2024-2025学年广东省广州市八区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市八区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x>1}，B={y|−1≤y≤3}，则A∩B=
A. (1,3]B. ⌀C. [−1,3)D. [−1,1]
2.命题“∃x∈R，x2−2x+1≤0”的否定为
A. ∀x∈R，x2−2x+1≤0B. ∀x∈R，x2−2x+1>0
C. ∃x∈R，x2−2x+1≥0D. ∃x∈R，x2−2x+1>0
3.已知a>b>0，cbcB. cab>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知α∈(0,π)，sinα+csα=m，则
A. 若m=1，则csα=0B. 若m=15，则csα=−35
C. 若m=12，则sinα−csα= 72D. m∈(− 2, 2)
10.已知函数f(x)=sin12x+π3，则
A. ∀x∈R，f(x+2π)=f(x)
B. f(x)在−5π3,π3上单调递增
C. f(x)>12的解集是2kπ−π3,2kπ+π，k∈Z
D. 曲线y=f(x)的对称中心为2kπ−2π3,0，k∈Z
11.“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y).已知关于实数x，y的二元函数f(x,y)=(x+1)y，则
A. f(1,5)=f(5,1)
B. ∀x>0，y>0，f(x,y)f1x,1y≥4
C. ∀x∈R，f(2x,x−a)≥−a−2，则实数a的取值范围是−32,52
D. ∃x≥2，f(2x,x−a)≤−a−2，则实数a的取值范围是[3,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值：3(−8)2−2130= ；259−12−lg5100= ．
13.若函数f(x)=x−1, x⩽k,x2−x, x>k,在R上是增函数，则实数k的取值范围是__________．
14.方程sinx=cs 2x在[0,3π]上的实数解之和为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α的终边过点P(−3,4)．
(1)求csα+3π2+sinπ2+αsin(2π−α)−cs(π−α)的值；
(2)若角α的终边按逆时针方向旋转π4得到角β，求csβ．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+bx−3，且满足f(x)=f(2−x)
(1)求b的值；
(2)求函数y=f(lg2x)的零点；
(3)解关于x的不等式f(x)>ax−2a−3(a∈R).
17.(本小题15分)
某地区上年度电价为0.8元/(kW⋅h)，年用电量为akW⋅ℎ，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW⋅h)至0.75元/(kW⋅h)之间，而用户期望的电价为0.4元/(kW⋅h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW⋅h)．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/(kW⋅h))的函数解析式；(收益=实际电量×(实际电价−成本价))
(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％？
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x2x−1+a的图象过点2,43．
(1)求a的值，判断函数f(x)的单调性并根据定义证明；
(2)证明：f(x)的图象关于点(1,1)对称；
(3)任取x1，x2∈R，且x1+x2>2，恒有f(x1)+f(x2)−m2+m>0成立，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
若一个集合含有n个元素(n≥2,n∈N)，且这n个元素之和等于这n个元素之积，则称该集合为n元“完美集”．
(1)写出一个2元“完美集”(无需写出求解过程)；
(2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；
(3)记|A|为集合A中元素的个数．若集合A是元素均为正整数的“完美集”，求|A|的最大值．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.ABC
10.BD
11.BCD
12.2；15
13.[12,+∞)
14.15π2
15.解：由已知角α的终边过点P(−3,4)，
则有csα=−35，sinα=45．
(1)cs(α+3π2)+sin(π2+α)sin(2π−α)−cs(π−α)=sinα+csα−sinα+csα
=45+(−35)−45+(−35)=−17．
(2)易得β=α+π4，
所以csβ=cs(α+π4)
=csαcsπ4−sinαsinπ4
= 22(csα−sinα)
=−7 210．
综上，csβ=−7 210．
16.解：(1)由已知函数f(x)关于直线x=1对称，∴−b2=1，b=−2；
(2)x>0由f(x)=x2−2x−3，
则f(lg2x)=(lg2x)2−2(lg2x)−3=(lg2x+1)(lg2x−3)=0，
所以lg2x=−1或lg2x=3，解得x=12或x=8，
所以函数y=f(lg2x)的零点为12或8;
(3)原不等式等价于x2−2x−3>ax−2a−3，
即x2−(2+a)x+2a>0，即(x−a)(x−2)>0，
对应的函数图像为开口向上的抛物线，与x轴交点的横坐标为a和2，
若a=2，此时不等式的解集为{x|x≠a}，
若a>2，此一元二次不等式的解集为{x|xa}，
若a2时，{x|xa}，
当af(x1)，所以f(x)在R上为单调增函数．
(2)f(x)=2x2x−1+1=2×(2x−1+1)−22x−1+1=−22x−1+1+2，
记g(x)=f(x+1)−1=−22x+1+1=2x−12x+1，
则对任意的x∈R，恒有g(x)+g(−x)=2x−12x+1+1−2x2x+1=0，
所以函数g(x)为奇函数，也即g(x)=f(x+1)−1为奇函数，
从而可得f(x)=g(x−1)+1图象关于(1,1)对称；
(3)由于f(x)=2x2x−1+1为定义在R上的单调递增函数，
当x1+x2>2时，x1>2−x2，
则f(x1)>f(2−x2)，又f(x)图像关于点(1,1)对称，f(x)+f(2−x)=2，
故f(x1)+f(x2)>f(2−x2)+f(x2)=2.则f(x1)+f(x2)−m2+m>0恒成立，有2≥m2−m恒成立，
所以m∈[−1,2]．
19.解：(1)设一个2元“完美集”为x,y(x≠y)，则x+y=xy，
由于32+3=32×3=92，所以一个2元“完美集”可以是32,3．
(2)由已知2元“完美集”x,y(x≠y)，满足x+y=xy，
若x>0，y>0，则xy>2 xy即 xy( xy−2)>0，故 xy4．
所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；
(3)设3元“完美集”为{x,y,z}，其中x，y，z都是正整数，且两两不相等，
根据集合中元素的互异性和无序性，不妨设x