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    湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(Word版附解析)
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    湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(Word版附解析)

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    这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(Word版附解析),共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    考试时间:2024年9月25日
    一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
    .C
    .集合,若,则集合可以为( )
    A.B.C.D.
    .C 【详解】
    .若复数,则( )
    A 0B. C. 1D. 2
    .B
    .已知,若与的夹角为,则在上的投影向量为( )
    A.B.C.D.
    .D 【详解】由题意知,
    所以,两边取以10为底的对数,得,
    所以
    .纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该蓄电池的Peukert常数约为(参考数据:,)( )
    A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
    .C【详解】因为所以则
    所以则,
    因为,所以,又则,
    所以故
    因为所以则.
    解法二:∵,∴,∴,故选C
    .已知,且,,则( )
    A. B. C. D.
    .B 【详解】∵恒成立,设,则当时,时,∴,即,∴
    .已知函数恒成立,则实数的最小值为( )
    A.B.C.D.
    .A 【详解】设,的定义域为,
    当时,,此时的图象与的图象没有交点,
    当时,,此时两图象没有交点,
    当时,,此时两图象有一个交点,
    当时,,此时两图象没有交点,
    当时,,此时两图象有一个交点,
    ⑥当时,,,设
    在上单调递减,,且趋于时,趋于正无穷,∴存在使得,且时,∴在上单调递减,∴,即,
    结合以上分析,画出fx,gx在上的函数图象可知,两图象在上有一个交点,
    当时,由对称性可知,两图象在上有一个交点,
    ⑧当时,,此时两图象有一个交点,
    当时,,,注意到,
    画出fx,gx在上的函数图象可知,两图象在上有一个交点,
    ⑨当时,,此时两图象没有交点;
    综上所述,函数与函数的图象交点个数为6.
    .函数与函数的图象交点个数为( )
    A.6B.7C.8D.9
    .A 【详解】由题知是的正整数解,
    故,取指数得,
    同除得,,故,即,
    根据是递增数列可以得到也是递增数列,于是原不等式转化为.
    而可以得到满足要求的的最大值为5,故A正确.
    .斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入,又称“兔子数列”. 这一数列如下定义:设为斐波拉契数列,,其通项公式为,设是的正整数解,则的最大值为( )
    A.5B.6C.7D.8
    二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
    .BD 【详解】对于A选项,去掉后的平均数为,
    方差为,故A选项错误;
    对于B选项,由于随机变量服从正态分布,
    则,关于1对称,则故B选项正确;
    对于C选项,因为,所以,又因为回归方程为,
    所以,所以,故C选项错误;
    对于D选项,对于独立性检验,随机变量的值越大,则两变量有关系的程度的错误率更低,故越大,判定“两变量有关系”的错误率更低,D选项正确.故选:ABD.
    .给出下列命题,其中正确命题为( )
    A.已知数据,满足:,若去掉后组成一组新数据,则新数据的方差为168
    B.随机变量服从正态分布,若,则
    C.一组数据的线性回归方程为,若,则
    D.对于独立性检验,随机变量的值越大,则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小
    .ACD 【详解】对A,如图,令中点为,中点为,连接,
    又正方体中,为棱的中点,可得,,
    平面,平面,又,
    且平面,平面平面,
    又平面,且平面,平面,
    又为正方形内一个动点(包括边界),平面平面,而平面平面,,即的轨迹为线段.
    由棱长为2的正方体得线段的长度为,故选项A正确;
    对B,当为线段中点时,由可得,又中点为,中点为,
    ,而,,故选项B不正确;
    对C,由正方体侧棱底面,三棱锥体积为,
    所以面积最小时,体积最小,如图,,易得在处时最小,
    此时,所以体积最小值为,故选项C正确;
    对D,如图,当在处时,三棱锥的体积最大时,
    由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心,
    ,,,所以底面为直角三角形,
    所以在底面的射影为中点,设为,如图,设外接球半径为,
    由,,可得外接球半径,
    外接球的表面积为,故选项D正确. 故选:ABD.

    .如图,棱长为2的正方体中,为棱的中点,为正方形内一个动点(包括边界),且平面,则下列说法正确的有( )
    A.动点轨迹的长度为
    B.与不可能垂直
    C.三棱锥体积的最小值为
    D.当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为
    .ABD 【详解】由题意可知:抛物线的焦点为,准线为,即,
    设,
    则,可得,因为,即,
    可知为等边三角形,即,
    且∥x轴,可知直线的倾斜角为,斜率为,故A正确;
    则直线,联立方程,解得或,
    即,,则,
    可得,
    在中,,且,
    可知为最大角,且为锐角,所以是锐角三角形,故B正确;
    四边形的面积为,故C错误;
    因为,所以,故D正确;
    故选:ABD.
    .已知抛物线的焦点为,准线交轴于点,直线经过且与交于 两点,其中点A在第一象限,线段的中点在轴上的射影为点.若,则( )
    A.的斜率为 B.是锐角三角形
    C.四边形的面积是 D.
    三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
    . 【详解】因为“使”为假命题,
    所以“,”为真命题,其等价于在上恒成立,
    又因为对勾函数在上单调递减,在上单调递增,
    而,所以,所以,即实数的取值范围为.
    .若“使”为假命题,则实数的取值范围为___________.

    .在中,,∠,D为线段AB靠近点的三等分点,E为线段CD的中点,若,则的最大值为________.
    .360【解析】∵,∴,
    列举可知:①(1,2,3)……(1,2,6)有4个;②(1,3,4),……,(1,3,6)有3个;③(1,4,5)有1个;④(2,3,4),(2,3,5) 有2个;故共有10个组合,∴共计有个这样的数列。
    .将这七个数随机地排成一个数列,记第i项为,若,,则这样的数列共有 个.
    四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    .【解析】(1)设,,在中,由正弦定理得,,,代入已知化简得,
    又在中有:,即,
    【方法一】∵,
    即,所以,所以.
    【方法二】∵,
    即,所以,所以.
    (2)在中有,,,由正弦定理得:,,,
    因在中,,,,
    所以,,当时,等号成立,∴周长的取值范围是.
    .已知的内角,,的对边分别为,,,若.
    (1)求的值;
    (2)若的面积为,求周长的取值范围.

    .【解析】(1)∵,当时,,
    两式相减得:,整理得, ……4分
    ∵,∴,当时,,
    ∴(舍)或, ……6分
    ∴是以1为首项,1为公差的等差数列,则; …… 7分
    (2)由(1)知,, ……9分
    ∴,……10分 由,令,…11分
    则时, ……13分
    所以,即随着增大,减小,
    所以. ……15分
    .已知正项数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,若数列满足,且数列的前n项和为,若恒成立,求的取值范围.

    .【详解】(1)取弧中点,则,以为坐标原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,连接,在中,,,则,于是,
    设,则,其中,,
    因此,即,所以.
    (2)由平面平面,得,
    又,则,而平面,
    则平面,即为平面的一个法向量,
    ,由平面,得,
    又,解得,此时,
    设是平面的法向量,则,取,得,
    设是平面的法向量,则,取,得,
    则平面FOD与平面夹角的余弦值为.
    (3),
    则点到直线的距离,
    当时,即的坐标为时,点到直线的距离取最大值为
    .如图所示,半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中,是半圆弧上(不含)的动点,为圆柱的一条母线,点在半圆柱下底面所在平面内,.
    (1)求证:;
    (2)若平面,求平面与平面夹角的余弦值;
    (3)求点到直线距离的最大值.

    .【详解】(1)∵渐近线方程为,可设双曲线方程为,
    ∵点在双曲线上,∴,所以的方程为;
    (2)①当直线中又一条直线的斜率为,另一条直线的斜率不存在是,直线与轴重合,不符合题意;所以直线的斜率均存在且不为,
    解法一:Ax1,y1,Bx2,y2,,,设的方程为,由,得,
    ∴恒成立,,∴,∵∴
    ∴,同理
    因为、、三点共线,所以,∴
    化简得:;
    解法二:设的方程为,Ax1,y1,Bx2,y2,,,
    由,得,则,所以,
    所以,则,
    所以,同理可得,
    因为、、三点共线,所以,
    又,所以,
    因为,所以;
    ②,
    所以

    设,则,
    所以,
    ∴,
    ∴,故.
    .已知双曲线的中心为坐标原点,渐近线方程为,点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点,且,直线交于两点,直线交于两点,分别为弦和的中点.
    (1)求的方程;
    (2)若直线交轴于点,设.
    ①求;
    ②记,,求.

    .【详解】(1),其中 为常数.
    而 ,即 ,所以 ,所以.
    (2)联立 ,解得 ,
    当时,,令 ,
    则围成的面积
    (3)令 ,
    由题意可知,,满足,
    即,即在 上单调递增,
    进而在 恒成立,在 恒成立. ,
    若,则在上恒成立,故在上为增函数,故;
    若,则时,,故在上为减函数,
    故时,,与题设矛盾;
    故.
    【点睛】关键点点睛:本题第三步关键在于利用,都满足,得出函数在 上单调递增,再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.
    .如果函数 Fx的导数为,可记为 ,若 ,则表示曲线 y=f(x),直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如:,其中 为常数; ,则表 及轴围成图形面积为4.
    (1)若 ,求 的表达式;
    (2)求曲线 与直线 所围成图形的面积;
    (3)若 ,其中 ,对 ,若,都满足,求 的取值范围.

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