模型1具体特殊函数模型【讲】-2025年高考高三数学三轮冲刺讲练（附答案解析）新高考通用

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模型一 对勾函数与飘带函数
【必备知识】
【典例1】（对勾函数模型） ，若，则的最小值为__________；若，则的最小值为__________．
【答案】20
【详细解析】 为对勾函数， [定位函数模型]
在，上单调递增，在，上单调递减．[调用函数图象与性质]
在上的最小值为，在上的最小值为．[转化]
第一空为，第二空为． [得解]
【典例2】（飘带函数模型），，则的值域为__________．
【答案】
【详细解析】 ． [配凑变形]
令，则，则可化为，．
由模型1可知是飘带函数，在上单调递增． [调用函数图象与性质]
要求的值域，即求时的值域． [转化]
，，则的值域为． [得解]
【题后反思】注意对勾函数与飘带函数的区别，当同号时 函数是对勾函数；当异号时 函数是飘带函数.
模型二 囧函数
【必备知识】
【典例3】囧函数模型 （多选）函数的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的有（ ）
A． B．函数的图象关于直线对称
C．当时， D．方程有四个不同的根
【答案】
【详细解析1】对于A，因为，所以，A正确．
对于B，函数是绝对值型分函数模型， [定位函数模型]
由模型2知，函数的图象关于y轴对称，渐近线为直线，，在上的最大值为，所以B错误，C正确． [调用函数图象与性质]
作出与的图象，可知两图象有4个交点，即方程有四个不同的根，故D正确． [转化]
故选ACD．
[得解]
【详细解析2】对于BC，还可以这样解：因为，，
所以，的图象不关于直线对称，B错误．
对于C，当时，，，
当时，，，所以当时，，C正确．
【典例4】（山东师范大学附属中学2025高三检测）形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”．当时，该“囧函数”与函数的交点个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．0个 D．3个
【答案】B
【分析】求出当时的囧函数的表达式，画出囧函数的图象，再在同一个坐标系中画出函数的图象，利用图象即可得到交点个数．
【详细解析】由题意知，当时，，
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数的图象如图所示，可知它们有4个交点．
故选：B.
【题后反思】含绝对值的函数，一般去掉绝对值，写成分段函数的形式，注意各段函数中自变量的取值范围.
模型三 取整函数
【必备知识】 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，
【典例5】（湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2025联考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有大于零的解之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.
【详细解析】，，使，则，
于是，，
若k为奇数，则，，
，则，解得，或，
当时，，，，，解得，
当时，，，，，解得；
若k为偶数，则，则，
，则，解得，或，
当时，，，，，解得，
当时，，，，，解得，
所以所有大于零的解之和为.
故选：D
【典例6】（江西南昌第一中学2024月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性可判断为奇函数，结合高斯函数的定义以及不等式求出的值域，利用的意义进行计算即可．
【详细解析】在上单调递减，
又故为奇函数，
当时，，，进而
所以，，又，此时
当时，，，故，所以，
所以，，此时
时，．
综上可得的值域是，
故选：C
【题后反思】对新定义进行信息提取，细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，对定义中提取的知识进行转换.
模型四 分式函数
【必备知识】
【典例7】（福建泉州市泉州科技中学2025月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】方法一：设，分，，讨论函数的符号及单调性，再确定在上的单调性；
方法二：设，分情况去掉绝对值符号，再结合对勾函数的单调性得出结论.
【详细解析1】：令，
当时，在上单调递增，在上单调递增，不合题意；
当时，在上单调递减，
且当时，也在上单调递减，由已知有，所以；
当时，在上单调递增，而，
故若在上单调递减，则必有，所以，
综上，有或.
【详细解析2】当时，
当，即时，，解得，此时，
当，即时，解得，此时无解，
当，即时，，解法，此时无解，
所以，
又因为，在上单调递减，
所以由对勾函数的性质得，解得，此时，．
综上：．
当时，
当，即时， ，解得，此时无解，
当，即时，解得，此时，当，即时，，解得，此时，
综上：.
此时，在上单调递减，
所以.
综上：实数a的取值范围为或.
故选：D
【典例8】（山东济南第一中学2025月考）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
【分析】（1）根据列方程求出，然后验证可得；
（2）证明函数单调性，利用单调性和奇偶性取得函数符号，结合定义域求解可得.
【详细解析】（1）由题意可得，即，
又，故，
即，此时有，满足题意，
所以；
（2）设，且，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
由题意可得为奇函数，则有，
所以，解得.
【题后反思】求解分式函数问题，注意灵活应用转化思想.特别熟记：对勾函数、飘带函数、二次函数、一次函数的图象性质.
模型五 抽象函数具体化
【必备知识】
【典例9】已知函数的定义域，且对任意的，，恒有．当时，．若，则m的取值范围是__________．
【答案】
【详细解析1】取函数，显然定义域为，对任意的，，
恒有，且当时，．
[根据模型4中的第3条将抽象函数具体化]
由，可得，即．
[将问题进行转化]
解不等式得，所以m的取值范围是．
[解不等式，得答案]
【解析2】不妨令，则，因为当时，，所以．
因为对任意，，恒有，
所以，
所以在上单调递减．由得，
解得，所以m的取值范围是．
【典例10】若满足以下条件：①；②的图象关于直线对称；③对于不相等的两个正实数a，b，有成立．则的解析式可能为__________．
【答案】（答案不唯一）
【详细解析】不妨先取．[根据模型4中的第2条将抽象函数具体化]
的图象关于直线对称，且对于不相等的两个正实数a，b，有成立
[扫清障碍：该式说明在上单调递增］，
所以取，，故满足①，
结合的图象可知其满足②③． [检验是否满足题意]
故可填（答案不唯一）． [得解]
【题后反思】抽象函数是高中数学的重点难点，抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.求解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.
（抽象函数模型 安徽芜湖第一中学2025期末）
1．若函数fx的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
（囧函数模型 山东师范大学附属中学2025高三检测）
2．形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”．当时，该“囧函数”与函数的交点个数为（ ）
A．2个B．4个C．0个D．3个
（对勾函数模型、飘带函数模型 湖北荆州2024联考）
3．已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在定义域上单调递增
B．当时，的单调递增区间为
C．当时，的值域为
D．当时，的值域为R
（分式函数模型 重庆市暨华中学校2025月考）
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
（高斯函数模型 吉林白城2025高三联考）
5．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为 .
解析式
对勾函数：（，）
飘带函数：（，）
图象
与性质
①图象拐点：，．
②函数在，上单调递增，在，上单调递减．
③函数图象关于原点对称，函数是奇函数．
①图象与坐标轴交点：，．
②函数在，上单调递增．
③函数图象关于原点对称，函数是奇函数．
应用
对勾函数与基本不等式有紧密联系．拐点坐标不要死记公式，一定要理解记忆，如当应用时，，当且仅当，即时等号成立，故．对勾函数与飘带函数常在研究函数的单调性或最值时使用．
解析式
绝对值型：（，）
偶次方型：（，，m为非零偶数）
图象
与性质
①定义域：
．．
②函数在，上单调递增，在，上单调递减．
③函数是偶函数．
④函数图象有三条渐近线，分别是x轴，直线，．
①定义域：．
值域：．
②函数在，上单调递增，在，上单调递减．
③函数是偶函数．
④函数图象有三条渐近线，分别是x轴，直线，．
应用
囧函数常与求最值结合命题，或根据其图象特征（图象中间可以容纳一个圆）与圆结合命题．
类型
解题策略
不超过的最大整数
的小数部分
类型
解题策略
策略核心：找图象的特征．如函数（c，），其图象是中心对称图形，对称中心为点，若，则函数在，上单调递增（递减）．
或
策略核心：换元．转化成对勾函数或飘带函数，再按照模型1处理．
策略核心：分离常数．配凑使分子降次，转化成“”型，再按照上述方式处理．
序号
抽象函数具有的性质
满足性质的具体函数
1
，且不恒为0
2
或，
（，）
3
或，
，
（，）
4
5
或
或
6
7
《模型1 具体特殊函数模型 【讲】--高三三轮冲刺》参考答案：
1．A
【分析】由的定义域得到，即可求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
即，解得，
即的定义域是.
故选：A.
2．B
【分析】求出当时的囧函数的表达式，画出囧函数的图象，再在同一个坐标系中画出函数的图象，利用图象即可得到交点个数．
【详解】由题意知，当时，，
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数的图象如图所示，可知它们有4个交点．
故选：B.
3．BCD
【分析】A.由单调区间不能合并判断；D.由函数的单调性判断；BC.利用函数的图象判断.
【详解】当时，，定义域为．
∵在上单调递增，故A错误；
又当时，，当时，，∴的值域为R，故D正确；
当时，，其图象如图所示：

由图象知：的单调递增区间为,值域为，故 B，C正确．
故选：BCD
4．B
【分析】由函数的解析式，可得函数为奇函数，排除C选项，在上函数值大于0，排除D选项，再由接近8，排除A，只有B的图象接近函数的图象.
【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数，排除C选项，
当时，，排除D选项，
当时，，所以A不正确，B正确.
故选：B.
5．
【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解.
【详解】
又，
当时，所以的值域里有
当时，所以的值域里有
当时，所以的值域里有
所以的值域为
故答案为：