2024-2025学年广东省佛山市高二上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省佛山市高二上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(1,y1)，B(2,y2)在斜率为 3的直线l上，则y2−y1=( )
A. − 3B. − 33C. 33D. 3
2.抛物线x2+8y=0的焦点到准线的距离为
A. 2B. 4C. 8D. 16
3.已知双曲线的一条渐近线方程是y=2x，虚轴的一个端点坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A. x2−y24=1B. x24−y2=1C. x24−y216=1D. x216−y24=1
4.下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是
A. x23+y22=1B. x24+y23=1C. x23+y24=1D. x24+y25=1
5.已知数列{an}的通项公式为an=n2+kn，若{an}是递增数列，则实数k的取值范围为
A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. (−3,+∞)D. (−∞,−3)
6.甲乙两名同学参加羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制．现通过设计模拟实验估算概率，用1，3，5表示一局比赛甲获胜，用2，4表示一局比赛乙获胜．利用计算机产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 254
由此估计甲赢得比赛的概率为( )
A. 0.6B. 0.65C. 0.7D. 0.75
7.已知圆O1和圆O2都和x轴正半轴相切，且圆心都在直线y=x上，半径之差为4，则|O1O2|=
A. 4 2B. 4 3C. 6 2D. 6 3
8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是3，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，则MN的最小值为
A. 2B. 3C. 3 22D. 2 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次反面朝上”，则
A. A与B互斥B. A与B相互独立C. A与B相等D. P(A)=P(B)
10.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A，B的动点，PA⊥平面ABC，M为PA的中点，且PA=3，AB= 7，则
A. BC的长等于点B到直线PC的距离
B. ∠ACB为二面角A−PC−B的平面角
C. 当AC= 3时，BP与平面PAC所成角为30°
D. 过M作平面α/​/平面ABC，则平面α与PC交点的轨迹为椭圆
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)和椭圆Γ：x2a2+y2a2−1=1(a>1)有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与Γ交于P，Q两点，则
A. 存在a1，使四边形PQNM为正方形
C. 任意a>1，点M总在圆F：(x−1)2+y2=1外
D. 任意a>2，椭圆上任一点总在圆F：(x−1)2+y2=1外
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系Oxyz中，平面α的法向量n=(1,2,2)，点P(3,4,5)在α内，则原点O到α的距离为__________．
13.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2作斜率为2 2的直线与C的右支交于点P，若△F1PF2是以PF2为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为__________．
14.已知点P(1,− 3)关于直线y=kx的对称点在圆C：x2+(y−4)2=4上，则k=__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知A(−2,4)，B(5,5)，C(6,−2)是圆P上的三点，D(−1,5)．
(1)判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由；
(2)过点D的直线l被圆P截得的弦长为8，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=π3，AC∩BD=O，DF⊥平面ABCD，DF/​/BE，BE=2DF= 6．
(1)求证：OF⊥平面EAC；
(2)求平面AEF与平面CEF夹角的大小．
17.(本小题15分)
甲同学参加立定投篮训练活动．规则如下：每投中一球得1分，投不进得−1分．已知甲每次的投篮命中率为12，前6次投篮全部命中，各次投篮结果相互独立．
(1)求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率．
(2)若甲最多有10次投篮机会，得分不少于7分则为优秀．为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？
18.(本小题17分)
已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l：y=kx+b，其中k≥b≥12，直线l与抛物线有且只有一个公共点P，直线PF交抛物线于另一个点Q．
(1)当k=b时，求|PQ|的值；
(2)求△OPQ面积的取值范围．
19.(本小题17分)
已知长为3的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且BP=2PA．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)记F(1,0)，动点P的轨迹为曲线C，过点D(4,0)的直线交曲线C于M、N两点，分别过点M、F作y轴和x轴的垂线交于点Q，求证直线QN恒过定点，并求该定点坐标．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.BD
10.AC
11.ACD
12.7
13.3
14.2− 3
15.解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将A，B，C三点的坐标代入，得20−2D+4E+F=050+5D+5E+F=040+6D−2E+F=0,
解得D=−4E=−2F=−20,
所以圆P的方程为x2+y2−4x−2y−20=0，
将D(−1,5)代入得1+25+4−10−20=0，
所以点D在圆P上，
所以A，B，C，D四点共圆；
(2)由(1)知圆P的方程为x−22+(y−1)2=25，圆心P(2,1)，半径r=5，
设直线被圆P截得的弦长为l，则(l2)2+d2=r2，
即42+d2=25，
所以d=3，
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=−1，此时圆心P(2,1)到直线l的距离为3，满足题意;
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0，
则圆心P到直线l的距离d=|3k+4| k2+1=3，解得k=−724，
所以直线l的方程为−724x−y−724+5=0，即7x+24y−113=0．
综上，直线l的方程为x=−1或7x+24y−113=0．
16.(1)证明：由题意，△FAD≌△FCD，
所以FA=FC．
因为平面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，
所以O是AC的中点，
所以OF⊥AC，
在梯形BDFE中，因为DF⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，所以DF⊥BD，
因为DF/​/BE，BE⊥BD，
BE=2DF= 6，OB=OD= 3，
得OE=3，OF=3 22，EF=3 62，
所以EF2=OE2+OF2，
所以OF⊥EO，
因为AC∩EO=O，AC，EO在平面EAC内，
所以OF⊥平面EAC；
(2)解：以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过点O作DF的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,−1,0)，C(0,1,0)，E( 3,0, 6)，F(− 3,0, 62)，
所以AE=( 3,1, 6)，AF=(− 3,1, 62)，
设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅AE=0n⋅AF=0，得 3x+y+ 6z=0− 3x+y+ 62z=0，
取x=1，可得n=(1,3 3,−2 2)，
同理可得平面CEF的一个法向量为m=(1,−3 3,−2 2)，
所以cs=m⋅n|m||n|=−12，
故平面AEF与平面CEF的夹角为60∘．

17.解：(1)依题意，记Ai=“接下来第i次投中”，i=1，2，3，4，
B=“甲投完第8次球后甲得分为6分”，
则B=A1A2∪A1A2，且A1A2与A1A2互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义，
得P(B)=P(A1A2∪A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)
=12×12+12×12=12
(2)记C=“甲再投一次优秀”，则C=A1，故P(C)=P(A1)=12，
记D=“甲再投两次优秀”，则D=A1A2，
故P(D)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=(12)2=14，
记E=“甲再投三次优秀”，则E=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3，
则P(E)=P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
=(12)3+3(12)3=12，
记F=“甲再投四次优秀”，
则F=A1A2A3A4∪A1A2A3A4∪A1A2A3A4
∪A1A2A3A4∪A1A2A3A4，
P(F)=P(A1A2A3A4∪A1A2A3A4∪A1A2A3A4
∪A1A2A3A4∪A1A2A3A4)
=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)
+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)
=(12)4+4(12)4=516，
故P(C)=P(E)>P(F)>P(D)，
因此应该选择投篮7次或9次．
18.解：(1)当k=b时，由l：y=kx+k，与y2=4x联立，
消去y，整理可得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，
因为直线l与抛物线有且只有一个公共点P，
所以Δ=(2k2−4)2−4k4=0，解得k2=1．
因为k≥b≥12，所以k=1，得P(1,2)．
注意到点F坐标为(1,0)，所以PF⊥x轴，点Q坐标为(1,−2)，
故弦长|PQ|=4．
(2)由l：y=kx+b，与y2=4x联立，
消去y，整理可得k2x2+(2kb−4)x+b2=0，
因为直线l与抛物线有且只有一个公共点P，
所以Δ=(2kb−4)2−4k2b2=0，
所以kb=1，P(1k2,2k).
当k≠1时，
则直线PQ的方程为y=2k1k2−1(x−1)，即y=2k1−k2(x−1)，
与y2=4x联立，
消去y，整理可得k2x2−(k4+1)x+k2=0，
设Q的坐标为(xQ,yQ)，
则1k2·xQ=1，所以xQ=k2，
所以Q的纵坐标为yQ=2k1−k2(k2−1)=−2k，
所以△OPQ面积为12×1×2k+2k=1k+k，
因为kb=1，且k≥b≥12，故k∈(1,2]，
从而k+1k∈(2,52].
所以△OPQ面积的取值范围为[2,52]．
当k=1时，由(1)得P(1,2)，Q(1,−2)，
所以S△OPQ=12×1×4=2．
19.解：(1)由题可设A(a,0)，B(0,b)，P(x,y)，
因为BP=2PA，所以(x,y−b)=2(a−x,−y)，则x=2(a−x)y−b=−2y，
解得a=3x2，b=3y，
又|AB|=3，可得a2+b2=9，即(3x2)2+(3y)2=9，化简得x24+y2=1，
所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1．
(2) ①当直线MN不垂直y轴时，
由题可设直线MN的方程为x=my+4(m≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+4x24+y2=1′消去x得，(my+4)24+y2=1，整理可得(m2+4)y2+8my+12=0．
则Δ=(8m)2−4×12×(m2+4)=16m2−192>0，可得m>2 3或m