热点08 等差数列与等比数列（6题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 等差等比数列基本量计算
1．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．60B．54C．42D．36
【答案】C
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用
【分析】首先根据等比数列的性质计算出，然后得出等差数列的，最后再根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，，
所以.
故选：C
2．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】由数列的递推式，分别令，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案．
【详解】设等差数列公差为，∵，
∴当时，，解得，
∴，
当时，，
∴，
∴．
故选：D．
3．（2024·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．6B．9C．11D．14
【答案】B
【知识点】利用定义求等差数列通项公式
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出和，从而得出通项公式，进而即可得到．
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由，
则有，解得，
所以等差数列的通项公式为，
故．
故选：B．
4．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式
【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题.
【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以，
则，即数列是公比为2的等比数列，又因为，
所以，
故选：C.
5．（2024·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为q，且，由等差数列的中项性质列方程计算可得q，再由等比数列的通项公式计算可得
【详解】因为等比数列中的各项都是正数，设公比为q，得，
又成等差数列，
可得，
又，所以，解得或，
又，所以
则，
故选：A
题型2 等差（等比）数列下角标和性质
1．（2020·天津和平·一模）设等比数列中，每项均是正数，，则（ ）
A．20B．C．D．
【答案】B
【知识点】对数的运算、等比数列下标和性质及应用
【分析】，再利用等比数列的性质化简即可得答案.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算，属于基础题.
2．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值
【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论.
【详解】由等差数列性质可得，即；
又，所以,
因此数列的公差，且前6项均为负值，
所以的最小值为前6项和，即为.
故选：B.
3．（2024·山东青岛·一模）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和
【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.
【详解】因为，
所以，则
又因为，
所以，当且仅当时，等号成立；
所以的最大值为25.
故选：C
4．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 .
【答案】
【知识点】等比中项的应用、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】首先由条件得到，再根据等差数列的通项公式，转化为关于公差的方程，即可求解.
【详解】设数列的公差为，
由，得，且，
所以，得，
得或（舍），
所以.
故答案为：
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则 ．
【答案】10
【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算
【分析】利用等比数列的性质结合对数运算来求值.
【详解】由等比数列的性质可得：，
因为，所以，
则，
故答案为:10.
题型3 两个等差数列前项和比
1．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）等差数列与的前项和分别为、，且，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，，从而得到.
【详解】∵与均为等差数列，
∴，，
则.
故选：C.
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
3．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．149C．28D．
【答案】D
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】根据等差数列的性质来计算求得正确答案.
【详解】依题意，和是等差数列，
而，故可设，
其中，所以，
，
.
故选：D
4．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
5．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 .
【答案】/
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算
【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，得，
又由等差数列的性质，得，而，
所以.
故答案为：
题型4等差数列片段和性质
1．（2023·四川乐山·一模）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18B．27C．45D．63
【答案】C
【知识点】等差数列片段和的性质及应用
【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，解得.
故选：C
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．44B．56C．68D．84
【答案】D
【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用
【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求.
【详解】由题意可得，，成等差数列，
所以，
因为，，
则，解得.
故选：D.
3．（24-25高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，若 ，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】D
【知识点】等差数列片段和的性质及应用
【分析】根据等差数列的片段和的性质，易得组成首项为2，公差为2的等差数列，再运用迭代法即可求得.
【详解】因等差数列的前项和为，由可得，
则组成首项为2，公差为2的等差数列，
则.
故选：D.
4．（2023·福建厦门·模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【答案】A
【知识点】等差数列片段和的性质及应用
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，
故选：A．
5．（24-25高二上·天津南开·期末）在前项和为的等差数列中，，，则 .
【答案】
【知识点】等差数列片段和的性质及应用
【分析】根据等差数列的性质计算可得.
【详解】根据等差数列的性质可知，，成等差数列，
所以，即，解得.
故答案为：
题型5 等比数列片段和性质
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】C
【知识点】等比中项的应用、等比数列片段和性质及应用
【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解.
【详解】设正项等比数列的公比为，
则是首项为，公比为的等比数列，
若，，则，
所以，即，
解得或（舍去）.
故选：C.
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6B．3C．1D．
【答案】B
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式计算即得.
【详解】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为，
则，
由，得，整理得，
由等比数列的公比小于1，得，解得，
所以.
故选：B
3．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出.
【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，
所以成等比数列，则，
即，解得或.
设等比数列公比为，则，
，则，得.
故选：B
4．（2024·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得S2=2,S4−S2=6，，
因为成等比数列，故S4−S22=S2S6−S4，
即62=2S6−8，解得，
故.
故选：D
5．（23-24高二上·河南开封·期末）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21B．18C．15D．12
【答案】A
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案.
【详解】因为为等比数列的前项和且，
所以成等比数列，即3，6，成等比数列，
所以，所以．
故选：A．
题型6 等比数列奇偶项和性质
1．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ．
【答案】1
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到.
【详解】设公比为，则，
其中，又，
故，，
故，即，
解得.
故答案为：1
2．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 .
【答案】120
【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、求等比数列前n项和
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
3．（2025高三·全国·专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
【答案】10
【知识点】求等比数列前n项和、等比数列奇、偶项和的性质及应用
【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数.
【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，，
由，
解得，因为是公比为的等比数列，则 ，
即，解得，
故答案为:10.
【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值
【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【详解】设的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
2．（2024·安徽·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算
【分析】首先根据题意得到，再解方程组求解即可.
【详解】由，得，
解得，则．
故选：C．
3．（2024·河南许昌·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．32D．64
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方，再结合项间关系求出.
【详解】由，得，则，
设等比数列公比为，则，解得，
所以.
故选：D
4．（2024·吉林·三模）正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【知识点】等比数列下标和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，，且，
所以或，
因式数列是正项递增数列，所以，，则.
故选：A
5．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，
所以，整理得，解得或（舍去）.
故选：C.
6．（2024·河南·模拟预测）已知等差数列满足，前8项和；公比为正数的等比数列满足，，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和
【分析】求出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列的前项和，验证得答案．
【详解】设的公差为，由得，
解得，所以.
设的公比为，由，得，
解得（舍）或，所以.
因为，所以，
则，
因为对任意的，，所以数列单调递增，
又因为，，
所以当时，，故的最大值是8.
故选：D.
7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】等差中项的应用、求等比数列前n项和
【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果.
【详解】设数列的公比为，
由，，成等差数列可得，即，
因为，所以，解得或（舍）；
所以.
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用
【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解.
【详解】由，得①，
因为，，
所以，即②，
①②两式相加，得，即，
所以，所以，解得.
故选：B.
9．（23-24高三上·山东·期中）各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A．或15B．15C．或D．
【答案】B
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，即，
解得或（舍去），又，所以.
故选：B
10．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（ ）
A．2B．17C．2或8D．2或17
【答案】D
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】根据等比数列通项公式求得或，再利用等比数的求和公式求解即可.
【详解】由等比数列的通项公式可得，
整理得，
解得或．
当时，；
当时，．
所以的值为2或17．
故选：D．
11．（2024·新疆·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和
【分析】由等比数列的通项公式与前项和公式求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，
所以，
所以，所以，
.
故选：C
二、填空题
12．（2024·江西景德镇·一模）已知公比不为1的等比数列且成等差，则 .
【答案】
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等差中项求得等比数列公比，再结合等比数列通项公式即可求解.
【详解】∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，
∴，∴，．
故答案为：．
13．（2024·山西太原·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ．
【答案】 81
【知识点】等比数列子数列性质及应用、等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式和性质解得，再根据等比数列的定义分析求解.
【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即，
则，解得或（舍去），
则，解得，
所以，.
故答案为：81；.
14．（2024·四川成都·模拟预测）设数列是等比数列，且，则 .
【答案】64
【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解.
【详解】设公比为，
由可得，故，
所以，
故答案为：64
15．（2023·四川凉山·一模）为等比数列的前项和，若，则 ．
【答案】6
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】利用等比数列的片段和性质计算即可.
【详解】易知成等比数列，
显然.
故答案为：6
16．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列前项和为，且，若存在两项使得，当时，则最小值是 .
【答案】4
【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项
【分析】先根据可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，两式相减得，而，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，即，
因为，则，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以最小值是，
故答案为：.
17．（2024·山东·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则 ．
【答案】
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算
【分析】由等比数列求和公式求得，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，显然．
由题意，得，即，所以．
故答案为：.
三年考情分析
2025考向预测
2022年，第18题，
2023年，第5,19题，
2024年，第19题
主要考查等差（等比）数列的通项，求和，也涉及到数列不等式，以中档题为主，常以选择题或解答题形式出现。
（1）若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
（2）
(3)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(4)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
数列，，，,…组成公比为（）的等比数列
(1)当是偶数时, ;当是奇数时,
(2)