广东省佛山市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试卷(含答案)

这是一份广东省佛山市2024届高三上学期教学质量检测（一）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.R
2．复数( )
A.B.iC.D.
3．已知双曲线E的实轴长为8，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
4．已知为奇函数，则在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．设抛物线的焦点为F，准线为l，M是C上一点，N是l与x轴的交点，若，，则( )
A.B.2C.D.4
6．若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件A，B相互独立，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7．对于任意非零向量，，，若，在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
8．2023年中央金融工作会议于10月30日至31日在北京举行，会议强调坚持把金融服务实体经济作为根本宗旨.现有某高新企业向金融机构申请到一笔800万元专项扶持贷款资金，该贷款资金分12期发放完毕，考虑到企业盈利状况将逐步改善，前11期放款金额逐期等额递减发放，每期递减10万元，第12期资金不超过10万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数，则第1期和第12期放款金额之和为( )
A.128B.130C.132D.134
二、多项选择题
9．已知角的终边过点，则( )
A.B.C.D.
10．在正方体中，点E、F分别是和的中点，则( )
A.B.与所成角为
C.平面D.与平面所成角为
11．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据( )
A.极差不变的概率是
B.第25百分位数不变的概率是
C.平均值变大的概率是
D.方差变大的概率是
12．已知有两个不同的极值点，，则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．在（其中，）的展开式中，x的系数为，各项系数之和为，则__________.
14．在正三棱台中，，，其外接球半径为，则该棱台的高可以为__________.
15．若A，B分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________.
16．已知中，，边上的高与边上的中线相等，则__________.
四、解答题
17．如图，直三棱柱中，，，，.过点A，，的平面和平面的交线记作l.
（1）证明：；
（2）求顶点到直线l的距离.
18．高中进行体育与健康学业水平测试，有利于提升学生身体素质和健康水平，培养学生创新精神和实践能力.某学校对高三年级学生报名参加体育与健康学业水平测试项目的情况进行了普查，全年级1070名学生中有280名报名参加羽毛球项目，其中530名女生中有64名报名参加羽毛球项目.
（1）从该校高三年级中任选一名学生，设事件A表示“选到的学生是女生”，事件B表示“选到的学生报名参加羽毛球项目”，比较和的大小，并说明其意义；
（2）某同学在该校的运动场上随机调查了50名高三学生的报名情况，整理得到如下列联表：
根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联？得到的结论与第（1）问结论一致吗？如果不一致，你认为原因可能是什么？
附：
19．记为数列的前n项和，且满足.
（1）试问数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）若，求的通项公式.
20．已知椭圆的离心率为，直线与交于A，B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若，求面积取得最大值时椭圆的方程.
21．记T为函数的最小正周期，其中，，且，直线为曲线的对称轴.
（1）求；
（2）若在区间上的值域为，求的解析式.
22．已知，，其中.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明：当时，.
参考答案
1．答案：C
解析：由于，，
故，，
所以，
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意得，.
故选：B.
3．答案：B
解析：椭圆的焦点在y轴上，其中，，，
所以焦点坐标为和，
双曲线的焦点为和，即，实轴长，则，
那么，
所以双曲线E的渐近线方程为，即.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为
，
所以，
因为为奇函数，所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，，
所以在处的切线方程为，即.
故选：A.
5．答案：D
解析：如图所示，作，
由抛物线定义可知，，
在中，，
则在抛物线上，
所以，即，则.
故选：D.
6．答案：A
解析：若，，则，
而，，
所以，所以事件A，B相互独立，
反过来，当，，
此时，，满足，
事件A，B相互独立，所以不一定，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
7．答案：D
解析：由题意得，在上的投影为，
同理，在上的投影为，
因为任意非零向量，在上的投影向量互为相反向量，
所以，在上的投影互为相反数，
所以，则，即.
故选：D.
8．答案：B
解析：设第一期发放x万元，第二期发放万元，第三期发放万元，依次类推，第11期发放万元，
前11期共发放万元，
则，解得：，，
所以，
则第12期发放数为万元，
所以第1期和第12期共发放万元.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：因为角的终边过点，
所以，，，
所以，
，故A和B正确，
因为，
所以，即角的终边位于第一象限或第三象限，
所以，但或均满足题意，故C错误，
由，得，
解得（舍去）或，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：如图，以D为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，，，，，，
故，，
则，故，不垂直，
即，不垂直，A错误；
又，故，
由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，
故与所成角为，B正确；
由A的分析可知，不垂直，又，，
即四边形为平行四边形，则，
故，不垂直，
若平面，平面，则，
这与，不垂直矛盾，故和平面不垂直，C错误；
平面的法向量可取为，
则，而线面角范围为大于等于小于等于，
故与平面所成角的正弦值为，则与平面所成角为，D正确，
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：由题意得，，，，
，，，
对于A，若极差不变，则，1，2，3，4，概率为，故A正确；
对于B，由于，，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以，2，3，4，5，第25百分位数不变的概率是，故B错误；
对于C，原样本平均值为，平均值变大，则，4，5，概率为，故C正确；
对于D，原样本的方差为，
显然，当时，新数据方差变小，当，4，5时，新数据方差变大，
当时，新数据的平均数为，
方差为，
同理，当时，新数据的方差为，
所以方差变大的概率为，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：BCD
解析：由题意，得，
由于有两个不同的极值点，，
即有2个正数根，，则，，
故需满足，解得，
对于A，，A错误；
对于B，，故，
令，，，，
即在上单调递减，故，
即，B正确；
对于C，
，C正确；
对于D，
，
可看作曲线上两点，连线的斜率，
由于，，故不妨设，，
由于，，则曲线在处的切线斜率为1，
由于，故，连线的斜率小于1，即，
所以，即，D正确，
故选：BCD.
13．答案：5
解析：由题意得的展开式中x的系数为，即，
令，得各项系数之和为，则n为奇数，且，
即得，，
故答案为：5.
14．答案：1（或填3）
解析：设为正三棱台的上底面的中心，O为下底面的中心，
连接，即为棱台的高，
连接并延长交BC于D，则D为BC的中点，连接并延长交于，则为的中点，
，
设外接球球心为E，则E点位于直线上，
则在中，，
在中，，
故当外接球球心在正棱台内时，其高为；
当外接球球心在正棱台外时，其高为；
故该棱台的高可以为3或1，
故答案为：1（或填3）.
15．答案：
解析：设圆圆心为M，如下图所示，
由题意可知，取得最小值时，取得最小值，
当垂直于曲线在点A处的切线时，最小，
设，则对求导得，
所以，即，
由于时满足上式，且在单调递增，
所以有唯一解，
所以，此时，所以，
故答案为：.
16．答案：
解析：如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，
在中，，所以，
由，平方得，
代入得，，
化简得，，解得，
又因为，所以，所以.
故答案为：.
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）证明：由题知，平面，平面，
所以平面，又因为平面平面，
平面，所以.
（2）作交直线l于点E，连接，因为是直三棱柱，
所以平面，平面，所以，
又因为，且，，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以就是点到直线l的距离，
作交于点D，因为，，所以，
又因为，所以四边形是矩形，所以，
在，，，所以，
在，，
所以点到直线l的距离为.
18．答案：（1），，，意义见解析
（2）不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，结论不一致，原因见解析
解析：（1）由题意得，，，，，
所以，，
则，
意义为女生想要报名参加羽毛球项目的人数比男生想要报名参加羽毛球项目的人数少
（2）提出假设该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况无关，
则，
所以根据小概率值的独立性检验，不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，
得到的结论与第（1）问结论不一致，可能原因是调查的50名高三学生样本容量小，结论具有随机性.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由已知，得，
整理为，
若，则，，此时数列不是等比数列，
若，若，则，与矛盾，所以，
则，数列是公比为2的等比数列；
综上可知，当，数列不是等比数列，
当，数列是公比为2的等比数列；
（2）若，数列的首项为，
所以，①
当时，，②
①-②得，即，
则，得，
所以，得，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为椭圆的离心率，所以，
所以椭圆，
联立，得，
因为直线与交于A，B两点，
所以，
即，则得证.
（2）设，，由题意知，
由（1）得，，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
因为，
，
代入上式得，，
化简得，，即，
因为
，
点O到直线的距离，
显然，若A，O，B三点能构成三角形，则，
所以面积，
当且仅当，即时等号成立，面积取得最大值，
此时，由，得，解得，则，
所以面积取得最大值时椭圆的方程为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知T为函数的最小正周期，故，，
由得，而，故或；
又直线为曲线的对称轴，即，
则，结合，可知；
（2）由（1）可知，在区间上的值域为，
可知区间的长度小于一个周期，即，，
由，得，
①若，则，即，，
则，此时，函数最大值为1，不符合题意；
②若，则，即，，
则或，
当时，，函数取不到最大值，不符合题意，
当时，，函数最大值为1，不符合题意；
③若，则或，，
则，，或，，则，
此时，函数取不到最小值，不符合题意；
④若，则或，，
则，或，，则或或，
当时，，能满足题意，此时；
当时，，函数最大值为1，不符合题意，
当时，由上面分析可知不符合题意，
综合以上可知.
22．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由，得，
当时，，在单调递增；
当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减.
综上所述，当时，增区间为，无减区间，当时，增区间为，减区间为.
（2）因为，，所以，，
要证，即证，
即证，即证，
设，
则，
令，
则对恒成立，
所以在单调递增，所以时，，
所以对恒成立，所以在单调递增，
所以时，，
即成立，故原式得证.
性别
羽毛球
合计
报名
没报名
女
12
8
20
男
13
17
30
合计
25
25
50