2023-2024学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
3．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
4．（2分）把抛物线y＝2x2+4向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+7B．y＝2（x+1）2+7
C．y＝2（x﹣1）2+1D．y＝2（x+1）2+1
5．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠ABD＝30°，则∠APD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．70°
6．（2分）不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（ ）
A．B．3C．6D．
8．（2分）如图，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个根是x＝1，则m＝ ．
11．（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
12．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
13．（2分）如图，等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE，连接BE，则∠ABE＝ °．
14．（2分）如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B．PA＝3，∠P＝60°，若AC为⊙O的直径，则圆中阴影部分的面积为 ．
15．（2分）十八世纪法国的博物学家C•布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（l＜d）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计π的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取l＝d，得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计π的近似值为 （精确到0.01）．
16．（2分）如图，在半圆O中，直径AB＝4，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为 ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）解方程：x2+4x+3＝0．
18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
19．（5分）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆上一点A．
求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．
作法：如图2，
①连接OA并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；
③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；
④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．
直线AB就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接AD．
∵ ＝AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴ ＝90°．（ ）
∴AB⊥ ．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．（ ）
20．（5分）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A′．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′的坐标；
（2）求出点B旋转到B′的路径长．
22．（5分）某中学开展“歌唱祖国红歌比赛”活动，七年级一班、二班都从：“A．《歌唱祖国》、B．《我和我的祖国》、C．《唱支山歌给党听》、D．《保卫黄河》”四首歌中任意选择一首作为参赛曲目．
（1）七年级一班恰好抽到歌曲C的概率为 ；
（2）比赛规定：各班歌唱不同歌曲，一班先随机抽取一首歌曲，不放回；二班再从剩余的歌曲中随机抽取一首，求出两个班恰好抽到B、C歌曲的概率．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
24．（6分）图1是某农户的种植日光温室，其横截面如图2所示，一般由五部分组成．（注：1．前屋面（塑料顶棚），2．防寒沟，3．草帘，4．后屋面，5．北墙）现在以塑料顶棚横截面与地面的交点为坐标原点O，地面所在的水平线OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，记顶棚某点距点O的水平距离为x米，距离地面的高度为y米，测量出如下数据：
请根据所给信息解决以下问题：
（1）如图，在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合表中所给数据或所画图象，求出塑料顶棚所在曲线的解析式以及顶棚最高点距离地面的高度（不用写出x的取值范围）；
（3）设前屋面与后屋面的交点为B，已知B点距离地面3.3米，求点B距离点O的水平距离．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线AC上一个动点（点D不与点A，C重合），连接BD，将线段BD绕D点逆时针旋转90°得线段DE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段AC上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段CB，CD，CE之间的数量关系，并证明；
（2）若点D在线段CA的延长线上，且AD＜AC，设BC＝m，BD＝n，直接写出CE的长（用含m，n的式子表示）．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．
（1）如图，点A的坐标为（1，0）．
①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 倍特征点；
②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 是点A关于⊙O的倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．
2023-2024学年北京市东城区景山学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
3．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（2分）把抛物线y＝2x2+4向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+7B．y＝2（x+1）2+7
C．y＝2（x﹣1）2+1D．y＝2（x+1）2+1
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+4向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）2+4﹣3，即y＝2（x﹣1）2+1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠ABD＝30°，则∠APD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．70°
【分析】先根据圆周角定理得到∠D＝∠CAB＝40°，然后根据三角形外角的性质计算∠APD的度数．
【解答】解：∵∠CAB和∠D都对，
∴∠D＝∠CAB＝40°，
∴∠APD＝∠D+∠ABD＝40°+30°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2分）不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
由表知，共有4种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有1种结果，
所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（ ）
A．B．3C．6D．
【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于12π，可得⊙O的半径OB＝OC＝6，而六边形ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为6．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于12π，
∴⊙O的半径OB＝OC＝＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝6，
即正六边形的边长为6，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
8．（2分）如图，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设AB＝a，AP＝x，则BP＝a﹣x，根据阴影部分的面积＝大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，从而判断图象的大致形状．
【解答】解：设AB＝a，AP＝x，
则BP＝a﹣x，
∴y＝π•（）2﹣π•（）2﹣π•（）2
＝（﹣x2﹣a2+ax﹣x2）
＝﹣x2+ax，
∴y关于x的函数图象是过原点开口向下的抛物线，
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是求出函数解析式．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是 （﹣5，﹣1） ．
【分析】根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
10．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个根是x＝1，则m＝ 2 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 12000（1+x）2＝27000 ．
【分析】利用今年8月份的盈利＝今年6月份的盈利×（1+6月份到8月份盈利的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得12000（1+x）2＝27000，
故答案为：12000（1+x）2＝27000．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，
（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．
13．（2分）如图，等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE，连接BE，则∠ABE＝ 20 °．
【分析】根据等边三角形的性质，旋转的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝AE，∠BAD＝80°，
∴∠BAE＝140°，
∴∠ABE＝∠AEB＝×（180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了旋转的性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是本题的关键．
14．（2分）如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B．PA＝3，∠P＝60°，若AC为⊙O的直径，则圆中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据三角形面积求法得出S△AOB＝S△OBC，进而得出答案阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵PA、PB与⊙O相切，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，∠AOB＝120°，
∴AB＝PA＝3，∠OBC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝AC•sin∠ACB＝AC•sin60°，
AC＝＝＝2，
∴OB＝AC＝．
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△OBC
∴S阴影＝S扇形OBC＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及扇形面积求法，利用阴影部分的面积整理为一个规则图形的面积是解题关键．
15．（2分）十八世纪法国的博物学家C•布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（l＜d）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计π的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取l＝d，得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 0.318 （精确到0.001），由此估计π的近似值为 3.14 （精确到0.01）．
【分析】根据频率和概率的关系判断即可．
【解答】解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为0.318，由此估计π的近似值为：≈3.14．
故答案为：0.318；3.14．
【点评】本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
16．（2分）如图，在半圆O中，直径AB＝4，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x°，求出的弧度为90°，求出CE后再减去OC即可．
【解答】解：连接CE，OC，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，
设的弧度为x°，
∴的弧度为：（180﹣x）°，
∵∠CAD＝∠CAB，
∴的弧度为：（180﹣x）°，
由折叠得，的弧度为x°，
∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，
∵点E为弧AD中点，
∴的弧度为：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°，
∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，
即所对圆心角为90°，
∵AB＝4，
∴⊙O半径为2，
∴CE＝＝2，
∴OE＝CE﹣OC＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）解方程：x2+4x+3＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c的部分图象经过点A（0，﹣3），B（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．
【解答】解：（1）将A（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）令x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴抛物线经过（﹣3，0），（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴y＜0时，﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
19．（5分）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及圆上一点A．
求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．
作法：如图2，
①连接OA并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；
③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；
④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．
直线AB就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接AD．
∵ CD ＝AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴ ∠BAC ＝90°．（ 直径所对的圆周角是90° ）
∴AB⊥ AC ．
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．（ 过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线 ）
【分析】根据题中的过程，结合图形进行合情推理．
【解答】证明：如图：连接AD，
∵CD＝AD
∴点C在⊙D上，
∴CB是⊙D的直径．
∴∠BAC＝90°（直径所对的圆周角是90°），
∴AB⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线），
故答案为：CD，∠BAC，直径所对的圆周角是90°，OA，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键．
20．（5分）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，根据垂径定理得到AC＝0.4，再在Rt△ACO中，根据勾股定理可求出OC，进而即可求解．
【解答】解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OA，
∵∠ACO＝90°，，
∵AB＝0.8，
∴AC＝0.4，
在Rt△ACO中，根据勾股定理，得，
∴0.3+0.5＝0.8，
∴水的最大深度为0.8m．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'，点A旋转后的对应点为A′．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′的坐标；
（2）求出点B旋转到B′的路径长．
【分析】（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出A'坐标；
（2）根据弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图1所示，△OA'B'即为所求，
此时A'（0，﹣5）；
（2）由图知，∠AOA′＝90°，OB＝＝5，
∴点B在旋转过程中所走过的路径长BB′＝＝．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质及弧长公式是解题的关键．
22．（5分）某中学开展“歌唱祖国红歌比赛”活动，七年级一班、二班都从：“A．《歌唱祖国》、B．《我和我的祖国》、C．《唱支山歌给党听》、D．《保卫黄河》”四首歌中任意选择一首作为参赛曲目．
（1）七年级一班恰好抽到歌曲C的概率为 ；
（2）比赛规定：各班歌唱不同歌曲，一班先随机抽取一首歌曲，不放回；二班再从剩余的歌曲中随机抽取一首，求出两个班恰好抽到B、C歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）七年级一班恰好抽到歌曲C的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，两个班恰好抽到B、C歌曲的结果有2种，
∴两个班恰好抽到B、C歌曲的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【分析】（1）根据题意得出Δ＞0，代入求出即可；
（2）求出m＝1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵依题意，得Δ＝16﹣4（2m﹣1）＞0．
∴m＜，
即m的取值范围是m＜；
（2）∵m为正整数，
∴m＝1或2，
当m＝1时，方程为x2﹣4x+1＝0的根不是整数；
当m＝2时，方程为x2﹣4x+3＝0的根x1＝1，x2＝3，都是整数．
综上所述，m＝2．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．
24．（6分）图1是某农户的种植日光温室，其横截面如图2所示，一般由五部分组成．（注：1．前屋面（塑料顶棚），2．防寒沟，3．草帘，4．后屋面，5．北墙）现在以塑料顶棚横截面与地面的交点为坐标原点O，地面所在的水平线OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，记顶棚某点距点O的水平距离为x米，距离地面的高度为y米，测量出如下数据：
请根据所给信息解决以下问题：
（1）如图，在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合表中所给数据或所画图象，求出塑料顶棚所在曲线的解析式以及顶棚最高点距离地面的高度（不用写出x的取值范围）；
（3）设前屋面与后屋面的交点为B，已知B点距离地面3.3米，求点B距离点O的水平距离．
【分析】（1）根据表格画出图象即可；
（2）用待定系数法可得解析式；
（3）令y＝3.3解出x的值可得答案．
【解答】解：（1）如图：
（2）由已知可得，塑料顶棚所在曲线为抛物线，顶点为（6，3.6），
设塑料顶棚所在曲线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.6，把（0，0）代入得：
36a+3.6＝0，
解得a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6；
顶棚最高点距离地面的高度为3.6米；
（3）在y＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6中，令y＝3.3得：
3.3＝﹣0.1（x﹣6）2+3.6，
解得x＝6+或x＝6﹣（不符合题意，舍去），
∴点B距离点O的水平距离为（6+）米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEM+∠AEO＝90°即可；
（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE＝NB，
∴∠B＝∠NEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠NEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，
即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON，
∵MN是BE的中垂线，
∴NE＝NB，
设EN＝x＝BN，
在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，
在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，
∴OC2+CN2＝OE2+EN2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
即EN＝．
【点评】本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．
26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
（2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且3m+3n≤﹣4，
∴≤﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线AC上一个动点（点D不与点A，C重合），连接BD，将线段BD绕D点逆时针旋转90°得线段DE，连接CE．
（1）如图1，若点D在线段AC上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段CB，CD，CE之间的数量关系，并证明；
（2）若点D在线段CA的延长线上，且AD＜AC，设BC＝m，BD＝n，直接写出CE的长（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）①由题意画出图形即可；
②过点E作EF⊥AC交AC的延长线于F，证明△EDF≌△DBA（AAS），由全等三角形的性质得出EF＝AD，DF＝AB，由等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）过点E作EF⊥AC于F，证明△EDF≌△DBA（AAS），得出EF＝AD，DF＝AB，由等腰直角三角形的性质及勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）①如图，补全图形如下：
②CE+CD＝BC．
证明：过点E作EF⊥AC交AC的延长线于F，
∴∠F＝90°＝∠BAC，
由旋转知，DE＝BD，∠BDE＝90°，
∴∠EDF+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DBA+∠ADB＝90°，
∴∠EDF＝∠DBA，
∴△EDF≌△DBA（AAS），
∴EF＝AD，DF＝AB，
∵AB＝AC＝CD+AD，
∴DF＝CD+AD，
∵DF＝CF+CD，
∴CF＝AD＝EF，
∴AD＝CE，
∴CE+CD＝BC，
即CE+CD＝BC．
（2）如图，过点E作EF⊥AC于F，
∴∠DFE＝90°＝∠BAC＝∠DAB，
由旋转知，DE＝BD，∠BDE＝90°，
∴∠EDF+∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DBA+∠ADB＝90°，
∴∠EDF＝∠DBA，
∴△EDF≌△DBA（AAS），
∴EF＝AD，DF＝AB，
∵AB＝AC＝CF+AF，
∴DF＝CF+AF，
∵DF＝AD+AF，
∴CF＝AD＝EF，
∴CE＝CF，
∴CE＝AD，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝m，
∴DA＝＝，
∴CE＝×＝．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．
（1）如图，点A的坐标为（1，0）．
①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的 倍特征点；
②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点 C3 是点A关于⊙O的倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；
（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．
【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；
②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；
③当点D在y轴正半轴上时，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长，当点D在y轴负半轴同理可得答案；
（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．
【解答】解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），
∴AP＝OA+OP＝1+＝，
∵B（﹣1，0），
∴AB＝2，
∵AP＝kAB，
∴k＝，
故答案为：；
②∵C1（0，），A（1，0），
∴OC1＝，
∴AC1＝＝，
假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，
∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可求出AC3＝＝＝，
假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴C3为AF的中点，
∴F（0，﹣1），
∵F在圆上，
∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，
∵C2（），
∴AC2＝，
∴，
∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：C3；
③如图，当点D在y轴正半轴上时，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵点E点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO＝60°，
∴∠EOA＝30°，
∴AE＝，EF＝，
OE＝＝，
∴EF＝，
∴E（），
当点D在y轴负半轴上时，同理可得E（），
综上：E（）或（）；
（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，
∴MN≥NP，AM≤BP，
∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，
∴，
∵k越大，1﹣k的值越小，
∴﹣1+的值越小，
∴当的值越大，k的值越大，
∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，
∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，
∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D（0，1），
∵O到C和D的距离都是1，
∴OC＝OD＝1，
∴CD＝＝，
∵OG⊥CD，
∴CG＝DG＝，
∴OG＝＝，
∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，
∴k＝，
∴k的最小值为，
当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆的相关知识，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 20:40:50；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111试验次数
1500
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4500
5000
相交频数
495
623
799
954
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1269
1434
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相交频率
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0.3115
0.3196
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0.3209
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梦天
问天
（问天，问天）
（梦天，问天）
梦天
（问天，梦天）
（梦天，梦天）
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2000
2500
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0.3300
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A
B
C
D
A
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（C，A）
（D，A）
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（B，C）
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