2023~2024学年广东省揭阳市普宁市高二(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年广东省揭阳市普宁市高二(上)期末数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1. 已知椭圆，则它的短轴长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，
故选：B
2. 已知直线m经过，两点，则直线m的斜率为（ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】A
【解析】直线的斜率为：.
故选：A
3. 已知空间向量，，则（ ）
A. B. 19C. 17D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，故，
故选：D.
4. 在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（ ）
A. 12B. 32C. 36D. 37
【答案】C
【解析】数列的前6项之和为.
故选：C.
5. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujl提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近的一支，
因为，当且仅当三点共线时，取等号，
所以,所以，
所以震中到地震台站的距离至少为.
故选：A
6. 已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】D
【解析】因为圆和存在公共点，
所以两圆相交或者相内切或者相外切，
即，
解得，选项ABC满足，m的值不能为D.
故选：D
7. 如图，在四面体中，是的中点,设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
，
．
故选：B．
8. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在,则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则数列是无界的
B. 若，则数列是有界的
C. 若，则数列是有界的
D. 若，则数列是有界的
【答案】C
【解析】对于A，恒成立，
存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，A错误；
对于B，，
，，
即随着的增大，不存在正数，使得恒成立，
数列是无界的，B错误；
对于C，当偶数时，；当为奇数时，；
，存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，C正确；
对于D，，
；
在上单调递增，，
不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为向量，所以，
所以与同向共线的单位向量为：，
故选：C.
10. 已知数列满足，，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由题意可得，
所以，所以A错误，B正确；
又，
故，即，
所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，
故选：BC.
11. 已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在，使得的倾斜角为
B. 存在，使得的倾斜角为
C. 存在，使直线与圆相离
D. 对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短
【答案】AD
【解析】对于A中，当时，直线，此时直线的倾斜角为，所以A正确；
对于B中，当时，可得直线的斜率为，
若直线的倾斜角为，可得，即，此时方程无解，所以B错误；
对于C中，由直线，可化为，
令，解得，即直线恒经过点，
又由圆圆心坐标为，半径为，
因为，则，所以点在圆内部，
所以无论为何值，直线与圆总相交，所以C错误；
对于D中，当时，直线，此时直线的斜率为，
又由，此时，
即，
根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D正确.
故选：AD.
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 若，且，则
C. 分别以线段、为直径的两个圆内切
D.
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设点，则，
因为、，所以，
由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对；
对于B选项，因为，所以，
根据双曲线的定义可得，
又因为，所以，整理得.
由，可得，
即，解得，B错；
对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点，
所以，

则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对；
对于D，当点在第一象限时，设点，则，.
因为渐近线方程为，
所以，.
当时，即当轴时，则，
所以，，可得，所以，，
此时，为等腰直角三角形，则，满足；
当时，，，
所以
，
因为，所以；
当点在第四象限时，同理可得，
综上可知，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与直线平行，则___________.
【答案】
【解析】由题意得：，解得：，经检验符合要求.故答案为：
14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则___________．
【答案】
【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以双曲线的方程可设为，即，
因为，
所以，解得（负值舍去），
所以.故答案为：.
15. 已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，，
所以前4 项都满足的一个通项公式为.
故答案为：
16. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点,,,,若，则_________．
【答案】
【解析】设,如下图所示，建立空间直角坐标系， ，，，，，则
所以
又因为
所以
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线和直线．
（1）若时，求a的值；
（2）当平行，求两直线，的距离．
解：（1）∵，且，
∴，
解得．
（2）∵，，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为．
18. 已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．
（1）求r的值；
（2）若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．
解：（1）在中，令，得，故.
因为圆O：经过点A，所以，解得.
（2）直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.
所以直线的方程为，即.
圆心到直线的距离为，
所以.
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求三棱锥M﹣ACP体积．
解：（1）由题意得四边形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC
（2）过点A作AE⊥BC于E，易知E为BC中点，以A为原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，.
则
设，.显然，是平面ACD的一个法向量，
设平面MAC的一个法向量为.则有，
取，解得
由二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，
有，
解得，所以M为PD中点.
所以
20. 已知数列的前项和为..
（1）求数列的通项公式；
（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①，；②是和的等比中项,.若公差不为0的等差数列的前项和为，且______，求数列的前项和.
解：（1）当时，，可得；
当时，，所以，即，
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）设数列的公差为，
若选择①，由题意，解得；
所以，
由（1）得，，
所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以；
若选择②，有，即，即，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
由（1）得，，所以，
所以，
.
两式相减，得
，
所以.
21. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）求的值；
（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值．
解：（1）将代入抛物线，解得：.
（2），在抛物线C上，
故，
，解得：或2，
因，所以，即，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
22. 已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值．
解：（1）圆：的圆心，半径为8，
因A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，
于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，
长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，
所以P点的轨迹C的方程是.
（2）因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，
则直线的斜率存在且不为0，
又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，
直线的方程为：，
即，
由消去y并整理得：，
，即，
则有且，
设，则，
直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，
，
所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.