中考数学二轮培优重难点突破讲练专题52 图形折叠中的等腰三角形存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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一、解答题
1．对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．
在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
【答案】（1）①；②0；（2）；（3）4或1或-9
【分析】（1）①作图，求出，再根据定义求值即可；②通过数形结合的思想即可得到；
（2）根据求△ABC关于直线的对称度的最大值，即是求最大值即可；
（3）存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，即转变为APQ是等腰三角形，需要分类进行讨论，分；；，同时需要满足t的值为整数．
【详解】解：（1）①当时，根据题意作图如下：
，
为等腰直角三角形，
，
，
根据折叠的性质，
，
，
关于直线的对称度的值是：，
故答案是：；
②如图：
根据等腰三角形的性质，当时，有
,
ABC关于直线的对称度为1，
故答案是：0；
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，
则需要使得最大，如下图：
当时，取到最大，
根据，可得为的中位线，
，
，
△ABC关于直线的对称度的最大值为：；
（3）若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，
即为等腰三角形即可，
①当时，为等腰三角形，如下图：
，
；
②当时，为等腰三角形，当Q在P右侧时，如下图：
，
；
同理，当Q在P左侧时，t=-9
③当时，为等腰三角形，如下图：
设，则，
根据勾股定理：，
，
解得：，
（不是整数，舍去），
综上：满足题意的整数的值为：4或1或-9．
【点睛】本题考查了三角形的折叠，对称类新概念问题、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是读懂题干信息，搞懂对称度的概念，再结合数形结合及分类讨论的思想进行求解．
2．如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．
(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；
(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：
(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)70°
(3)或或70°
【分析】（1）由沿翻折可知， 可知为等腰三角形，，，计算求解即可；
（2）与全等，分两种情况讨论；①，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；②，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；
（3）分情况讨论①由题意知（2）中时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，，，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可.
【详解】（1）解：
由沿翻折可知
∵为的中点
∴
∴为等腰三角形
∴
∵
∴
∴．
（2）解：∵，是等腰三角形，与全等
∴①如图1，当时，为等腰三角形，为等腰三角形
∴，
∵
∴
∴当时，点在的下方，不符合题意；
又∵，
∴与不全等，舍去；
②如图2
当时，为等腰三角形，为等腰三角形
∴
∴
∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形
∴与全等
∴
∴当时，与全等，；
综上所述，若 与以点为顶点的三角形全等，的值为．
（3）解：①由（2）中图2可知当时，在内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；
②如图3，为与重合的等腰三角形
∴，
∵，
∴
∴
∴；
③如图4，为与重合的等腰三角形
∴
∵，
∴
∴
∴；
综上所述，当和的重叠部分为等腰三角形时，的值为或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．
3．数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．
(1)如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长
(2)如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，
①求AC的长；
②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，与相交于点，则的取值范围为．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）由题意得，从而可得，然后证明，利用相似三角形的对应边成比例即可以求出答案，
（2）①由∠ACB＝2∠A及将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，得，从而论证，利用相似三角形三边对应成比例求出答案；②利用折叠得到，从而得到，利用相似三角形的性质得到，再根据最长为OA的长，最短为AN的长，从而求出答案.
【详解】（1）解：如图1，
将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，
，
，
∠ACB＝90°，
，
，
，
，
AB＝9，BC＝6，
，
；
（2）解：①如图2，
将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，BC＝6，
，
∠ACB＝2∠A，
，
，
，
，
AB＝9，BC＝6，
，
；
，AB＝9，
；
，AB＝9，BC＝6，
，
；
②如图4，
将△APM沿PM折叠得到△A′PM，
，
，
，
，
，
，
P为线段ON上的一个动点，，
最长，最短，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定及其性质，熟练掌握这些性质定理找到三角形相似是解决问题的关键．
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由对称性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；
（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根据∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，从而证明结论；
（3）当∠C'BD=90°时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，设BC'为x，则C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程从而解决问题．
(1)
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵点C关于AD的对称点C′恰好落在AB边上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
(2)
证明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
(3)
存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能为90°，
当BC'⊥BC时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，
∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四边形ACBE为矩形，设BC'为x，则C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′长为．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
5．如图1，已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
(1)求点A、C的坐标；
(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图2）；
(3)在y轴上是否存在一点P（不与C重合），使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（2，0），C（0，4）
(2)
(3)存在，或或或
【分析】(1)已知直线y=−2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
(2)根据题意可知△ACD是等腰三角形，由折叠的性质和勾股定理可求出AD长，即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
(3)分三种性质分别计算，即可找出符合题意的点P的坐标．
(1)
解：当x=0时，y=4，
C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
A（2，0）；
(2)
解：∵A（2，0），C（0，4），
∴OA=2,OC=4，
又∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=2，AB=OC=4，
由折叠性质可知：CD=AD．设AD=x，则CD=x，BD=4﹣x，
根据勾股定理得：，得，
解得：，
此时，，，
设直线CD为y=kx+4，把代入得，，
解得：
∴直线CD解析式为；
(3)
解：存在y轴上的点P）使得是等腰三角形，
理由如下：
设点P的坐标为(0,m)，
则，，
由(2)知，
①当CP=CD时，，
即，
解得或，
即点P的坐标是或；
②当DC=DP时，，
即，
解得或，
即点P的坐标是或(舍去)；
③当PC=PD时，，
即，
解得，
即点P的坐标是；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
6．问题背景
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．
芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；
第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至的位置，得到折痕MN，与AB交于点P．
则点P为AB的三等分点，即．
问题解决
如图1，若正方形ABCD的边长是2．
(1)CM的长为______；
(2)请通过计算AP的长度，说明点P是AB的三等分点．
类比探究
(3)将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P也为AB的三等分点，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)说明见解析
(3)
【分析】（1）设，则，，在中，由勾股定理可得：，进而得出的长；
（2）先证△AEP∽△DME，由（1）可知：，再求得，即可得出结论；
（3）设，，，由勾股定理可得： ，∽，，即，解得，从而得到解得， 得到，即可得出结论.
【详解】（1）设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴,
故答案为；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝2，
∴∠DEM＋∠DME＝90°，
由折叠的性质可知：∠PEM＝∠C＝90°，
∴∠AEP＋∠DEM＝180°－∠PEM＝90°，
∴∠AEP＝∠DME，
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEP∽△DME，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵E是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
即点P为AB的三等分点．
（3）解：设，，，
在中，由勾股定理可得：，
即，
，
，，
，
又，
∽，
,即，
即，
把代入得，，
解得，
把代入，
解得，（舍去）
∵AC2=AB2+BC2
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质的综合运用．解题的关键是证明三角形相似.
7．综合与实践
在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．
问题情境：
如图，在中，，，点D在边AB上运动，点E在边BC上运动．
探究发现：
(1)如图2，当沿DE折叠，点B落在边AC的点处，且时，发现四边形是菱形．请证明；
探究拓广：
(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿DE折叠，点B落在点处，延长交AC于点F，，点G在边BC上运动，沿FG折叠使点C落在线段的中点处，求线段DF的长；
探究应用：
(3)沿DE折叠，点B的对应点恰好落在边AC的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)DF的长是
(3)或
【分析】（1）由折叠的性质可得，，，再由平行和等角对等边可证得，即可证明．
（2）由（1）可得四边形和四边形是菱形，则可得AF、DF都可以用BD进行表示，再用三角函数列出方程求解即可．
（3）分成两种情况：靠近A点的三等分点和靠近C点的三等分点，然后设未知数用勾股定理列方程即可求得．
（1）
证明：∵沿DE折叠，点B落在点处，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
（2）
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，四边形和四边形是菱形，
∴，，
∵的中点是点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴．解得，
∴，
∴线段DF的长是．
（3）
当 在靠近A点的三等分点时， ，
∵沿DE折叠，点B的对应点，
∴设 ，则 ，
在中， ，
，
即 ，
解得： ，
当 在靠近C点的三等分点时， ，
∵沿DE折叠，点B的对应点，
∴设 ，则 ，
在中， ，
，
即 ，
解得： ，
或者 ．
【点睛】本题考查了图形的折叠性质，菱形的判定和性质，勾股定理以及分类讨论的思想方法；熟练掌握图像折叠性质、菱形的判定和性质是解题关键．
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在四边形OABC中，顶点A（0，2），，，且点B在第一象限，△OAB是等边三角形．
(1)如图①，求点B的坐标；
(2)如图②，将四边形OABC沿直线EF折叠，使点A与点C重合，求点E，F的坐标；
(3)如图③，若将四边形OABC沿直线EF折叠，使，设点A对折后所对应的点为，△AEF与四边形EOBF的重叠面积为S，设点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），请直接写出S与m的函数关系式．
【答案】(1)点B的坐标
(2)点E坐标为，点F坐标为
(3)（0＜m＜1）
【分析】（1）根据A的坐标得到OA的长，由B与C的横坐标相同得到BC垂直于x轴，再由三角形ABO为等边三角形，得到OA=OB=AB=2，且求出∠OBC为30度，在直角三角形OBC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出n的值，即可得点B的坐标；
（2）设点E坐标为（0，y），在中，根据勾股定理列方程即可解出y的值，进而得出过F作FM垂直于CB，设MB=x，求出∠MBF为60度，在直角三角形MBF中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出FB，再利用勾股定理表示出FM，在直角三角形MCF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出点F坐标；
（3）当点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），可判断出点A'落在四边形EOBF外，重合部分面积两等边三角形与面积之差，表示出S与m关系式即可．
【详解】（1）解∶∵，，，
BC⊥x轴，OA=2，
∵△ABO为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴在中，
∠BOC=30°，OB=2
∴，
∴点B的坐标．
（2）解∶设点E的坐标为（0，y），
由折叠的性质可得，
在中，，
解得：，则点E坐标为，
作FM⊥CB于点M，如下图
设，
∵，
在中，
，，
在中，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
则点F坐标为．
（3）解：∵EF∥OB，
∴为等边三角形，
∴为等边三角形，
∵点E的坐标为（0，m）（0＜m＜1），
此时点A'落在四边形EOBF外时，如下图所示，
由题意可得，
，
∵，又，
是等边三角形，，
，
，
得（0＜m＜1）
【点睛】本题主要考查了翻折变换中折叠的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，以及勾股定理，牢固掌握以上知识点和会作辅助线是做出本题的关键，此题是一道综合性较强的试题．
9．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 ；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；（2）或；（3）存在，0或4+4或4﹣4或4
【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）①当P在的右侧，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在的左侧，同理可得结论；
（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP的长．
【详解】解：（1）连接BP，
设点P到直线AB的距离为h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝＝4，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4，
∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，
∴h＝OB＝4，
即点P到直线AB的距离是4，
故答案为：4；
（2）存在两种情况：
①如图1，当P在的右侧，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在的左侧，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；
（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于对称，
∴此时OP＝4；
综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，作出图形分类讨论是解题的关键．
10．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝，求△PDC的面积．
【答案】（1）A；（2）；（3）－1
【分析】（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，满足a2＋b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积；
（3）根据题意可得△ABP≌△DBP，根据“方倍三角形”定义可得△ABD为等边三角形，从而证明△APD为等腰直角三角形，可得AP＝DP＝ ，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据△PBC为等腰直角三角形，可得PC＝PB＝ ，进而可以求△PDC的面积．
【详解】解：（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2＋a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2＋b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2＋b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2＋3＝2b2，
联立解得 ，
则Rt△ABC的面积为：；
故答案为：；
（3）由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝AD＝AE＝1，
∴BE＝，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝PB＝，
∴S△PDC＝PC•PD＝（）×＝﹣1．
【点睛】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
11．如图1，在中，，，为边上的中线．
（1）求的长；
（2）动点的速度为，运动时间为秒．
①如图2，当点从点开始沿边向点移动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的的值．
②如图3，当点从点开始沿边向点移动时，将沿直线对折，点的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，请直接写出的值为_________
【答案】（1）；（2）为或，是以为腰的等腰三角形；（3）当与重叠部分为直角三角形时，，，．
【分析】（1）由，，点为的中点，可得，，根据勾股定理得出即可；
（2）根据BP=2t,是以为腰的等腰三角形，分两种情况；当时，，列方程2t=5；当时，设，则，，根据勾股定理得到求出，列方程解方程即可；
（3）当与重叠部分为直角三角形时，分三种情况，当时，得出，列方程；当时，PE⊥AC，根据面积，根据勾股定理，列方程；当时，交AC于G，EG⊥AC，根据面积，根据勾股定理，，设，则，，根据勾股定理得到，再列方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵，，点为的中点，
∴，
∴根据勾股定理得出；
（2）∵动点的速度为，运动时间为秒，
∴BP=2t,
∵是以为腰的等腰三角形，分两种情况；
当时，，
∴2t=5,
∴；
当时，设，则，，
根据勾股定理得到，
解得，
，
∴，
∴ ，
综上所述，为或，是以为腰的等腰三角形；
（3）当与重叠部分为直角三角形时，分三种情况，
当时，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
得出，
∴，
解得；
当时，PE⊥AC，
∴S△AEC=，
即，
在Rt△EPC中根据勾股定理，
，
解得；
当时，交AC于G，EG⊥AC，
∴S△AEC=，
即，
在Rt△EPC中根据勾股定理，
，
设，则，，
在Rt△PGC′中
根据勾股定理，
得到，
解得，
，
；
综上所述：当与重叠部分为直角三角形时，，，．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，折叠性质，分类思想运用，解方一元一次方程，图形动点，本题难度不大，涉及知识较多，掌握以上知识，根据点P的位置画出准确图形是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作⊙O，⊙O与x轴交于点B、C．点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
（1）当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；
（2）若△ABQ为直角三角形时，请求出t的值；
（3）求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时，请直接写出t的值．
【答案】（1）（0，）；（2）5；（3）或或或15．
【分析】（1）如图，连接OQ，交PA于D，根据点A 坐标可得OA的长，根据折叠的性质可得PA垂直平分OQ，根据等边三角形的性质可得OQ=OA，∠AOQ=60°，可得∠POQ=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PQ=OP，利用勾股定理即可求出OP的长，即可得点P坐标；
（2）分∠BAQ=90°，∠AQB=90°，∠ABQ=90°三种情况，根据折叠的性质及勾股定理分别求出OP的长即可得答案；
（3）分AQ与⊙O在x轴上方相切、AP与⊙O相切、PQ所在直线与⊙O相切、AQ所在直线与⊙O在x轴下方相切四种情况，根据三角形面积公式、勾股定理及相似三角形的性质分别求出OP的长即可得答案．
【详解】（1）如图，连接OQ，交PA于D，
∵点A（5，0），
∴OA=5，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴PA垂直平分OQ，
∵△OAQ为等边三角形，
∴OQ=OA=5，∠AOQ=60°，OD=OQ=，
∴∠POQ=30°，
∴PQ=OP，
在Rt△POD中，OP2=OD2+PD2，即OP2=（）2+，
解得：OP=，
∵点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，
∴点P坐标为（0，）．
（2）①如图，当∠BAQ=90°时，连接OQ，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴OA=AQ，OP=PQ，
∴△OAQ是等腰直角三角形，
∴∠AOQ=45°，
∴∠POQ=45°，
∴∠POQ=∠PQO=45°，
∴∠OPQ=90°，
∴四边形POAQ是正方形，
∴OP=OA=5，
∵点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，
∴．
②当∠AQB=90°时，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴OA=AQ=5，OP=PQ，∠AQP=∠AOP=90°，
∵∠AQB=90°，
∴点B、P、Q三点在同一条直线上，
∵以原点O为圆心、3为半径作⊙O，⊙O与x轴交于点B、C，
∴OB=3，
∴AB=OB+OA=8，
∴BQ===，
∴BP=BQ-PQ=BQ-OP，
在Rt△OBP中，OP2=BP2-OB2，即OP2=（-OP）2-32，
解得：OP=，
∵点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，
∴．
③当∠ABQ=90°时，
∵A（5，0），点P在y轴正半轴，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴点Q在第一象限，
∴∠ABQ≠90°，不符合题意，
综上所述：t的值为5或．
（3）①如图，当AQ与⊙O在x轴上方相切时，切点为D，连接OQ、OD，OQ交AP于E，
∴OD⊥AQ，
∵OA=5，OD=3，
∴AD==4，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ，
∴OA=AQ=5，AP垂直平分OQ，
∴DQ=AQ-AD=1，
∴OQ===，
∴OE==，
∴S△OAP=，即，
∴，
在△OAP中，AP2=OP2+OA2，即，
解得：OP=，（负值舍去），
∴t=．
②如图，当AP与⊙O相切时，切点为D，连接OD，
∴OD⊥AP，
∴S△OAP=，即，
∴AP=，
在△OAP中，AP2=OP2+OA2，即，
解得：OP=，
∴t=．
③如图，当PQ所在直线与⊙O相切时，切点为D，与x轴交于F，
∴OQ⊥QF，
∵∠AQP=90°，
∴OD//AQ，
∴△OFD∽△AFQ，
∴，即，
解得：，
∵S△OPF=，即，
∴，
在Rt△OPF中，PF2=OP2+OF2，即，
解得：，
∴．
④当AQ所在直线与⊙O在x轴下方相切时，切点为D，连接OQ，与AP交于G，
∴OD⊥QD，
∴AD==4，
∴QD=AD+AQ=9，
∴OQ==，
∵AP垂直平分OQ，
∴OG=，
∴S△AOP=，即，
∴，
在Rt△AOP中，AP2=OA2+OP2，即，
解得：OP=15，
∴t=15．
综上所述：△APQ有一边所在直线与⊙O相切时t的值为或或或15．
【点睛】本题考查折叠的性质、切线的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
13．（1）操作发现：如图①，在RtABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系？并说明理由．
（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC＝3，求出DE的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由翻折的性质可知：，，然后证明为等腰直角三角形，从而得到，故此可证得；
（2）由翻折的性质得到，，，由三角形外角的性质可证明，从而得到，于是可证明；
（3）过点作，垂足为，由直角三角形性质和勾股定理可求得的长，从而得到的长，设，则，，求解即可．根据，建立方程求解即可．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图①，，
，
由翻折的性质可知：，，，
∴，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）．理由如下：
如图②，由翻折的性质得：，，，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，垂足为．
，，
．
，
，
，
在中，，
，，
．
．
在中，，，，
，
由折叠得：，，，
，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
的长为．
【点睛】本题是三边形综合题，主要考查的是翻折的性质、三角形外角的性质、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形性质，勾股定理的应用，灵活运用相关图形的性质是解题的关键．
14．我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
【发现与证明】
中，，将沿翻折至，连结．
结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形．
结论2：；
……
(1)请利用图1证明结论1或结论2；
【应用与探究】
在中，已知，将沿翻折至，连结．
(2)如图，若，，则_____，_____；
(3)已知，当长为多少时，是直角三角形？请直接写出答案
【答案】(1)证明见解析；(2)45，；(3)2或3或4或6．
【分析】(1)结论1的证明：根据两直线平行内错角相等得到∠DAC=∠ACB，根据折叠对应角相等得到∠ACB=∠ACB’，进而得到∠DAC=∠ACB’即可证明；
结论2的证明：由折叠得到CB=CB’，由平行四边形ABCD得到BC=AD，由此得到CB’=AD，由结论1得到ED=EB’，由此∠EB’D=∠EDB’，∠EAC=∠ECA，由对顶角相等得到∠AEC=∠DEB’，由此即可证明；
(2)根据对折的性质求得∠AB’C=30°，从而求得∠CB’D=45°，由于B’D∥AC，得出∠ACB’=∠CB’D=45°，进而即可求得∠ACB=45°；作AG⊥BC于G，根据解直角三角形即可求得BC；
(3)分或或三种情况分类讨论．
【详解】解：(1)结论1的证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
由折叠知，∠ACB=∠ACB'，
∴∠EAC=∠ACB'，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
结论2的证明：由折叠知，BC=B'C，AD=BC，
∴B'C=AD，
由结论1可知：AE=CE，
∴DE=B'E，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∴；
(2)在▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB’C，
∴∠AB’C=30°，
∵∠AB’D=75°，
∴∠CB’D=45°，
∵B’D∥AC，
∴∠ACB’=∠CB’D=45°，
∵∠ACB=∠ACB’，
∴∠ACB=45°；
作AG⊥BC于G，如下图所示：
∴AG=CG，
∵∠B=30°，
∴，，
∴，
故答案为：45°，；
(3)∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，
∴四边形ACB’D是等腰梯形，
∵∠B=30°，
∴∠AB’C=∠CDA=30°，
∵△AB’D是直角三角形，
当∠B’AD=90°，AB＞BC时，
设∠ADB’=∠CB’D=y，
∴∠AB’D=y-30°，
∵∠AB’D+∠ADB’=90°，
∴y-30°+y=90°，解得y=60°，
∴∠AB’D=y-30°=30°，
∴AB’=AB=，
∴，
∴BC=2；
当∠ADB’=90°，AB＞BC时，如下图，
∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，
∴四边形ACB’D是等腰梯形，
∵∠ADB’=90°，
∴四边形ACB’D是矩形，
∴∠ACB’=90°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，AB=，
∴，
当∠B’AD=90°且AB＜BC时，如下图，
∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，∠B’AD=90°，
∴∠B’GC=90°，
∵∠B=30°，AB=，
∴∠AB′C=30°，
∴，
G是BC的中点，
在Rt△ABG中，，
∴BC=6；
当∠AB’D=90°时，如下图所示，
∵AD=BC，BC=B’C，
∴AD=B’C，
∵AC∥B’D，
∴四边形ACDB’是等腰梯形，
∵∠AB’D=90°，
∴四边形ACDB’是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=，
∴，
∴当BC的长为2或3或4或6时，△AB’D是直角三角形．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，直角三角形等问题，本题难度较大，熟练掌握折叠图形的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为 ；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．
【答案】（1）12cm；（2）cm2；（3）
【分析】（1）证明A，D，F共线，△ABF是等边三角形即可解决问题．
（2）根据S△DEB=S△DCB求解即可．
（3）首先判定四边形ADC′B′是平行四边形，得到C′F=B′D，作点D关于AB的对称点D′，可判断当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，过F作FH⊥DG，垂足为H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的长即可．
【详解】解：（1）∵△BCE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，
由翻折可知，∠ABD=∠DBF，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB=EC，
∴∠DCB=90°，
∵AD∥BC，
∴BD⊥AF，
∴A，D，F共线，AD=DF=6cm，
∵BA=BF，∠A=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=12cm；
（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，
∴BD=BC=cm，
∵DE=EC，
∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；
（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=B′C′，AD∥B′C′，
∴四边形ADC′B′是平行四边形，
∴C′F=B′D，
作点D关于AB的对称点D′，
则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，
当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴AG=3，DG===D′G，
过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=，
∴HD′=HG+D′G=，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=∠F=60°，
∴HF=DF=3，
∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，翻折变换，最短路径，等边三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
16．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为_______；
（2）如图，折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处，折痕为．求证：四边形为三等角四边形；
（3）如图，在三等角四边形中，，若，，，则的长度为_______．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，根据0＜∠D＜180°即可确定出∠A的范围；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根据折叠的性质可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得结论；
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四边形DEBF是平行四边形，根据及平行四边形的性质可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的长，利用平行四边形的面积可求出DH的长，利用勾股定理可求出CH的长，进而求出CF的长，即可求出BC的长．
【详解】（1）∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵，0＜∠D＜180°，
∴180°＜3∠A＜360°，
∴，
故答案为：
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵折叠平行四边形，使得顶点分别落在边上的点处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是三等角四边形
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，
∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，
∴DG=，
∴S平行四边形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，
解得：DH=，
∴CH==，
∴CF=2CH=，
∴BC=BF-CF=．
故答案为：
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换-折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．
17．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）．
【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；
（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．
【详解】（1）．
如图，分别延长，相交于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，,
∵为的中点，
∴，
在△PDF和△BCF中，，
∴△PDF≌△BCF，
∴，即为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为，
∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵=∠FDC′+∠FC′D，
∴，
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，DC=AB，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，
∵的面积为20，边长，于点，
∴BH=50÷5=4，
∴CH=，A′H=A′B-BH=1，
∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵于点，AB//CD，
∴，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
∴，即，
解得：NH=2，
∵，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
∴，即，
解得：MQ=，
∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
18．综合与实践
在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．
“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；
第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；
第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．
他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．
(1)试证明上面的结论：
(2)“奋进”小组的同学是这样操作的：
第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；
第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；
第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．
①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；
②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①画图见解析；②点G是AD边上的一个三等分点，理由见解析
【分析】（1）设正方形的边长为a，BG的长为x，根据轴对称和正方形的性质，推导得，再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；
（2）①结合题意，根据轴对称的性质作图，即可得到答案；
②根据正方形、相似三角形、矩形的性质，通过证明△AEF∽△CBF、△AFG∽△CFN，从而完成证明．
（1）
设正方形的边长为a，BG的长为x
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵点E是AD的中点，
∴
∵CD翻折至CF，CB翻折至CF，
∴，，，．
∴
∴点E，F和G三点共线
∴．
在中，由勾股定理得，即
解得：
∴点G是AB边上的一个三等分点；
（2）
①根据题意，折痕和点G和点N的位置如图：
；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴，．
∴△AEF∽△CBF
∴
∵点E是AD的中点，
∴．
∴．
∵，
∴△AFG∽△CFN
∴
∵，，且，
∴四边形AGNB是矩形
∴
又∵，
∴
∴
∴点G是AD边上的一个三等分点．
【点睛】本题考查了矩形、正方形、轴对称、勾股定理、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、相似三角形的性质，从而完成求解．