福建省2024中考数学2专题突破篇专题四综合实践一__实践作图类中考趋势题课堂讲本课件

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例1：【人教八上P51题1】用三角尺可按如图所示的方式画角平分线: 在已知的∠AOB的两边上, 分别取OM＝ON, 再分别过点M, N作OA, OB的垂线, 交点为P, 画射线OP, 则OP平分∠AOB, 为什么?
类型1 利用全等作图
解: 在Rt△POM和Rt△PON中, ∵PO＝PO, OM＝ON, ∴Rt△POM≌Rt△PON(HL). ∴∠POM＝∠PON, ∴OP平分∠AOB.
例2：【人教八上P41题2】如图, 要测量池塘两岸相对的两点A, B的距离, 可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C, D, 使BC＝CD, 再画出BF的垂线DE, 使E与A, C在一条直线上, 这时测得的DE的长就是AB的长, 为什么?
解: ∵BF⊥AB, DE⊥BF, ∴∠EDC＝∠B＝90°, ∵E, A, C在同一条直线上, ∴∠DCE＝∠BCA. 在△EDC和△ABC中, ∵∠EDC＝∠B, CD＝CB, ∠DCE＝∠BCA, ∴△EDC≌△ABC(ASA)∴DE＝AB, 即测得的DE的长就是AB的长.
例3：【利用相似】如图①, 在△ABC中, ∠BAC＝30°, D为边AC上一点, 在BD的延长线上求作一点E使得∠CAE＝∠CBD.小东提出了如下作图方案: 如图②, 将含30°角的直角三角板中较长的直角边贴在直线BD上滑动, 使得斜边恰好经过点C, 记此时三角板的斜边与BD的延长线交点为E, 则点E即为所求. 你认为小东的作法正确吗? 请说明理由.
类型2 利用相似或三角函数作图
例4：【利用位似】如图①, △ABC是一块三角形废铁片, 欲利用其裁剪出一个正方形, 使正方形的一条边落在边BC上, 另外两个顶点分别在边AC, AB上. 探究怎样在铁片上准确地剪出该正方形? (1) 小明给出的作法如下: ①在边AB上任取一点G′, 作G′D′⊥BC, 垂足为D′; ②以G′D′为边, 在△ABC内作正方形G′D′E′F′;
③连接BF′并延长, 交边AC于点F; ④作FE∥F′E′, 交边BC于点E, 作FG∥F′G′, 交边AB于点G, 作GD∥G′D′, 交边BC于点D, 那么四边形DEFG即为所求, 如图②所示, 然后裁剪下来即可. 你认为小明的作法正确吗? 说明理由. (2) 请模仿上述方法, 在如图③所示的半圆形中作出其内接正方形, 即正方形的一边在直径上, 另两个顶点在弧上.
例5：【利用相似和三角函数】【2023福建10分】阅读下列材料, 回答问题.
任务: 测量一个扁平状的小水池的最大宽度, 该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度, 如图①.
工具: 一把皮尺(测量长度略小于AB) 和一台测角仪, 如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度) ; 测角仪的功能是测量角的大小, 即在任一点O处, 对其视线可及的P, Q两点, 可测得∠POQ的大小, 如图③.小明利用皮尺测量, 求出了小水池的最大宽度AB, 其测量及求解过程如下:
(1) 补全小明求解过程中①②所缺的内容; (2) 小明求得AB用到的几何知识是___________; (3) 小明仅利用皮尺, 通过5次测量, 求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪, 通过测量长度、角度等几何量, 并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB, 写出你的测量及求解过程. 要求: 测量得到的长度用字母d, e, f, …表示, 角度用α, β, γ, …表示; 测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB, 且测量的次数最少, 才能得满分) .
例6：【2022兰州】【综合与实践】问题情境: 我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法, 如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi) 范、芯组成的铸型(如图①) , 它的端面是圆形.
类型3 利用圆的性质作图
如图②是用“矩”(带直角的角尺) 确定端面圆心的方法: 将“矩”的直角尖端A沿圆周移动, 直到AB＝AC, 在圆上标记A, B, C三点; 将“矩”向右旋转, 使它左侧边落在A, B点上, “矩”的另一条边与圆的交点标记为D点, 这样就用“矩”确定了圆上等距离的A, B, C, D四点, 连接AD, BC, 它们相交于点O, 即O为圆心.
问题解决: (1) 请你根据“问题情境”中提供的方法, 用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O.如图③, 点A, B, C在⊙O上, AB⊥AC, 且AB＝AC, 请作出圆心O. (保留作图痕迹, 不写作法)
类比迁移: (2) 小梅受此问题的启发, 在研究了用“矩” (带直角的角尺) 确定端面圆心的方法后发现, 如果AB和AC不相等, 用三角板也可以确定圆心O.如图④, 点A, B, C在⊙O上, AB⊥AC, 请作出圆心O.(保留作图痕迹, 不写作法)
拓展探究: (3) 小梅进一步研究, 发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差, 用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差. 如图⑤, 点A, B, C是⊙O上任意三点, 请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O.(保留作图痕迹, 不写作法) , 并写出确定圆心的理由: __________.