2024年江苏省镇江市中考数学模拟试卷及答案

这是一份2024年江苏省镇江市中考数学模拟试卷及答案，共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1． EQ \F( 1 ,2)的倒数是 ．
2．计算：(－2)×3＝ ．
3．化简：3a－5a＝ ．
4．若x2＝9，则x＝ ．
5．化简：(m＋1)2－m2＝ ．
6．如图，∠1是Rt△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，∠1＝120º，则∠2的度数是 ．
7．若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ．
8．有一组数据：6、3、4、x、7，它们的平均数是10，则这组数据的中位数是 ．
9．写出一个你喜欢的实数k的值 ，使得反比例函数y＝ EQ \F( k－2 ,x)的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．
10．如图，E是□ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD＝4， EQ \F( CE ,AB)＝ EQ \F( 1 ,3)，则CF的长为 ．
11．若 EQ \F( 1 ,m)＋ EQ \F( 1 ,n)＝ EQ \F( 7 , m＋n )，则 EQ \F( n ,m)＋ EQ \F( m ,n)的值为 ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(－4，0)、B(0，4)，⊙O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
13．若式子 eq \r(\s\d1(3x－4))在实数范围内有意义，则x的取值范围是【 】
A．x≥ EQ \F( 4 ,3) B．x＞ EQ \F( 4 ,3) C．x≥ EQ \F( 3 ,4) D．x＞ EQ \F( 3 ,4)
14．下列运算正确的是【 】
A．x2·x4＝x8 B．3x＋2y＝6xy C．(－x3)2＝x6 D．y3÷y3＝y
15．二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\al(2x＋y＝8,2x－y＝0))的解是【 】
A． eq \b\lc\{(\a\al(x＝2,y＝－4)) B． eq \b\lc\{(\a\al(x＝2,y＝4)) C． eq \b\lc\{(\a\al(x＝－2,y＝4)) D． eq \b\lc\{(\a\al(x＝－2,y＝－4))
16．若二次函数y＝(x＋1)(x－m)的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】
A．m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1
17．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为【 】
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共11小题，满分81分）
18．（本题满分8分）
(1)计算： eq \r(\s\d1(2))－4sin45º＋(－2012)0； (2)化简： EQ \F(x－1, x2－2x＋1 )÷(x＋1)．
19．（本题满分10分）
(1)解方程： EQ \F(1, x－2 )＋1＝ EQ \F(x＋1, 2x－4 )； (2)解不等式组： eq \b\lc\{(\a\al(2x－1＞1，, EQ \F( 5x＋1 ,2)≤x＋5．))
20．（本题满分5分）
某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项)，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
(1)将条形统计图补充完整；
(2)本次抽样调查的样本容量是 ；
(3)已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．
21．（本题满分6分）
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
22．（本题满分6分）
学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标(如图)，现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．
(1)请用树状涂列出所有涂色的可能结果；
(2)求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率．
23．（本题满分6分）
如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC＝FE．
(1)求证：FC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，cs∠ECF＝ EQ \F( 2 ,5)，求弦AC的长．
24．（本题满分6分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝ EQ \F( 4 ,x)在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝ EQ \F( 4 ,x)交于点P、Q，求△APQ的面积．
25．（本题满分6分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，直线OP位于一、三象限，∠AOP＝45º(如图1)，设点A关于直线OP的对称点为B．
(1)写出点B的坐标；
(2)过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转．
①如图1，当直线l顺时针旋转10º到l1的位置时，点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是 ，线段OC的长为 ；
②如图2，当直线l顺时针旋转55º到l2的位置时，点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是 ；
③直线l顺时针旋转nº(0＜n≤90)，在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为 (用含n的代数式表示)．
26．（本题满分8分）
甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5h后乙开始出发，结果比甲早1h到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系，a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：
(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；
(2)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S(km)与时间t(h)的函数图象．
27．（本题满分9分）
对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．
现有点A(2，0)和抛物线E上的点B(－1，n)，请完成下列任务：
【尝试】
(1)当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是 ；
(2)判断点A是否在抛物线E上；
(3)求n的值．
【发现】
通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是 ．
【应用1】
二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【应用2】
以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．
28．（本题满分11分）
等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)．
(1)求证：AM＝AN；
(2)设BP＝x．
①若BM＝ EQ \F( 3 ,8)，求x的值；
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2)．当x为何值时，∠BAD＝15º？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．
2024年江苏省镇江市中考数学模拟试卷
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、填空题(本大题共有12小题，每小题2分，共24分)
5. （2012江苏镇江2分）化简：= ▲ 。
【答案】。
【考点】乘法公式。
【分析】根据平方差公式或完全平方公式直接计算：
应用平方差公式：；
或应用完全平方公式：。
6. （2012江苏镇江2分）如图，∠1是Rt△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，∠1=1200，则∠2的度数是 ▲ 。
【答案】300。
【考点】平行线的性质，三角形内角定理。
【分析】∵DE∥BC（已知），∴∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）。
又∵∠1=∠A＋∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和），
∴∠1=∠A＋∠2（等量代换）。
又∵∠1=1200（已知），∠A=900（直角的定义），
∴1200=900＋∠2（等量代换）。∴∠2=1200－900=300（移项，合并）。
7. （2012江苏镇江2分）若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ▲ 。
【答案】。
【考点】圆锥的计算。
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式化计算：
∵圆锥的底面半径为3，∴圆锥的底面周长为6π。
又∵母线长为6，∴圆锥的侧面积为。
8. （2012江苏镇江2分）有一组数据：6，3，4，x，7，它们的平均数是10，则这组数据的中位数是 ▲ 。
【答案】6。
【考点】平均数，中位数。
【分析】根据平均数和中位数的计算方法作答：
∵数据：6，3，4，x，7的平均数是10，∴，解得x=30。
∴这组数据从小到大重新排列为：3，4，6，7，30。
∴这组数据的中位数是位于第3位的6。
9. （2012江苏镇江2分）写出一个你喜欢的实数k的值 ▲ ，使得反比例函数的图象在第一象限内，y随x的增大而增大。
【答案】1（答案不唯一）。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据反比例函数的性质：当时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大。因此，
若反比例函数的图象在第一象限内，y随x的增大而增大，则，即。
∴只要取的任一实数即可，如（答案不唯一）。
10. （2012江苏镇江2分）如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，，则CF的长为 ▲ 。
【答案】2。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。
∴△CEF∽△ABF。∴。
又∵，BF=BC+CF=4+ CF，∴，解得CF=2。
11. （2012江苏镇江2分）若，则的值为 ▲ 。
【答案】5。
【考点】求分式的值，完全平方公式的应用。
【分析】∵，
∴。
12. （2012江苏镇江2分）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB过点A（－4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ
的最小值为 ▲ 。
[
二、选择题(本大题共有5小题，每小题3分，共15分)
13. （2012江苏镇江3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】二次根式有意义的条件。
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即。故选A。
14. （2012江苏镇江3分）下列运算正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】同底幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂除法。
【分析】根据同底幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底幂除法运算法则逐一计算作出判断：
A.，故本选项错误；B.3x和2y不是同类项，不可以合并，故本选项错误；
C. ，故本选项正确；D. ，故本选项错误。故选C。
15.（2012江苏镇江3分）二元一次方程组的解是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】。故选B。
16. （2012江苏镇江3分）关于x的二次函数，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵，
∴它的对称轴为。
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴。故选D。
17. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。
根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。
∴AG=AH=。
又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。
∴GH=AG=AH=。EF= GH－GE－FH=。
∴第2个等边三角形的边长为。
同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。
又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，
∴第6个正六边形的边长是。故选A。
二、解答题(本大题共有11小题，，共81分)
18. （2012江苏镇江8分）（1）（2012江苏镇江4分）计算：；
【答案】解：原式=。
【考点】实数的运算，二次根式化简，特殊角的三角函数值，零指数幂。
【分析】针对二次根式化简，特殊角的三角函数值，零指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
（2）（2012江苏镇江4分）化简：。
【答案】解：原式=。
【考点】分式运算法则。
【分析】将第一个分式的分子分母因式分解，将除法转换成乘法，约分化简即可。
19. （2012江苏镇江10分）（1）（2012江苏镇江5分）解方程：；
【答案】解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得。
经检验，是原方程的解。
∴原方程的解为。
【考点】解分式方程。
【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是2（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。
（2）（2012江苏镇江5分）解不等式组：。
【答案】解：
解①得，， 解②得，。
∴原不等式组的解为。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
20. （2012江苏镇江5分）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的艺术素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一），并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请你结合图中信息解答问题。
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是 ▲ ；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的有多少人？
【答案】解：（1）∵从条形统计图和扇形统计图可知，抽取的女生中喜欢武术的有10人，占20%，
∴抽取的女生总数为10÷20%=50（人）。
∴抽取的女生中喜欢舞蹈的有50－10－16=24（人）。
据此补充条形统计图如下：
（2）100。
（3）∵抽取的学生中喜欢剪纸的有14＋16=30（人），占30÷100=30%，
∴估计该校1200名学生中喜欢剪纸的有1200×30%=360（人）。
【考点】扇形统计图，条形统计图，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。
【分析】（1）由抽取的女生中喜欢武术的人数和百分比求出总人数，从而得到抽取的女生中喜欢舞蹈的人数，据此将条形统计图补充完整。
（2）本次抽样调查的样本容量是：30＋10＋6＋24＋14＋16=100。
（3）求出抽取的学生中喜欢剪纸的点抽取的学生数的百分比，即可用样本估计总体的方法估计全校学生中喜欢剪纸的人数。
21. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。
∵E是AB的中点，∴AE=BE。
又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。
（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：
∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。
又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。
∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。
（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。
22. （2012江苏镇江6分）学校举办“大爱镇江”征文活动，小明设计了一个以三座山为背景的图标（如图），现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色。
（1）请用树状图列出所有涂色的可能结果；
（2）求这三块三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色一块红色”的概率。
【答案】解：（1）画树状图如下：
（2）从树状图可得，有涂色的可能结果有8种，所涂颜色是“两块黄色一块红色”的结果有3种，
∴所涂颜色是 “两块黄色一块红色”的概率是。
【考点】树状图法，概率。
【分析】（1）根据条件，画出树状图。
（2）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。
23. （2012江苏镇江6分）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，，求弦AC的长。
【答案】解：（1）连接OC，
∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
又∵∠FEC=∠AED（对项角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）。
又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=900（直角三角形两锐角互余）。
∴∠OCA＋∠FCE =900（等量代换），即∠OCF =900。
∴OC⊥CF（垂直定义）。
又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。
（2）连接BC。
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。
∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO
=∠FCE，
∴∠OBC=∠FCE。
又∵，∴。
又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。
在Rt△ABC中，
∴。
【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。
（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。
24. （2012江苏镇江6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线在第一象限交于点C（1，m）。
（1）求m和n的值；
（2）过x轴上的点D（3，0）作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线交于点P、Q，求
△APQ的面积。
【答案】解：（1）∵点C（1，m）在双曲线上，∴。
将点C（1，4）代入，得，解得。
（2）在中，令，得，∴A（－1，0）。
将分别代入和，得P（3，8）。Q（3，）。
∴AD=3－（－1）=4，PQ=。
∴△APQ的面积=。
【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）由已知条件，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将点C的坐标代入，求出m的值，再将C（1，4）代入即可求出n的值。
（2）求出点A、P、Q的坐标即可得到△APQ的边PQ和PQ上的高AD的长，即可求得△APQ的面积。
25. （2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
（2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。
①当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是 ▲ ，线段OC的长为 ▲ ；
②当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是 ▲ ；
③直线l顺时针旋转n0（0＜n≤900），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为
▲ （用含n的代数式表示）。
【答案】解：（1）（2，0）。
（2）①200，2；②1100；③。
26. （2012江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：
（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；
（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。
【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为（千米/小时），乙车的速度为（千米/小时）。
根据题意，得，解得a=180（千米）。
（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则，解得x=90。
经检验，x=90是方程的解并符合题意，
∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。
甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：
【考点】一次函数和方程的应用。
【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。 根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。
应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0），
由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：
。
设N（t，a），P（t＋1，a）），代入函数关系式，得
，解得。
（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程求解）。
应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为。
若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为（小时）。
∴甲车返回时的速度为180÷2=90（千米/小时）。
根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。
27. （2012江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 ▲ 。
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值。
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 ▲ 。
【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；
【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。
【答案】解：【尝试】（1）（1，－2）。
（2）点A在抛物线E上，理由如下：
将x=2代入得y=0。
∴点A在抛物线E上。
（3）将（－1，n）代入得
。
【发现】A（2，0）和B（－1，6）。
【应用1】不是。
∵将x=－1代入，得，
∴二次函数的图象不经过点B。
∴二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。
【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。
易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，
则，即，得。
∴C1（0，）。
易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=。∴D1（3，）。
易得△OAD2∽GAD1，则，
由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。∴D2（0，－1）。
易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2（－3，5）。
∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。
当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；
当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；
当抛物线经过A、B、C2时，将C2（－3，5）代入得；
当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，－1）代入得。
∴满足条件的所有t值为，，，。
【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。
【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）。
（2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。
（3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，n）代入函数关系式即可求得n的值。
【发现】由（1）可得。
【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。
【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。
28. （2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，BM=，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，
∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。
解得x=或x=。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN，∴。
∴。
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，
∴PS=BPsin600=x，BS=BPcs600=x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时，S的最小值为。
③连接PG，设DE交AP于点O。
若∠BAD=150，
∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。
∵△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。
∴∠PGA =900。
设BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。
∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。
∴当BP=2－2时，∠BAD=150。
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。
∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。
设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。
又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，
HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。
∵，
，
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，
用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。