2024-2025学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(2,1,−3)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则x的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
2.设a为实数，若直线ax−4y+3=0与x−2y+1=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 3 510
3.加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有( )种加工方法．
A. 24B. 32C. 48D. 64
4.已知抛物线x2=4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|=3，则点M到y轴的距离为( )
A. 4B. 2 3C. 2 2D. 3
5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )
A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种
6.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱AB的中点，F为线段CC1上的一点，且A1C⊥EF，则直线BF与直线A1C所成角的余弦值为( )
A. 315B. 615C. 15D. 1515
7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 3，则p=( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
8.已知点P为椭圆C：x24+y23=1上第一象限的一点，左、右焦点为F1，F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，过点F1作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若|OH|=12，则△F1PF2面积为( )
A. 3B. 3 3C. 32D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于二项式(1x2−2x)6的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式的所有项系数和为64B. 展开式的第4项二项式系数最大
C. 展开式中不含x3项D. 展开式的常数项为240
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，F是线段AD1的中点，E是线段AC上的动点，下列结论正确的是( )
A. CF=−AB−12AD+12AA1
B. 三棱锥C1−EA1D1的体积为定值13
C. 直线A1B与平面B1EC所成角的正弦值为 63
D. 直线DB1与直线A1E所成角的余弦值的取值范围为[13, 33]
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(−1,0)，B(3,0).动点P满足|PA||PB|=13，设动点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是( )
A. C的方程为x2+y2+3x=0
B. C关于直线x+y−2=0对称的曲线方程为(x−2)2+(y−72)2=94
C. 在C上存在点D，使得D到点(52,3)的距离为3
D. 若E(0,6)，F(2,2)，则在C上不存在点M，使得|ME|=|MF|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如表是某单位1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y =x+3.05，则表中a的值为______．
13.若(1−ax)(2+x)4(a∈R)的展开式中x3的系数为−40，则a的值为______．
14.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足F2Q=3F1P，且|F2Q|=|F2P|，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆心为M(−2,−1)的圆经过点(1,3)，直线l：x+my+m=0．
(1)求圆M的方程；
(2)写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长．
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC=1，AA1=2．
(1)求证：A1C⊥平面ABC；
(2)若直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 34，求二面角A1−BB1−C的余弦值．
17.(本小题15分)
一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：
经计算得：x−=16i=16xi=26，y−=16i=16yi=33，i=16(xi−x−)(yi−y−)=557，i=16(xi−x−)2=84，i=16(yi−y−)2=3930，线性回归模型的残差平方和i=16(yi−y​i)2=236.64，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．
(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y​=b​x+a​(精确到0.1)；
(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y =，且相关指数R2=0.9522．
(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)．
附：一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归直线y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘估计为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−；相关指数R2=1−i=1n(yi−y​i)2i=1n(yi−y−)2．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2 3，离心率为12．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0,1)的直线l交E于M，N两点，
①若NP=3PM，求直线l的方程；
②若点A(1,1)，求△AMN的面积的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=2 2，PA=1，AB⊥BC，E，F分别为PD，BC的中点．
(1)求证：EF//平面PAB；
(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP的值，若不存在，说明理由；
(3)在平面PBC内是否存在点H，满足HD⋅HA=0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.C
8.C
9.BD
10.ACD
11.ABD
12.6.2
13.2
14. 102
15.解：(1)∵圆M的半径r= (1+2)2+(3+1)2=5，
∴圆M的方程为(x+2)2+(y+1)2=25；
(2)∵直线l的方程为x+my+m=0，∴x+m(y+1)=0，
令x=0y+1=0，解得：x=0y=−1，∴定点Q的坐标为(0,−1)，
∵(0+2)2+(−1+1)2=4