2025年中考复习浙教版数学专题训练---圆内接四边形

这是一份2025年中考复习浙教版数学专题训练---圆内接四边形，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数为（ ）
A．130°B．132°C．134°D．136°
2．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，则∠D=（ ）
A．140°B．130°C．50°D．40°
3．如图，已知半圆的直径为AB，点C，D是半圆上两点，连结BC，CD，DB．若∠ABC=66°，则∠BDC的度数是（ ）
A．14°B．24°C．34°D．48°
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A．1318πB．109πC．2318πD．2336π
5．如图， 四边形ABCD内接于⊙O， 若∠BOD=100°， 则∠C的度数为（ ）
A．50°B．100°C．130°D．150°
6．如图，已知AB为⊙O的直径，C，D是图上AB同侧的两点，∠ACD=130°，则∠BAD=（ ）
A．40°B．50°C．35°D．25°
7．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70°B．80°C．75°D．60°
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中∠A=100°，则∠C的度数为（ ）
A．120°B．100°C．80°D．50°
9． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．722C．532D．92
10．如图， 已知⊙O中， 直径AF⊥BC于点H， 点D在AB上， 且∠ACD=30°，过点A作AE⊥CD于点E， 已知△BCD的周长为63+4， 且BH=2， 则⊙O的半径长为（ ）
A．33B．732C．522D．924
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=6，CE=4，则AE=（ ）
A．5B．4C．25D．26
12．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果AD=6，DB=2，则AC的长为 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，BC=2CD，则∠BAD的度数是 °．
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②AB=EM ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
15． 如图， A B 为 ⊙O 的直径， 且 AB=26， 点 C 为 ⊙O 上半圆的一点， CE⊥AB 于点 E， ∠OCE 的角平分线交 ⊙O 于点 D， 弦 AC=10， 那么 △ACD 的面积是 .
16．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，在圆内接△ABC中，∠ABC>90°，弦BD>AC，延长AD至点E，延长BA至点F，连接EF，使EF=BD，延长CD交EF于点G，使∠EGD+∠DAB=180°，延长CB，DA交于点H．
（1）若∠EGD=75°，CD为直径，求∠BAC的度数．
（2）求证：EFHB=AEAH．
（3）求证：AE=AC．
18．尺规作图题：
如图1，在上⊙O依次取点A，B，C，使AB=AC，点D在AC上，连接AC，AD，用尺规作弦AE，连接EC，DA，BE的延长线交于点F，使△AEF≌△AEC．
小明：如图2，连接CD，作△DAC的外角平分线AE交⊙O于另一点E，连接EC，作DA，BE的延长线交于点F，则△AEF≌△AEC．
小通：作弦AB的垂直平分线EH，交AB于点E，连接AE，EC，作DA，BE的延长线交于点F，则△AEF≌△AEC．
小明：小通，你的作法有问题．
小通：哦------我明白了．
（1）求证：△AEF≌△AEC．
（2）指出小通作法中存在的问题．
19．已知⊙0经过四边形ABCD的B，D两个顶点，并与四条边分别交于点E，F，G，H，且EF=GH
（1）如图1所示，连结BD，若BD是⊙O直径，求证；∠A=∠C.
（2）如图2所示，若∠A=x,∠C=y，弧EF的度数为m，请写出x，y，m之间的数量关系，并说明理由.
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
（1）求证：DB=DC．
（2）若∠EAD=60°，BC=23，求BC的长度
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
（1）求证：DB=DC；
（2）若∠EAD=60°，BC=23，求BC的长度．
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A、B重合），连接CP并延长与⊙O交于点Q，连接QD，PD，AD．
（1）求CD的长；
（2）若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ；
（3）若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
23．已知AB是⊙O直径，点C为⊙O上一点，连结AC、BC．
（1）如图1，若∠CBP＝∠ABC，CB＝CP，连结PC，判断∠BCP和∠BAC的数量关系，并证明．
（2）如图2，若∠CBP＝∠ABC，PC＝PB，连结PC并延长交⊙O于点E，连结BF交AC于点E．若AC＝8，BC＝6，求BE∙BF的值．
（3）如图3，点C为AB的中点，已知CF＝CA，过点B作BQ∥AC与CF交与点Q，连结AF交BC于点K，求BQ、FQ、BK之间的数量关系．
24．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），用直尺和圆规在⊙O上找一个点C，使得△ABC是“圆等三角形”．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD：
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】C
12．【答案】214
13．【答案】120
14．【答案】①②④
15．【答案】85
16．【答案】30−6
17．【答案】（1）解：连接CD，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠EGD+∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠EGD=75°，
∵CD为直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠BAC=∠BDC=15°；
​​​​​​
（2）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠EGD+∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠EGD，
∴EF∥BH，
∴△AEF∽△AHB，
∴EFHB=AEAH；
（3）证明：∵EFHB=AEAH，
∴EFAE=HBAH.
∵∠DHB=∠CHA,∠HDB=∠HCA,
∴△HAC∽△HBD，
∴HBAH=BDAC，
∴EFAE=BDAC.
又∵EF=BD，
∴AE=AC.
18．【答案】（1）证明：如图2，连接BC，
∵四边形AEBC内接于⊙O，
∴∠AEF=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠AEC=∠ACB，
得∠AEF=∠AEC，
又∵AE=AE，∠EAF=∠EAC，
∴△AEF≌△AEC．
（2）小通的作法由于不能确保条件∠EAF=∠EAC，导致无法证明△AEF≌△AEC，
理由如下（如图3）：
连接DC，
∵四边形AECD内接于⊙O，
∴∠EAF=∠ECD，
∠ECD，∠EAC所对弧分别是ED，EC，
而已知条件只提供AE=BE，
因此无法确保条件∠ECD=∠EAC成立，
进而无法确保条件∠EAF=∠EAC成立，
因此导致无法证明△AEF≌△AEC．
19．【答案】（1）证明：连结DF，DG
因为EF⌢=GH⌢
∴∠ADF=∠CDG
∴∠BFD=∠BGD=90°
∴∠A+∠ADF=∠C+∠CDG=90°
∴∠A=∠C
（2）解：连结DF，DG
同（1）可得∠ADF=∠CDG，且∠ADF=∠CDG=12m，
∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠BFD+∠BGD=180°，
∵∠BFD=∠A+∠ADF，∠BGD=∠C+∠CDG，
∴∠A+∠ADF+∠C+∠CDG=180°，
∴x+y+m=180°．
20．【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAD=∠BCD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴DB=DC
（2）解：如图，连结CO交圆于M，连接MB、OB，则∠MBC=90°，
∵∠DCB=∠DBC=∠EAD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDC=∠BMC=60°， ∠BOC=2∠BDC=120°，
∴∠MCB=30°，
∴CM=2BM，
∵CM2=BM2+BC2，BC=23，
∴CM2=(12CM)2+(23)2，解得CM=4（负值舍去），
∴圆半径为12CM=2，
∴BC的长度=120×π×2180=43π
21．【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAD=∠BCD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCD，
∴DB=DC；
（2）解：如图，连结CO交圆于M，连接MB、OB，则∠MBC=90°，
∵∠DCB=∠DBC=∠EAD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDC=∠BMC=60°，∠BOC=2∠BDC=120°，
∴∠MCB=30°，
∴CM=2BM，
∵CM2=BM2+BC2，BC=23，
∴CM2=12CM2+232，解得CM=4（负值舍去），
∴圆半径为12CM=2，
∴BC的长度=120×π×2180=43π．
22．【答案】（1）解：如图1，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD，
∵AB=10，AE=8，
∴OC=5，OE=3，
由勾股定理得CE=OC2−OE2=4，
∴CD=8；
（2）证明：如图2，连接AC，
由题意知，AB垂直平分CD，
∴AC=AD，CP=DP，
∵AC=AD，CP=DP，AP=AP，
∴△ACP≌△ADPSSS，
∴∠ADP=∠ACP，
∵AD=AD，
∴∠ACP=∠ADQ，
∴∠ADP=∠ADQ；
（3）解：∠ADP+∠ADQ=180°；
如图3，连接AC，
由题意知，AB垂直平分CD，
∴AC=AD，CP=DP，
∵AC=AD，CP=DP，AP=AP，
∴△ACP≌△ADPSSS，
∴∠ADP=∠ACP，
由圆内接四边形ACQD可得，∠ACQ+∠ADQ=180°，
∴∠ADP+∠ADQ=180°．
23．【答案】（1）解：∠BCP=2∠BAC
证明：设∠ABC=α，则∠ABC=∠CBP=α
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=90°−α，
∵CB=CP，
∴∠P=∠CBP=α，
∴∠BCP=180°−∠P−∠CBP=180°−2α
∴∠BCP=2∠BAC；
（2）解：如图，连接OE、AF，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠AFB=90°，
∵AC=8,BC=6，
∴AB=AC2+BC2=10，
∴OB=5，
∵PB=CP，
∴∠PCB=∠PBC，
∵∠CBP=∠ABC，
∴∠ABC=∠PCB，
∴CP∥AB，
∴∠BAC=∠FCP，
∵AF=AF，
∴∠FCP=∠FBA，
∴∠BAC=∠FBA，
∴AE=BE，
∴OE⊥AB，即∠BOE=∠AFB=90°，
∵∠OBE=∠ABF，
∴△BOE∽△BFA，
∴BEBA=OBBF，
∴BE⋅BF=BA⋅OB=50；
（3）解：如图，在BQ上取一点M，使QM=FQ，连接FM、KM，
∵C是弧AB的中点，AB是直径，
∴AC=AB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵CF=CA，
∴CB=CA=CF，
∴A、B、F点在以C为圆心的圆上，
设∠BAF=β，则∠BCF=2β，
∴∠CBF=∠CFB=180°−2β2=90°−β，
∵BQ∥AC，
∴∠CBQ=∠ACB=90°，
∴∠FBQ=90°−(90°−β)=β，∠Q=90°−2β，
∵QM=FQ，
∴∠QFM=∠QMF=180°−(90°−2β)2=45°+β，
∴∠BMF=135°−β，
∵∠FKB=∠BAF+∠ABK=45°+β，
∴∠FKB+∠BMF=180°，
∴K、B、F、M四点共圆，
∴∠FAM=∠FBQ=β，
∴∠BKM=∠FKB−∠FAM=45°
∵∠CBQ=90°，
∴△BKM是等腰直角三角形，
∴BK=BM，
∴BQ=BM+FM=BK+FQ.
24．【答案】（1）解：如图，△ABC即为所求；
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=140°，
∴∠C=180°−∠A=40°，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=180°−140°2=20°，
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴当BC=BD时，∠BDC=∠C=40°，
∴∠ADC=20°+40°=60°；
当BD=DC时，∠BDC=180°−2∠C=100°，
∴∠ADC=20°+100°=120°；
当BC=CD时，∠BDC=180°−∠C2=70°，
∴∠ADC=20°+70°=90°；
综上所述，∠ADC的度数为60°或120°或90°；
②连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB=120°，
∴∠BCD=180°−∠DAB=60°，
∵△BCD是圆等三角形，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AB=AD，∠DAB=120°，
∴∠ADB=∠ABD=180°−120°2=30°，
∴∠AOB=2∠ADB=60°=∠BCD，
∵BO=AO，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=6，
∴OB=AB=6，
又∵OE⊥BC，OB=OC，
∴∠BOE=12∠BOC=60°，BC=2BE，
∴OE=BO⋅cs60°=3，BE=BO⋅sin60°=33，
∴BC=2BE=63，
∴S△BOC=12×63×3=93，
∴扇形BOC的面积为：120⋅π⋅62360=12π，
∴阴影部分面积为：12π−93．