2023~2024学年广东省佛山市高二上期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年广东省佛山市高二上期末教学质量检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 斜率为，且经过点的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由点斜式方程可得，
化简可得：.
故选：B.
2. 已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】椭圆的长半轴长，
由点在椭圆上，分别为的左、右焦点，
得，
所以平行四边形的周长为.
故选：D
3. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2，中点，
则，
解得，所以.
故选：B．
4. 已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题，设双曲线的标准方程为，
则，可得，
又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，
则，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：A.
5. 长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设点Mx,y、、，则，可得，
因为点关于点的对称点为，则为的中点，
所以，，可得，将代入可得，即，
因此，点的轨迹方程为.故选：C.
6. 在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，
由题意可知，，
所以，.
故选：C.
7. 已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为甲、乙两人射击命中率分别是和，
现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，
只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为
所以，甲、乙分配猎物的比例应该是.
故选：A.
8. 设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取中点，连接，
因为，所以，，
设，因为，则，
又，所以，，
所以，，则，所以，，
过点且倾斜角为的直线方程为，，所以，，
在中，由勾股定理可得，即，①
在中，，即，②
联立①②消去化简得，所以，双曲线的离心率．
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 在平面直角坐标系中，直线过原点，且点和点到直线的距离相等，则直线的斜率可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，所以，，
故、、不共线，
因为直线过原点，且点和点到直线的距离相等，
（1）直线，则直线的斜率为；
（2）直线过线段的中点，则直线的斜率为.
故选：AC.
10. 有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）
A. 与相互独立B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】ABC
【解析】由题意可知，，，
记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为，其中、，
用表示两次取球的号码，
则事件包含的基本事件有：、、、、，
则，
事件包含的基本事件有：、、，则，
事件包含的基本事件有：、、，则，
事件包含的基本事件有：，则，
事件包含的基本事件有：，则，
对于A选项，，则与相互独立，A对；
对于B选项，，所以，与相互独立，B对；
对于C选项，，
所以，与相互独立，C对；
对于D选项，，
所以，与不相互独立，D错.
故选：ABC.
11. 已知为数列的前项和，且，则（ ）
A. 存在，使得B. 可能是常数列
C. 可能是递增数列D. 可能是递减数列
【答案】ABD
【解析】因为为数列的前项和，且，
对于A选项，取，则，则，A对；
对于B选项，取，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对；
对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，，
即，所以，对任意的恒成立，
但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错；
对于D选项，取，则，，，
猜想，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
这说明当时，猜想也成立，
故对任意的，，
此时，数列为单调递减数列，D对.
故选：ABD.
12. 设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意；
斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入，
可得: ，两式相减可得：，
设直线的斜率存在，整理可得.
对于A，，直线，
化简可得，代入可得，
整理可得，显然方程无解，故A错误；
对于B，，直线，
化简可得，代入可得，
，，
.由，
，故B正确；
对于C，，直线，
化简可得，代入可得，
，，
，
，
，故C正确；
对于，直线，
化简可得，代入可得，
，，
，，
，故D正确
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线被圆截得的弦长为______．
【答案】
【解析】圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长的一半为，
故弦长为.
故答案为：
14. 设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为______．
【答案】
【解析】在椭圆中，，，则，
若，易知原点为的中点，则，
所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上，
联立，可得，即点或，
即满足条件的点的个数为.
故答案为：.
15. 佛山是全国著名的工业城市，这里生产的部分产品通过水路运输到全国乃至全世界．下图1是佛山一个货运码头的吊机，其作用是完成集装箱的装船或卸船．为了研究其结构的稳固性，工程师把一个吊机的部分结构（图1中圈住部分）画成图2的空间几何体．若四边形是矩形，，，，，，，则直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
过点作交于点，连接，
因为，，则四边形为平行四边形，
则，，则，
因为四边形为矩形，则，则，
因为，则直线与所成角为或其补角，
由余弦定理可得.
因此，直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16. 已知圆、均与轴相切，且均与过原点的直线相切于点，则两圆的半径之和为______．
【答案】
【解析】如下图所示：
设圆心在第一象限，设，则，可得，
所以，，
又因为，整理可得，
因为，解得，
设圆切轴于点，圆切轴于点，
由圆的几何性质可知，，又因为，，
所以，，
则，
同理可知，，
所以，，
因为，
则，
因为，
则，，
因此，两圆半径之和为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形．
（1）当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程；
（2）求点的轨迹方程．
解：（1）设点，由，得，直线的斜率，
而，
所以直线的方程为，即.
（2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心，
又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即，
显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外），所以点的轨迹方程是.
18. 时下，一些工厂、学校、社区安装了风力发电机组、光伏等设备，利用风、光、热等新能源发电供自用，节约用电成本．现有一学校作未来两年的用电计划，总需求为720万千瓦时，其中一部分可由自身的光伏设备发电满足，剩余部分需向电网预购．由于受天气、故障等不确定因素影响，从以往结果可预计光伏发电设冬每一年的发电量（单位：万千瓦时）情况如下：
（1）求未来两年光伏发电量总和的所有可能情况及对应的概率；
（2）学校应再向电网至少预购多少电量才能以不低于的概率满足未来两年用电总需求？
解：（1）设未来两年光伏发电量总和为，所以，
所以，
，
，
，
.
（2）因为，，
根据两年光伏发电量的情况，只有的概率供应万千瓦以上，
两年光伏发电量能以的概率供应万千瓦以上，
所以，要以不低于的概率满足未来两年用电总需求，学校应再向电网至少预购万千瓦的电量.
19. 如图，在三棱锥中，平面平面．
（1）在线段上是否存在点使得平面？并说明理由．
（2）设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）在平面内过点作，由平面平面，平面平面，
得平面，而，即，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，
假设在线段上存在点使得平面，
令，，
由，解得，此时，
而平面，
因此平面，所以在线段上存在点使得平面，为在上的投影点.
（2）由（1）及分别为线段的中点，得，
则，设平面的法向量为，
则，令，得，
显然平面的法向量，
设平面与平面夹的角大小为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
20. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式及；
（2）记，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列an的公差为，由可得，可得，
因，则，
所以，，解得，则，
所以，.
所以，.
（2）因为，
对任意的，，
所以，数列bn的前项和.
21. 已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，.
（1）求的方程；
（2）当的内切圆面积取得最大值时，求的方程.
解：（1）由题意，椭圆过点，且，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知，可设直线为，且，
联立整理得，，
所以，，
的周长为，
设内切圆的半径为，则，所以，
又，所以，
要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大，
而，所以，
令，则，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，即，，
当时等号成立.此时，所以，
所以直线的方程为.
22. 已知为抛物线的焦点，点在上，且满足．
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点．
解：（1）设点，点，
则有，
则，
因为点在上，故，
解得：或（舍），即，
所以点的坐标为，方程为.
（2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上.
设直线l的方程为，代入，得
设点Ax1,y1，Bx2,y2，
则，
因为，
所以，
直线的方程为，
令，得，
所以点
同理，点，
设以线段为直径的圆与轴的交点为，
则，
因为，则，
即，
则，
解得：或，
故以线段为直径的圆所过定点为1,0和.
发电量
100
120
140
概率
0.1
0.4
0.5