睛】关键点点睛：弄清题意，对新定义的理解是关键，需有较强的理解能力与分析问题解决问题的能力，求的最大值时先取对数后求导，从而求得最大值，有一定的技巧性.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
一、解答题
1．（2024·山东潍坊·三模）在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为，且__________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选①，令，利用等差数列基本量运算求得，即可求解等差数列的通项公式；若选②，由与的关系求得，从而为常数列，求得通项公式即可；若选③，由与的关系求得，所以是以2为公差的等差数列，从而利用等差数列的通项公式求解即可；
（2）根据分组求和法求数列前项和即可.
【详解】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差，
所以等差数列的通项公式为；
若选②，当时，，因此，
即，所以为常数列，因此，所以；
若选③，当时，，即.
又因为，所以.
当时，有，，
所以，即.
又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列，
所以.
（2）若选①，由（1）可知，
；
若选②，由（1）可知，
；
若选③，由（1）可知，
.
2．（2024·重庆·模拟预测）近年来某地在经济工作中坚持稳中求进工作总基调，在淘汰落后产能的同时大力发展新质生产力，下图是该地近几年来新型规模以上工业企业生产总值（）的柱状图（单位：亿元），记2017年，2018年，当的年编号（）依次为.

(1)求2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数；
(2)在与中选择合适的模型计算关于的回归方程；
(3)若上级领导将在2022，2023，2024，2025，2026这五年中任意抽取3年来研究该地新质生产力发展情况，记为抽到的工业企业的生产总值超过12000亿元的年份数目，并用（2）中回归方程估计，求的分布列和数学期望.
参考数据：
其中，附：经验回归方程中和的最小二乘估计公式为.
【答案】(1)5150亿元
(2)解析间详解
(3)分布列见详解，.
【分析】（1）根据平均数的概念进行计算即可.
（2）先根据散点图判断，用作为模型更合适.设，结合给出的数据和公式求回归方程.
（3）明确的取值，求出每个值对应的概率，可得的分布列，再结合期望的计算公式求的期望.
【详解】（1）易知：
所以2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数（亿元）.
（2）由散点图可知，用模型拟合效果更好.
设，则，
因为.
所以，.
所以.即为所求回归方程.
（3）因为.
且2022年的生产总值为9000亿元，
所以估计2023年的生产总值为：亿元；
2024年的生产总值为：亿元；
2025年的生产总值为：亿元；
2026年的生产总值为：亿元；
其中生产总值超过12000亿元的年份数为3.
所以的值可能为：1,2,3
且，，.
所以的分布列为：
所以.
3．（2024·贵州黔南·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的倾斜角为90°，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用椭圆的定义求出，进而求出得的标准方程.
（2）根据已知可得直线不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的横坐标即可.
【详解】（1）椭圆的二焦点为，，点在椭圆上，
则，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意，点不在轴上，即直线不垂直于轴，且直线不垂直于轴，否则重合，
设直线方程为，，
由消去得，，
显然，设，由直线的倾斜角为90°，得点，
则，所以，
直线的方程为，
当时，，
所以.
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程，
（2）构造函数，求导，根据单调性可得，进而，构造函数，求导判断单调性，即可求解最值得解.
（3）根据在单调递减.证明，即可求证，构造函数以及，利用导数求解单调性，即可求证.
【详解】（1），
则，，
故切线方程为，即，
（2），
令，
令，
当在单调递增，且，
当时，，
解集为，
故，进而即，
令，，
当单调递增，当，单调递减，
当时，，
，因此，
故
（3）在内有两个不同零点，
则有两个根，即，
由（2）知，当 在单调递增，单调递减.
故，
欲证，即证，
由于，在单调递减.即，即，
即证，即，
即证即证显然成立，
欲证 即证，即证
即证，即证，即证
令，则，
令，
故在单调递增，且，
在单调递增，，得证
【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
2．（2024·辽宁·模拟预测）柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的n元形式为：设，，不全为0，不全为0，则，当且仅当存在一个数k，使得时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值；
(3)已知无穷正数数列满足：
①存在，使得；
②对任意正整数i、，均有.
求证：对任意，，恒有.
【答案】(1)设，，，，则.当且仅当时等号成立
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据柯西不等式的n元形式写出二元形式即可.
（2）利用体积分割法结合锥体体积公式求得，然后利用四元柯西不等式求解最值即可.
（3）时，由，有由柯西不等式得，可得.
【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：设，，，，则.
当且仅当时等号成立.
（2）正四面体ABCD的体积等于以为顶点，四个面为底面的三棱锥体积之和，
即.
所以，因此.
由柯西不等式得.
从而，当且仅当时等号成立.
因此的最小值为.
（3）对，记，，，是1，2，，n的一个排列，且满足.
由条件②得：，于是，对任意的，都有
.
由柯西不等式得
.
所以
.
从而，当时，，故.
【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题.
第一，准确转化.解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义.紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化.
第二，方法的选取.对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的.角度进行转化.理解题目定义的本质苹并进行推广、运算.
第三，应该仔细审读题目.严格按新信息的要求运用算.解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰.
大肠杆菌数/升
0
1
2
3
4
5
升数
17
20
10
2
1
0
8.46
10198
12705
17.5
20950
3.85
1
2
3