湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(Word版附解析)
展开考试时间:2024年9月25日
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
.C
.集合,若,则集合可以为( )
A.B.C.D.
.C 【详解】
.若复数,则( )
A 0B. C. 1D. 2
.B
.已知,若与的夹角为,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
.D 【详解】由题意知,
所以,两边取以10为底的对数,得,
所以
.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该蓄电池的Peukert常数约为(参考数据:,)( )
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
.C【详解】因为所以则
所以则,
因为,所以,又则,
所以故
因为所以则.
解法二:∵,∴,∴,故选C
.已知,且,,则( )
A. B. C. D.
.B 【详解】∵恒成立,设,则当时,时,∴,即,∴
.已知函数恒成立,则实数的最小值为( )
A.B.C.D.
.A 【详解】设,的定义域为,
当时,,此时的图象与的图象没有交点,
当时,,此时两图象没有交点,
当时,,此时两图象有一个交点,
当时,,此时两图象没有交点,
当时,,此时两图象有一个交点,
⑥当时,,,设
在上单调递减,,且趋于时,趋于正无穷,∴存在使得,且时,∴在上单调递减,∴,即,
结合以上分析,画出fx,gx在上的函数图象可知,两图象在上有一个交点,
当时,由对称性可知,两图象在上有一个交点,
⑧当时,,此时两图象有一个交点,
当时,,,注意到,
画出fx,gx在上的函数图象可知,两图象在上有一个交点,
⑨当时,,此时两图象没有交点;
综上所述,函数与函数的图象交点个数为6.
.函数与函数的图象交点个数为( )
A.6B.7C.8D.9
.A 【详解】由题知是的正整数解,
故,取指数得,
同除得,,故,即,
根据是递增数列可以得到也是递增数列,于是原不等式转化为.
而可以得到满足要求的的最大值为5,故A正确.
.斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入,又称“兔子数列”. 这一数列如下定义:设为斐波拉契数列,,其通项公式为,设是的正整数解,则的最大值为( )
A.5B.6C.7D.8
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
.BD 【详解】对于A选项,去掉后的平均数为,
方差为,故A选项错误;
对于B选项,由于随机变量服从正态分布,
则,关于1对称,则故B选项正确;
对于C选项,因为,所以,又因为回归方程为,
所以,所以,故C选项错误;
对于D选项,对于独立性检验,随机变量的值越大,则两变量有关系的程度的错误率更低,故越大,判定“两变量有关系”的错误率更低,D选项正确.故选:ABD.
.给出下列命题,其中正确命题为( )
A.已知数据,满足:,若去掉后组成一组新数据,则新数据的方差为168
B.随机变量服从正态分布,若,则
C.一组数据的线性回归方程为,若,则
D.对于独立性检验,随机变量的值越大,则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
.ACD 【详解】对A,如图,令中点为,中点为,连接,
又正方体中,为棱的中点,可得,,
平面,平面,又,
且平面,平面平面,
又平面,且平面,平面,
又为正方形内一个动点(包括边界),平面平面,而平面平面,,即的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为,故选项A正确;
对B,当为线段中点时,由可得,又中点为,中点为,
,而,,故选项B不正确;
对C,由正方体侧棱底面,三棱锥体积为,
所以面积最小时,体积最小,如图,,易得在处时最小,
此时,所以体积最小值为,故选项C正确;
对D,如图,当在处时,三棱锥的体积最大时,
由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心,
,,,所以底面为直角三角形,
所以在底面的射影为中点,设为,如图,设外接球半径为,
由,,可得外接球半径,
外接球的表面积为,故选项D正确. 故选:ABD.
.如图,棱长为2的正方体中,为棱的中点,为正方形内一个动点(包括边界),且平面,则下列说法正确的有( )
A.动点轨迹的长度为
B.与不可能垂直
C.三棱锥体积的最小值为
D.当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为
.ABD 【详解】由题意可知:抛物线的焦点为,准线为,即,
设,
则,可得,因为,即,
可知为等边三角形,即,
且∥x轴,可知直线的倾斜角为,斜率为,故A正确;
则直线,联立方程,解得或,
即,,则,
可得,
在中,,且,
可知为最大角,且为锐角,所以是锐角三角形,故B正确;
四边形的面积为,故C错误;
因为,所以,故D正确;
故选:ABD.
.已知抛物线的焦点为,准线交轴于点,直线经过且与交于 两点,其中点A在第一象限,线段的中点在轴上的射影为点.若,则( )
A.的斜率为 B.是锐角三角形
C.四边形的面积是 D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
. 【详解】因为“使”为假命题,
所以“,”为真命题,其等价于在上恒成立,
又因为对勾函数在上单调递减,在上单调递增,
而,所以,所以,即实数的取值范围为.
.若“使”为假命题,则实数的取值范围为___________.
.
.在中,,∠,D为线段AB靠近点的三等分点,E为线段CD的中点,若,则的最大值为________.
.360【解析】∵,∴,
列举可知:①(1,2,3)……(1,2,6)有4个;②(1,3,4),……,(1,3,6)有3个;③(1,4,5)有1个;④(2,3,4),(2,3,5) 有2个;故共有10个组合,∴共计有个这样的数列。
.将这七个数随机地排成一个数列,记第i项为,若,,则这样的数列共有 个.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
.【解析】(1)设,,在中,由正弦定理得,,,代入已知化简得,
又在中有:,即,
【方法一】∵,
即,所以,所以.
【方法二】∵,
即,所以,所以.
(2)在中有,,,由正弦定理得:,,,
因在中,,,,
所以,,当时,等号成立,∴周长的取值范围是.
.已知的内角,,的对边分别为,,,若.
(1)求的值;
(2)若的面积为,求周长的取值范围.
.【解析】(1)∵,当时,,
两式相减得:,整理得, ……4分
∵,∴,当时,,
∴(舍)或, ……6分
∴是以1为首项,1为公差的等差数列,则; …… 7分
(2)由(1)知,, ……9分
∴,……10分 由,令,…11分
则时, ……13分
所以,即随着增大,减小,
所以. ……15分
.已知正项数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,若数列满足,且数列的前n项和为,若恒成立,求的取值范围.
.【详解】(1)取弧中点,则,以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,连接,在中,,,则,于是,
设,则,其中,,
因此,即,所以.
(2)由平面平面,得,
又,则,而平面,
则平面,即为平面的一个法向量,
,由平面,得,
又,解得,此时,
设是平面的法向量,则,取,得,
设是平面的法向量,则,取,得,
则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
(3),
则点到直线的距离,
当时,即的坐标为时,点到直线的距离取最大值为
.如图所示,半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中,是半圆弧上(不含)的动点,为圆柱的一条母线,点在半圆柱下底面所在平面内,.
(1)求证:;
(2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值;
(3)求点到直线距离的最大值.
.【详解】(1)∵渐近线方程为,可设双曲线方程为,
∵点在双曲线上,∴,所以的方程为;
(2)①当直线中又一条直线的斜率为,另一条直线的斜率不存在是,直线与轴重合,不符合题意;所以直线的斜率均存在且不为,
解法一:Ax1,y1,Bx2,y2,,,设的方程为,由,得,
∴恒成立,,∴,∵∴
∴,同理
因为、、三点共线,所以,∴
化简得:;
解法二:设的方程为,Ax1,y1,Bx2,y2,,,
由,得,则,所以,
所以,则,
所以,同理可得,
因为、、三点共线,所以,
又,所以,
因为,所以;
②,
所以
,
设,则,
所以,
∴,
∴,故.
.已知双曲线的中心为坐标原点,渐近线方程为,点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点,且,直线交于两点,直线交于两点,分别为弦和的中点.
(1)求的方程;
(2)若直线交轴于点,设.
①求;
②记,,求.
.【详解】(1),其中 为常数.
而 ,即 ,所以 ,所以.
(2)联立 ,解得 ,
当时,,令 ,
则围成的面积
(3)令 ,
由题意可知,,满足,
即,即在 上单调递增,
进而在 恒成立,在 恒成立. ,
若,则在上恒成立,故在上为增函数,故;
若,则时,,故在上为减函数,
故时,,与题设矛盾;
故.
【点睛】关键点点睛:本题第三步关键在于利用,都满足,得出函数在 上单调递增,再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.
.如果函数 Fx的导数为,可记为 ,若 ,则表示曲线 y=f(x),直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如:,其中 为常数; ,则表 及轴围成图形面积为4.
(1)若 ,求 的表达式;
(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积;
(3)若 ,其中 ,对 ,若,都满足,求 的取值范围.
湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题: 这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题,文件包含9月月考925docx、9月月考925答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共19页, 欢迎下载使用。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(Word版附解析): 这是一份湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(Word版附解析),文件包含湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期调研考试一数学试题原卷版docx、湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期调研考试一数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共27页, 欢迎下载使用。
湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题(解析版): 这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题(解析版),共13页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。