专题13 圆锥曲线二级结论秒杀技巧（6大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc6924" 题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径 PAGEREF _Tc6924 \h 1
\l "_Tc3665" 题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 PAGEREF _Tc3665 \h 3
\l "_Tc26280" 题型03 中点弦问题秒杀公式 PAGEREF _Tc26280 \h 4
\l "_Tc11678" 题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为 PAGEREF _Tc11678 \h 6
\l "_Tc30073" 题型05 离心率秒杀公式 PAGEREF _Tc30073 \h 7
\l "_Tc24991" 题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式 PAGEREF _Tc24991 \h 9
题型01 椭圆、双曲线、抛物线的通径
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1B．2C．D．
3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B． C．D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则 .
8．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ．
题型02 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．9
2．（24-25高三上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A．B．2C．D．4
3．（23-24高三上·湖北·期末）已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
题型03 中点弦问题秒杀公式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·重庆铜梁·阶段练习）已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广东梅州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·重庆秀山·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦是圆的一条直径，则椭圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·陕西宝鸡·一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．B．C．4D．6
10．（2024·全国·模拟预测）已知直线恒过抛物线C：的焦点F，且与C交于点A，B，过线段AB的中点D作直线的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型04 双曲线焦点到渐近线的距离为
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．2D．
2．（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A．B．2C．D．
4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2024·青海海东·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与C的一条渐近线垂直，垂足为A，且，则双曲线C的实轴长为 ．
题型05 离心率秒杀公式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左焦点为F，过F作倾斜角为的直线交椭圆E于M、N两点，且（其中），则的值为（ ）
A．2B．C．D．3
3．（23-24高三下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
二、填空题
4．（24-25高三上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ．
5．（23-24高三下·安徽芜湖·期末）已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为 ；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则 ．
6．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 .
题型06 抛物线中与焦半径有关的秒杀公式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期中）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点、，若，则弦的长是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·河南开封·三模）过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·天津和平·阶段练习）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
8．（24-25高三上·陕西·期中）已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知是抛物线上的两动点，是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．直线过焦点时，以为直径的圆与的准线相切
B．直线过焦点时，的最小值为6
C．若坐标原点为，且，则直线过定点
D．与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上
10．（24-25高三上·浙江绍兴·期中）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，，以下说法正确的有（ ）
A．以为圆心，为半径的圆与抛物线仅有1个交点
B．以为直径的圆与轴相切
C．当轴时，取到最小值
D．若点为抛物线准线与轴交点，则一定有
11．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．的最小值为4B．以为直径的圆与l相切
C．的最小值为32D．和面积之和最小值为32
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．16
2．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，A是l上一点，B是直线AF与C的一个交点，若，则|BF|＝（ ）
A．B．C．3D．5
3．（2024·陕西西安·模拟预测）双曲线的焦点弦长为的弦有（ ）
A．8条B．4条C．2条D．1条
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
5．（2024·广西·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设是双曲线的左，右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
9．（23-24高三上·河南·阶段练习）过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
10．（2024·河南信阳·一模）倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点 ，且以为直径的圆与直线相切，则（ ）
A．4B．C．D．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
12．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
13．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
14．（24-25高三上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ）

A．2B．C．D．
二、多选题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，抛物线y2=2pxp>0上有异于原点的Ax1,y1，Bx2,y2两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（ ）
A．若，则三点共线B．若，则三点共线
C．若，则三点共线D．若，则三点共线
16．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知抛物线（）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D．若，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线：y2=2pxp>0的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
18．（23-24高三上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的任意两点，则正确的是（ ）
A．若，，则，
B．若直线的方程为,则
C．若，则直线恒过定点
D．若直线过点，过，两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点，则点在直线上
19．（2024·广西柳州·一模）过抛物线：y2=2pxp>0的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．以为直径的圆与轴相切D．
三、填空题
20．（23-24高三上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
21．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
22．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 .
23．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的右焦点和上顶点B，若斜率为的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
24．（23-24高三上·云南临沧·期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ．
25．（23-24高三上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为 .
26．（2024·安徽·一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是 .
27．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则
一、通径的定义
1、焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.
2、通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
二、通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
性质1、性质2的证明：
①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.
②对于双曲线，证明过程同椭圆.
③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
证明：设
．
双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
1、设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则．
2、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如图1.若,则

图1 图2
如图2.若，则
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
①.
②.
③,.
2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.