初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）8.1 与三角形有关的边和角集体备课ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）8.1 与三角形有关的边和角集体备课ppt课件，共52页。PPT课件主要包含了三角形中的重要线段，角平分线，是线段不是射线，由此得到，直角三角形的内角性质，你能说明其理由吗，你发现了什么结论，重要发现，三角形的内角和，三角形的外角等内容，欢迎下载使用。
8.1 与三角形有关的边和角
8.1.2 三角形的内角和与外角和
钝角三角形两短边上的高的画法
会把原三角形的面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
如图，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角，得出了如下结论：三角形的内角和等于180°.
现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确.如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.解 如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA（同位角相等，两直线平行）.
∵ CD//BA，∴ ∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵ ∠3+∠ACD+∠DCE=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，使得 B'C'∥BC.则∠B' AB=∠2， ∠C' AC=∠3.又∠B' AB+∠1+∠C' AC =180°，所以 ∠2+∠1+∠3=180°.
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
题1 在 △ABC 中，∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍， ∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°， ∠C 为 (x ＋ 15)°，
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
题 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°， AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. 解：由∠BAC = 40°， AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD 中，∠ADB = 180°－∠B－∠BAD= 180°－75°－20°= 85°.
如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，∠A与∠B有什么关系？
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC .　　
例1 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°， ∠C=65°.求∠BAC的度数. 解 在Rt△ABD中， ∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠B=90°-∠1（等式性质）. 又∵∠1=45°（已知）， ∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.
在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180° （三角形的内角和等于180°），∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：有两个角互余的三角形是直角三角形.
现在我们讨论三角形的外角及外角和.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
三角形的外角与内角有什么关系呢？图中，显然有∠CBD（外角）+∠ABC（相邻的内角）=180°.那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于180°，我们有∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.由上面两个式子，可以推出∠CBD=180°-∠ABC，∠ACB+∠BAC=180°-∠ABC.
因而可以得到外角∠CBD与两个不相邻的内角之间的关系：∠CBD=∠ACB+∠BAC.
由此可知，三角形的外角有两条性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数。
解：因为∠B+∠C=∠CAD， 所以∠C=∠CAD－∠B， 所以∠C=100°－30°=70°.
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.如图所示，∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和.
在图中，有∠1+ =180°，∠2+ = 180°，∠3+ = 180°.
三式相加，可以得到∠1+∠2+∠3 + + + = ，①而∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°，②将①与②相比较，你能得出什么结论？
可以得到∠1+∠2+∠3=360°.由此可知：三角形的外角和等于360°.
你能由右图说明这一结论吗？
例2 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点， ∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.（1）求∠B 的度数；（2）求∠C 的度数.
（2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180°（三角形的内角和等于180°）， ∴ ∠C = 180°－∠B －∠BAC（等式的性质）.又∵ ∠B=40°（已求）， ∠BAC = 70°（已知），∴∠C = 180°－40°－70° = 70°（等量代换）.
(一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°， 求∠BDC 的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2，∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51°+20°+ 30°= 101°.
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51°+ 20°+ 30°= 101°.
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解。
∠BDC = ∠1+∠2+∠3.
1.如图，∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4= .
2.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数.
3.在△ABC中，∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°.求△ABC的各内角的度数.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是边CB、AB延长线上的点，∠A=∠D. 试说明△BDE是直角三角形.
5. （口答）一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或都是锐角吗？为什么？
6.说出下列各图中∠1的度数. ① ② ③
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°. （1）求∠EBC的度数； （2）求∠A的度数. 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上 适当的内容（理由或数学式）.
解 （1）∵CD⊥AB(已知）， ∴∠CDB = . ∵∠EBC= ∠CDB +∠BCD（ ）， ∴∠EBC= +35°= (等量代换).
（2）∵ ∠EBC=∠A+∠ACB（ ）， ∴∠A=∠EBC－∠ACB（等式的性质）. ∵∠ACB=90°（已知）， ∴∠A= -90° = （等量代换）.你还能用其他方法解决这一问题吗？
1. 已知 △ABC 中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝_____.2. 直角三角形一个锐角为 70°，另一个锐角是_______.3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B= 36°， ∠C= 76°，则∠DAC 的度数为________.
了解添加辅助线的方法及其目的
三角形的内角和等于 180°
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
三角形的外角和等于 360°
1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角