模型1具体特殊函数模型【练】-2025年高考高三数学三轮冲刺（附答案解析）新高考通用

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（高斯函数模型 河南省洛阳2025联考）
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
（抽象函数模型 内蒙古赤峰2025联考）
2．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
（对勾函数模型 四川南充2024高三高考适应性考试）
3．形如的函数是中学数学常见的函数模型之一，因其图象上半部分像极了老师批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数的图象是双曲线，直线是它的一条渐近线．点是双曲线上任意一点，在点处作双曲线的切线，交渐近线于两点，已知为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
（囧函数模型 湖北宜昌2025联考）
4．形如的函数图像类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”. 以囧点为圆心凡是与囧函数有公共点的圆，称为“囧圆”. 当时，所有的囧圆中面积的最小值为 .
（飘带函数模型 湖南岳阳2025联考）
5．，，则的值域为 ．
（抽象函数模型 安徽亳州2025高三联考）
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
（抽象函数模型 广东梅州2024三模）
7．已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．10B．20C．15D．5
（抽象函数模型 湖北武汉2024联考）
8．设定义在上函数，满足：，，且为奇函数，则 ，最小正周期 ．
（分式函数模型 天津市实验中学滨海学校2025月考）
9．对于函数 ，下列说法正确的是 ．(写出所有正确命题的序号)
①函数为奇函数；
②函数的值域为 ；
③函数在定义域上为增函数．
（囧函数模型 湖北武汉2024模拟）
10．函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当时，函数的“囧点”坐标为 ；此时函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为 ．
（飘带函数模型 安徽皖江名校2025联考）
11．一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.
(1)确定a，b的值；
(2)求的零点.
（飘带函数模型 湖南师范大学附属中学2025期末）
12．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列中，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时（ ）
A．B．
C．D．
（抽象函数模型 湖南长沙市望城区第一中学2025月考）
13．定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．
D．
（高斯函数模型 广东广雅中学2025月考）
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，如=-2， 称为高斯函数， 记，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的值域为
C．不等式 的解集为
D．所有满足的点组成的区域的面积和为2024
（对勾函数模型 广东深圳中学2025高三摸底）
15．对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．渐近线方程为和
B．的对称轴方程为和
C．M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值
D．Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值
（抽象函数模型 吉林白城2025联考）
16．已知函数为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集是 ．
（“囧函数” 北京景山学校2025月考）
17．设，函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.给出下列四个结论：
①“囧函数”在区间上单调递增；
②“囧函数”的图象关于轴对称；
③“囧函数”有两个零点；
④“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点.
其中所有正确结论的序号是 .
（抽象函数模型 福建泉州2024联考）
18．设函数是定义在整数集Z上的函数，且满足，，对任意的，都有，则 ； ．
（分式函数模型 上海黄浦区大同中学2024期中 ）
19．在研究函数过程中，经常会週到一类形如为实常数且的函数，我们称为一次型分式函数．请根据条件完成下列问题．
(1)设是实数，函数，请根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)设是实数，函数．若成立的一个充分非必要条件是，求的取值范围；
(3)设是实数，函数，若存在区间，使得，求的取值范围．
（抽象函数模型 广东深圳2025期末联考）
20．在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有
(1)证明：在上单调递增；
(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若，求证：对任意，都有．
《模型1 具体特殊函数模型 【练】--高三三轮冲刺》参考答案：
1．D
【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据高斯函数的定义即可得解.
【详解】由，得，
解得，
根据高斯函数的定义可得，
所以不等式 的解集为.
故选：D.
2．C
【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调减函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图像关于直线对称，∴，
又函数在上为单调减函数，∴，
即，∴，
故选：C.
3．D
【分析】根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果．
【详解】因为，
设，则处切线的斜率，
所以切线方程为，
令，可得，即，则；
令，可得，即，则；
故面积为．
故选：D

4．
【详解】如图，当时，囧函数的解析式为，其与轴的交点为. 于是，囧点为，它们之间的距离为2.
取囧函数在第一象限图像上任一点，
其到囧点的距离为 .
当且仅当时，上式等号成立.
故囧圆中面积的最小值为.
5．
【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域.
【详解】由题意得，．
令，则，则可化为．
∵函数，在上均为增函数，
∴在上为增函数，
∵时，，时，，
∴的值域为．
故答案为：.
6．C
【分析】根据函数的奇偶性可判断为奇函数，结合高斯函数的定义以及不等式求出的值域，利用的意义进行计算即可．
【详解】在上单调递减，
又故为奇函数，
当时，，，进而
所以，，又，此时
当时，，，故，所以，
所以，，此时
时，．
综上可得的值域是，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据的解析式，分析得为奇函数与其值域，从而得解.
7．A
【分析】首先由条件确定，即可判断函数的周期，再结合特殊值
，，即可求和.
【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于
对称，又因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，则，
那么，所以2是函数的一个周期，
因为是定义在上的奇函数，所以，且，
所以，，
所以.
故选:A
8． 2 4
【分析】空1：整理可得，令，即可得结果；根据题意可得，结合奇函数的定义可得，即，进而可得.
【详解】空1：因为，即，
且，即，
可得，
令时，则，因此；
空2：可得，由此可转为，
即，
又因为为奇函数，则，可得，
即，则，
因此最小正周期．
故答案为：2；4.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
本题考查函数得性质---奇偶性、对称性、周期性，难度较大．
9．①③
【分析】①定义域为R，且，①正确；②，求出的取值范围，得到值域；③定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论.
【详解】①的定义域为R，
，故为奇函数，①正确；
②，解得，
的值域为，②错误；
③任取，且，
则，
因为，所以，又，
故，，
故函数在定义域上为增函数，③正确；
故答案为：①③
10．
【分析】第一空：直接求出与y轴的交点即可求解；第二空：画出函数图象，考虑轴及轴右侧的图象，轴下方的函数图象显然过点时面积最小，轴上方的图象，设出公共点，表示出半径的平方，借助二次函数求出最小值，再比较得出半径最小值即可求解.
【详解】第一空：由题意知：，，，故与y轴的交点为，则“囧点”坐标为；
第二空：画出函数图象如图所示：
设，，圆心为，要使“囧圆”面积最小，只需要考虑轴及轴右侧的图象，
当圆过点时，其半径为2，是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设，则点到圆心的距离的平方为，
令，则，
当即时，最小为3，，显然在所有“囧圆”中，该圆半径最小，故面积的最小值为.
故答案为：；.
11．(1)或
(2)和或和
【分析】（1）分类讨论，由函数的单调性求解参数的值即可；
（2）分类讨论，将函数的零点问题转化为方程的根的问题求解即可.
【详解】（1）当时，是上的增函数，
所以，即，解得；
当时，是上的减函数，
所以，即，解得；
故或.
（2）当时，，令，
所以的两个零点分别是和；
当时，，令，
所以的两个零点分别是和；
故的零点为和或和.
12．A
【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以当，可得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果.
13．A
【分析】由条件可得为奇函数，结合奇函数性质及图象变换判断A，结合偶函数性质及图象变换判断B，根据对称性证明结论判断C，根据周期性，并通过求求结论判断D.
【详解】
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
所以fx的图象关于点对称，故A错误；
因为是偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
代入中，
得到，进而，
因此，故C正确；
由可得，函数fx为周期函数，为函数的一个周期，
可得，，，
由可得，，
所以，
所以，故D正确．
故选：A．
14．ACD
【分析】分别利用题中的新概念判断，每一个选项即可.
【详解】由题可知，，故A正确；
设,，则，若，则，
所以与假设矛盾，故，当时，显然与假设矛盾，
故，即的值域为，故B错误；
当，可知，故无解，
当时，，故无解，
当时，，故无解，
当时，，解不等式，故此时不等式的解集为，
当时，，故无解，
综上所诉，不等式 的解集为，故选项C 正确；
当时，得，此时满足点的区域的面积为1；
当时，得，此时满足点的区域的面积为1；
……
当时，得，此时满足点的区域的面积为1；
当时，，故为一个点，无面积
所以所有满足的点组成的区域的面积和为2024，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解不等式，我们可以得到，因为，所以我们其实只需要讨论的时候即可.
15．ABD
【分析】根据题意结合图象分析判断A；根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算判断B；根据题意结合斜率公式运算求解判断C；根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果判断D.
【详解】对于A，函数图象是双曲线，由图象知：函数的图象与直线和无限接近，
但不相交，则直线和为该双曲线的渐近线，A正确；
对于B，函数图象是双曲线，由双曲线的性质知，双曲线的对称轴为其渐近线的角分线，且互相垂直，
一条对称轴的倾斜角为，由二倍角公式可得，
整理得，而，解得，
斜率，
另一条对称轴的斜率为，对应的方程分别为和，B正确；
对于C，设，直线的斜率分别为，
则，C错误；
对于D，函数，求导得，设，
则函数的图象在处切线的斜率，
切线方程为，令，得，即，则，
令，得，即，则，
因此的面积（定值），D正确．
故选：ABD

【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
①已知切点Px0,y0，求y=fx在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程．
②已知切线的斜率为k，求y=fx的切线方程：切点Px0,y0，通过方程解得，再由点斜式写出方程；
③已知切线上一点(非切点)，求y=fx的切线方程：设切点Px0,y0，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程．
16．
【分析】构造函数，求导分析的单调性，由奇偶性的定义可得为偶函数，不等式，可化为，分类讨论，即可得出答案．
【详解】当时，，即，
设，则当时，，
函数在上单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，有，
则，所以是定义在R上的偶函数，
则有在上单调递减，且，
不等式整理得，
可得，即，
当时，，则或，解得或，
又，所以；
当时，，则，解得，
又，所以；
当x=0时，显然不等式不成立；
综上所述，不等式的解集为，
故答案为：．
17．②④
【分析】先判断函数为偶函数，再令，得，利用复合函数单调性和零点概念逐一分析即可判断.
【详解】定义域，，
所以为偶函数，即“囧函数”的图象关于轴对称，所以②正确；
当时，，
令，则，
在和上单调递增，在上单调递减，
所以在和上单调递减，故①错误；
无解，所以 “囧函数”没有零点，故③错误；
当时，，所以，
当时，，所以，又为偶函数，
所以在四个象限都有图象，且图象如图，
所以“囧函数”的图象与直线的图象至少有一个交点，故④正确.

故答案为：②④.
【点睛】方法点睛：特殊与一般的思想是高中数学的核心思想之一.一般成立，则特殊必然成立；特殊不成立，则一般不成立，特殊成立，但一般未必成立，特殊往往可以形成解题的突破口，降低题目的难度.
18． 0
【分析】由结合已知函数值，通过代入特殊值计算；推导出函数周期，通过已知函数值，分析中自变量的数据特征求值.
【详解】令，，∴，
令，，∴，
令，则﹐即，可得，
，函数周期，
，，，，∴为奇数时，，
为奇数时，也为奇数，此时；为偶数时，为4的整数倍，此时.
∴，
，由，则为偶数，
记，，

，
所以 .
故答案为：0；
【点睛】思路点睛：
由已知条件可得函数周期，有，，，，为奇数时，也为奇数，此时；为偶数时，为4的整数倍，此时，可求的值，，可求的值.
19．(1)见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用奇偶性的定义讨论计算即可；
（2）利用充分必要条件结合集合间的基本关系计算即可；
（3）利用函数的单调性与值域结合方程有解，根据二次函数的性质分离参数计算即可.
【详解】（1）对于函数，其定义域为，
若，此时，定义域关于原点对称，且显然有，
故此时是偶函数，
若，则定义域不关于原点对称，故此时是非奇非偶函数；
（2）根据题意可知不等式的解集包含区间，
由，
若，即时，此时不等式无解，不符合题意；
若，即时，此时不等式的解集为，
要符合题意，则需，
注意到等号不能同时取得，故满足条件；
若，即时，此时不等式的解集为，
显然，不符合题意，
综上：；
（3）易知函数在上单调递增，
由题意可知有两个不等实根，
即在上有两个不同解，
即在上有两个不同解，
易知，由二次函数的性质可知.
20．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由，结合已知条件和函数单调性的定义推导即可；
（2）根据题意结合恒成立问题分析求解即可；
（3）令可得，用累乘法即可得对任意正整数与正数，都有，进而可得和，结合的范围及函数的单调性即可证明.
【详解】（1）任取，且，
则，
由，可知，则，
可得，即，
所以在上单调递增.
（2）当时，，
注意到，则，，可得，
即，可得；
又因为，均有，
即，
整理得，
即，
注意到，则，即，
可得，可得，即；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）由题意知，对任意，
且，均有，
令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有，
所以对任意正整数与正数，都有，
即对任意正整数与正数，都有，
令，则，
令，则，
对任意，可得，
由（1）可知：在上单调递增，
则，，
所以.
【点睛】关键点睛：1.根据题意证明对任意正整数与正数，都有；
2.根据1.中结论结合单调性证明，.