高中数学高考9 第9讲　函数模型及其应用　新题培优练

[基础题组练]

1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)

A.y＝2x－2　　　　　 　　 B．y＝(x2－1)

C．y＝log2x D．y＝logx

解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是(　　)

A．118元 B．105元

C．106元 D．108元

解析：选D.设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.

3．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(　　)

A．点M B．点N

C．点P D．点Q

解析：选D.A.假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B.假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C.假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D.经判断点Q符合函数图象，故本选项正确，故选D.

4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)

A．5.2 B．6.6

C．7.1 D．8.3

解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(1－10%)x＝，化简得0.9x＝，即x＝log0.9＝＝＝≈6.6(年)．故选B.

5．(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)

A．165 cm   B．175 cm

C．185 cm   D．190 cm

解析：选B.26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.

6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(　　)

A．75，25 B．75，16

C．60，25 D．60，16

解析：选D.由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15，得A＝16.

7．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

解析：因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．

解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．　

答案：8

9．(2019·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，

易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点．

故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．

答案：4

10．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，

在△EDF中，＝，所以＝，

所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，

则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，

所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，

所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，

所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．

11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．

(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式．

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．

解析：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；

当4<x≤20时，设v＝ax＋b，

显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，

由已知得解得

所以v＝－x＋，

故函数v＝

(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝

当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；

当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.

所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．

[综合题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝，由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)

A.R　　B.R　　C.R　　D.R

解析：选D.由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因为α＝，所以＋＝(1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r≈·R，故选D.

2．(2019·河北邯郸联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为(　　)

A．30.5万元 B．31.5万元

C．32.5万元 D．33.5万元

解析：选B.由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为×150%＋×50%，故年销售收入为z＝·y＝45y＋6＋x.所以年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(万元)．所以当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋－＝31.5(万元)．故选B.

3．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？

解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，

则乙大棚投入150万元，

所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元)．

(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得⇒20≤x≤180，

故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．

令t＝，则t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，当t＝8，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.

所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．

4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；

(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；

(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．

解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，

则该函数模型满足的条件是：

①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；

②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立；

③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．

(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，

它在[10，100]上是增函数，满足条件①；

但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．

(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，

x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，

设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，

又x∈[10，100]，所以≤≤，

所以h′(x)≤－<－＝0，

所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log210－4<0，即f(x)≤恒成立，满足条件③，

故该函数模型符合公司要求．

综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求．