北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期末练习数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解即得.
【详解】集合，而，
所以.
故选：B
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理求出项即可得该项系数.
【详解】二项式的展开式中，含的项为，
所以的系数为.
故选：A
3. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数模及除法运算计算得解.
【详解】依题意，.
故选：A
4. 抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用抛物线定义求得答案.
【详解】抛物线的准线方程为，由点在上，得，
所以.
故选：C
5. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
直线，即，
所以圆心到直线的距离，
所以.
故选：B
6. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及前项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以.
故选：B
7. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ）
A. 在外B. 的长轴长为
C. 在内D. 的焦距为
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，
则的长轴长为，焦距为，故B、D错误；
因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误.
故选：A
8. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.
详解】函数，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点；
若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得，
所以“”是“没有极值点”的充分必要条件.
故选：C
9. 如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）

A. 平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B. 存在点，使得直线与平面垂直
C. 平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D. 点到平面的距离不超过
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断ABD；利用过正方体中心的截面分正方体所成两部分体积关系判断C.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于A，，即，而直线，则，
又，因此四边形为平行四边形，又，
则四边形为菱形，当点与重合时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确；
对于B，，，即与不垂直，
而平面，因此直线与平面不垂直，B错误；
对于C，线段的中点为正方体的中心，平面过该正方体的中心，
由对称性，平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确；
对于D，当点时，，，则，
即，，平面，于是平面，
此时点到该正方体中心的距离即为点到平面的距离，
是点到过的所有截面距离最大值，因此点到平面的距离不超过，D正确.
故选：B
10. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列求出，及，再构造数列并判断单调性得解.
【详解】依题意，，，
则，令，
则，，
因此当时，；当时，，即最大，
所以当最大时，.
故选：B
【点睛】思路点睛：求出的表达式，再构造数列作差判断单调性求出最大值点.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先把双曲线化简成标准方程，直接得出渐近线方程.
【详解】由得

所以渐近线方程为
故答案为.
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
12. 已知向量，，则_________，的最小值为_________.
【答案】 ①. 0,1 ②.
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出，从而求出，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因，,
所以，
则，所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：；
13. 已知为等腰三角形，且，则_________.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出.
【详解】在中，令内角所对边分别为，
由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形，
由余弦定理得.
故答案为：
14. 已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增，
且当时，显然不存在最小值，故舍去；
当时，，则当时，
所以的最小值为，符合题意；
当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，，
当时，则在上单调递减，
要使函数存在最小值，则，解得，此时；
综上可得的取值范围是.
故答案为：
15. 已知曲线. 给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；
④曲线所围成区域的面积大于.
其中，所有正确结论的序号为_________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误.
【详解】由，则且，易知曲线为封闭曲线，
所以，易得，故，
时；时；时，
故曲线过点，显然不关于直线对称，①错；
对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，
则，故曲线关于轴对称，
综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有个整点，②对；
由圆过点，故圆上点均在曲线上或内，
所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于，③错；
如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，④对.
故答案为：②④
【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；
（2）若在区间上的最大值为，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再求出函数图象的对称轴方程即可.
（2）分析函数在的性质，确定最大值点，再结合函数值求出.
【小问1详解】
函数
由，解得
所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为．
【小问2详解】
当时，，
由在区间上的最大值为，得，
而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减，
因此，，解得，
所以的值是.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.
（1）求证：是的中点；
（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析；
（2）所选条件见解析，.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，线面平行的性质有，结合得到为平行四边形，即可证结论；
（2）根据所选条件，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
取的中点，连接，又是的中点，则且，
由在棱上，底面为矩形，则，故，
由平面，且面面，则，
所以为平行四边形，故，
所以是的中点，得证；
【小问2详解】
选①：面面，面面，，面，
所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，设面的一个法向量为，
则，令，则，
显然面的一个法向量为，故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
选②：连接，底面为矩形，则，而，，
所以，即，又，都在面内，
所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，设面的一个法向量为，
则，令，则，
显然面的一个法向量为，故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：
（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：
当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；
当时，赋分成绩70分；当时，赋分成绩为60分.
①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.
【答案】（1）；
（2）①分布列见解析，数学期望为185；②.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算.
（2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小.
【小问1详解】
设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件，
依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，
由古典概型，得.
【小问2详解】
①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人，
赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200，
，
所以的分布列如下：
.
②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60，
对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60，
因此，
；
，
，
所以.
19. 已知椭圆的左顶点为，离心率.
（1）求的标准方程；
（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率及左顶点，求出、，即可得解；
（2）设，，则，从而得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出，即可得到，得到，即可得证.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，
则，，得直线的斜率.
由得直线的斜率.
由经过点得直线的方程.
由，得，
由韦达定理
得.
所以.
因为 ，，
由于不重合，所以，所以
所以.
因为两条直线不重合，所以.
20. 已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若在区间上单调递减，求的取值范围；
（3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域；
（2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围.
（3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论.
【小问1详解】
由题设，则，故定义域为.
【小问2详解】
由，则必有，且，
由在区间上单调递减，则在上恒成立，
令且，则，
在上，则单调递增，故，
所以.
【小问3详解】
当，则，且，
设，则，
当，则，当，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当，
；
当，，，故使，
由，又，则，
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，应用导数求出在、上的最值为关键.
21. 已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或.
（1）若，，写出的所有可能值；
（2）若.
①当时，求的最大值；
②当时，求的最小值.
【答案】（1）的所有可能值为7，9，15，17．
（2）①1013；②的最小值为7.
【解析】
【分析】（1）求出或，再分类讨论即可；
（2）首先分析得当时符合题意且，再利用反证法证明即可；
（3）首先证明时存在符合条件的，再证明即可.
小问1详解】
或，
当时，因为，符合条件；
则或或或，
又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或.
当时， 则或或或，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去，
综上，的所有可能值为7，9，15，17．
【小问2详解】
①的最大值为1013，理由如下：
（i）当时符合题意且．
（ii）假设中存在偶数，且首个偶数为，
因为为递增数列，所以存在，使得ak=2aj−ai=aj+aj−ai>aj或，进而有．
所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾．
所以中各项均为正奇数，
又因为为递增数列，所以，
即．
综上的最大值为1013．
②的最小值为7，理由如下：
（i）首先证明时存在符合条件的：
当前7项为$1，2，3，9，27，45，2025$时，
且可构造的后续项使其符合题意（如可取．
（ii）其次证明．
由题，当时，，
所以aj2ai2≤aj2a12=aj2,aj2−2aj−ai=aj2−2aj+ai=ajaj−2+ai>0，
进而有，
所以，
所以．
（iii）最后证明．
假设存在符合题意且，
因为，所以当时，，
所以存在，有，从而，
所以，所以，从而，且因为，
所以当时，，
所以存在，有，从而为整数，
又因为，所以为5的倍数，与矛盾．
综上有的最小值为7．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分为两部分证明，第一部分证明满足题意，再证明即可.原始成绩
8.75
8.25
8.25
6.75
6.75
6.5
6
5.5
5.25
4.25
3.75
3.25
排名
1
2
2
4
4
6
7
8
9
10
11
12
原始成绩
9.75
8
8
7.5
7.5
6
5.75
5.75
排名
1
2
2
4
4
6
7
7
原始成绩
5
4.75
4.5
4.5
4.25
4
3.75
3.5
排名
9
10
11
11
13
14
15
16
170
185
200
0
0
单调递减
极小值
单调递增
0
0
单调递增
极大值
单调递减