2023~2024学年广东省揭阳市揭西县高二上期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省揭阳市揭西县高二上期末数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对A，，则，所以.
故选：D.
2. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】斜率，∴倾斜角．
故选：A．
3. 图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，且都是直角三角形，所以，且，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
由.
故选：B．
4. 若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，
所以椭圆离心率.
故选：C
5. 已知，，点P在x轴上，则使取得最小值的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为关于x轴的对称点为，
所以所在的直线方程为，
即，
令得，所以.
故选：B
6. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】圆的方程，
圆心，半径，
圆心到直线的距离，
根据弦长公式可知，解得：.
故选：B
7. 以下四个命题中，正确的是（ ）
A. 向量与向量平行
B. 为直角三角形的充要条件是
C.
D. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底
【答案】D
【解析】因为为空间的一个基底，设，
即，无解，
所以，，不共面，则，，构成空间的另一基底，故D正确；
因为，所以和不平行，故A错误；
为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是，所以无法推出，故B错误；
，当时，，故C错误.
故选：D.
8. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】D
【解析】可化为①，
要使与两坐标轴能围成三角形，则且，
由①令得；
令得，
依题意，
，所以或,
所以或，
设，则或，
则或
解得或，
即或，
即或，
所以这样的直线有条.
故选：D
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 已知等比数列是递增数列，是其公比，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由题意知，
递增的等比数列包括两种情况：时或时.
故，，
故选：BD
10. 已知实数满足圆的方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆心，半径为
B. 过点作圆的切线，则切线方程为
C. 的最大值是
D. 的最大值是4
【答案】BD
【解析】对选项A：，即，圆心为，半径为，错误；
对选项B：在圆上，则和圆心均在轴上，故切线与轴垂直，为，
正确；
对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：
当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，
故此时斜率最大为，错误；
对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，
正确；故选：BD
11. 定义，设，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最大值，无最小值B. 当，的最大值为1
C. 不等式的解集为D. 的单调递减区间为
【答案】BCD
【解析】由题意得，作出函数的图象，如图所示，

根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误；
根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确；
由得，，解得：，结合图象，得不等式的解集为，所以C正确；
由图象得，的单调递减区间为，所以D正确.
故选：BCD.
12. 已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（ ）
A. 所得的截面可以是五边形B. 所得的截面可以是六边形
C. 该截面的面积可以为D. 所得的截面可以是菱形
【答案】BCD
【解析】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入，
不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况，
第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图，

直线与相交于点，直线与相交于点，
由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形.
第二种情况，如图，

直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点，
易知所得截面为六边形，A错误，B正确.
当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确.
当截面为平行四边形时，由对称性可知，
若四边形为菱形，则，
可得，可得，
可得或，可得或，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 已知圆，圆，若圆与圆相外切，则________.
【答案】
【解析】由题意知，，
所以，
因为两圆外切，所以，解得.
故答案为：2.
14. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为_________尺.
【答案】12.5
【解析】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这12个节气的日影长依次成等差数列，
由题意知，，解得，
所以立春的日影长为尺
故答案为：12.5
15. 函数,的部分图象如图所示,则______．
【答案】0
【解析】由图象可知，函数的周期T＝8，
所以，故，
因为，，
所以．
故答案为：0.
16. 双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分,如图②,其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，，则该双曲线的离心率为___________．
【答案】
【解析】由题可知共线，共线，
设，，则，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因为，故解得，
则，
在中，，即，
所以．
故答案为：．
四、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，内角所对的边分别为.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
解：（1）由，得，
在中，，
在中，.
（2），
由余弦定理得，
，，
的周长为.
18. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
解：（1）设C的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以C的方程为．
（2）设，代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则l的斜率，
所以l的方程为，
即．
19. 如图,在直三棱柱中,，E为的中点，.
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
,平面
且,
所以平面,
又因为平面,所以.
（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为
,
所以 即 令则，
所以
因为平面,所以为平面的一个法向量，
所以, ,
即二面角的余弦值等于.
20. 已知各项均不为零的数列满足，且.
（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（2）令为数列的前项和，求.
解：（1）由，
得，
又，
是首项为5，公差为3的等差数列.
，故.
（2）由（1）知，
所以①
②，
①-②得：
，
.
21. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（3）采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.
解：（1）由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，.
由，得
（2）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.
因为前5组频率和为，前4组频率和为，所以
由，得.
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.
（3）由题意得，周末阅读时间在中的人分别有15人､20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人､4人，分别记作及.
从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间，，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，
抽取的2人在同一组包含的样本点有，共9个，
故所求概率.
22. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
解：（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为.
联立抛物线与直线的方程可得，
.
设，，由韦达定理可得，
则，所以.
所以，抛物线的方程为，准线方程为.
（2）设直线，
联立直线与抛物线的方程可得，.
所以，，.
又，，所以.
同理可得.
设圆上任意一点为，
则由可得，
圆的方程为，
整理可得，.
令，可得或，
所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或.